习题 12, § 5

(a) 令$p$和$q$为两个整数$\geqslant 1$，令$n = 2p + q$，令E为集合和$n$元素，并令$N = \binom{n}{p} = \binom{n}{p+q}$。令$(X_i)_{1 \leqslant i \leqslant N}$（或$(Y_i)_{1 \leqslant i \leqslant N}$）为E 的所有子集中的序列，其中$p$（或$p + q$）元素排列在某个序中。证明存在 $[1, N]$ 的双射 $\varphi$，使得 $X_{\varphi(i)} \subset Y_i$ 对于所有 $i$。 （方法类似于§ 4的习题 6：观察对于集合$Y_j$的每个$r \leqslant N$数，其中包含至少有$X_1$、$\ldots$之一， $X_r$ 是 $\geqslant r$。）

(b) 令$h$、$k$为两个整数$\geqslant 1$，令$n$为整数，使得$2h + k < n$，令E为集合且$n$元素，并令$(X_i)_{1 \leqslant i \leqslant r}$是E的不同子集的序列，每个都有$h$元素。证明E的不同子集存在序列$(Y_j)_{1 \leqslant j \leqslant r+1}$，每个$h + k$元素，使得每个$Y_j$包含至少有一个$X_i$并且每个$X_i$包含在至少一个$Y_j$中（由归纳于$n$，使用（a））。