习题 18, § 2

在习题 17(b)定义的定义程序中，取$\alpha_0 = 1 + 1$（通过滥用语言用2表示），

对于所有序数 $\alpha$，用 $\xi^\eta$ 和定义 $\alpha^0$ 表示 $f(\xi,\eta)$ 为 1。对于所有序数 $\beta\geq 1$，定义 $0^\beta$ 为 0，$1^\beta$ 为 1。

(a) 证明如果$\alpha>1$和$\beta<\beta'$，我们有$\alpha^\beta<\alpha^{\beta'}$，并且对于每个序数$\alpha>1$，$\alpha^\xi$是相对于$\xi$的正常函数符号。此外，如果$0<\alpha\leq\alpha'$，我们就有$\alpha^\beta\leq{\alpha'}^\beta$。

(b) 证明$\alpha^\xi\cdot\alpha^\eta=\alpha^{\xi+\eta}$ 和$(\alpha^\xi)^\eta=\alpha^{\xi\eta}$。

(c) 证明，如果 $\alpha\geq 2$ 和 $\beta\geq 1$，则$\alpha^\beta\geq\alpha\beta$。

(d) 对于序数$\beta\geq 1$和$\alpha\geq 2$的每个对，存在三个序数$\xi,\gamma,\delta$使得$\beta=\alpha^\xi\gamma+\delta$，其中$0<\gamma<\alpha$和$\delta<\alpha^\xi$，并且这三个序数由这些条件唯一确定。