习题 10, § 4

(a) 有序集合 E 同构于 $n$ 全序集乘积的子集当且仅当 E 上的排序图是 E 上 $n$ 总排序图的交。（要证明条件是必要的，请显示那如果

是$n$全序集的乘积，则乘积在F上的字典顺序图是$n$在F上的字典顺序图交。）

(b) 有序集合 E 与两个全序集的乘积子集同构当且仅当 E 上的排序 $\Gamma$ 使得 E 上存在另一个排序 $\Gamma'$ 且性质使得任何两个不同的元素 E 的值与 $\Gamma$、$\Gamma'$ 的顺序之一相当。

(c) 令 A 为 $n$ 元素的有限集合。令 E 为所有子集 $\{x\}$ 和 $A - \{x\}$ 中的 $\mathfrak{P}(A)$ 由……组成的子集，因为 $x$ 穿过 A。证明 $n$ 是最小的整数 $m$，使得E，按包含排序，同构于 $m$ 全序集的子集或乘积（使用 (a)）。