习题 6, § 4

(a) 设 A 为集合，并令 $(\mathrm{X}_i)_{1 \leqslant i \leqslant m}$、$(\mathrm{Y}_j)_{m+1 \leqslant j \leqslant m+n}$ 为 A 的子集的两个有限族。令 $h$ 为最小整数，使得对于每个整数 $r \leqslant m - h$ 和每个子集 $\{i_1, \ldots, i_{r+h}\}$ $[1, m]$的$r + h$元素，存在$[m + 1, m + n]$的$r$元素子集$\{j_1, \ldots, j_r\}$，其中集合$\mathrm{X}_{i_\alpha}$$(1 \leqslant \alpha \leqslant r + h)$的并分别满足集合$\mathrm{Y}_{j_\beta}$$(1 \leqslant \beta \leqslant r)$（这意味着$m \leqslant n + h$）。 证明 A 存在有限子集 B，最多有 $n + h$ 元素，使得每个 $\mathrm{X}_i$ $(1 \leqslant i \leqslant m)$ 和每个 $\mathrm{Y}_j$ $(m + 1 \leqslant j \leqslant m + n)$ 都满足 B。（考虑区间 $[1, m + n]$ 上的序关系，其图为对角线的并和对$(i, j)$的集合使得$1 \leqslant i \leqslant m$和$m + 1 \leqslant j \leqslant m + n$和$\mathrm{X}_i \cap \mathrm{Y}_j \neq \emptyset$，并将习题5应用到这个有序的集合。）

(b) 令E和F为两个有限集合，并令$x \rightarrow \mathrm{A}(x)$为E到$\mathfrak{P}(\mathrm{F})$的映射。 那么存在 E 的单射 $f$ 到 F 中，使得对于每个 $x \in \mathrm{E}$ $f(x) \in \mathrm{A}(x)$ 当且仅当对于 E 的每个子集 H 我们有卡 $\left( \bigcup_{x \in \mathrm{H}} \mathrm{A}(x) \right) \geqslant$ 卡 (H) （证明的方法类似于 (a)， $h = 0$）。

(c) 根据(b)的假设，令G为F的子集。则F中存在E的单射$f$，使得对于每个$x \in \mathrm{E}$都有$f(x) \in \mathrm{A}(x)$，且$f(E)\supset G$当且仅当$f$满足(b)的条件对于$G$的每个子集$L$，所有$x\in E$的集合的基数使得$A(x)\cap L\neq\varnothing$是$\geq\operatorname{Card}(L)$。 (令$(a_i)_{1\leq i\leq p}$为$G$的不同元素的序列，排列在一些序中；令$(b_j)_{p+1\leq j\leq p+m}$为$F$的不同元素中的序列，排列在一些序中；并且令

是$E$不同元素的序列，排列在一些序中。考虑集合$[1,p+m+n]$上的序关系，其图形是对角线的并和对$(i,j)$的集合，使得

或$1\leq i\leq p$和$p+m+1\leq j\leq p+m+n$和$a_i\in A(c_j)$，

或$p+1\leq i\leq p+m$和$p+m+1\leq j\leq p+m+n$和$b_i\in A(c_j)$；

然后应用习题5。）