习题 14, § 5

令E为有限的集合和$n$元素，令$(a_j)_{1 \leqslant j \leqslant n}$为排列在某些序中的E的元素序列，并令$(\mathrm{A}_i)_{1 \leqslant i \leqslant m}$为E的子集序列。

(a) 对于每个指标$j$，令$k_j$为指标$i$中的数，使得$a_j \in \mathrm{A}_i$，并令$\mathrm{S}_i = \mathrm{Card}\,(\mathrm{A}_i)$。表明

(b) 假设对于E的两个元素中的每一个子集$\{x,\, y\}$，恰好存在一个指标$i$，使得$x$和$y$包含在$\mathrm{A}_i$中。证明，如果 $a_j \notin \mathrm{A}_i$，则$\mathrm{S}_i \leqslant k_j$。

(c) 根据(b)的假设，证明$m \geqslant n$。 （令 $k_n$ 为数 $k_j$ 中最小的一个。表明我们可以假设，每当 $i \leqslant k_n, j \leqslant k_n$ 和 $i \neq j$ 时，对于所有 $j \geqslant k_n$，我们都有 $a_j \notin \mathrm{A}_i$ 和 $a_n \notin \mathrm{A}_j$。）

(d) 根据 (b) 的假设，证明 $m = n$ 当且仅当以下两个选项之一为真： (i) $\mathrm{A}_1 = \{a_1,\, a_2,\, \ldots,\, a_{n-1}\}$、$\mathrm{A}_i = \{a_{i-1},\, a_n\}$ 对于 $i = 2, \ldots, n$； (ii) $n = k(k-1) + 1$，每个$\mathrm{A}_i$有$k$元素，并且E 属于的每个元素恰好有$k$集合$\mathrm{A}_i$。