习题 5, § 5

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集合论, III, 235

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\* (a) 设 E 为分配格， $f$ 为 E 的映射到交换半群 M（加法写成），使得

f(x) + f(y) = f(\sup (x, y)) + f(\inf (x, y))

对于 E 中的所有 $x$ 、 $y$ 。证明对于 E 的每个有限子集 I，我们有

f(\sup (I))+ \sum_{2n\leq \operatorname{Card}(I)} \left( \sum_{\substack{H\subset I,\ \operatorname{Card}(H)=2n}} f(\inf (H)) \right) = \sum_{2n+1\leq \operatorname{Card}(I)} \left( \sum_{\substack{H\subset I,\ \operatorname{Card}(H)=2n+1}} f(\inf (H)) \right)

（通过卡 (I) 上的归纳。） \*

(b) 特别地，令A为集合，令 $(B_i)_{i\in I}$ 为A的有限子集有限族，令B为 $B_i$ 的并。对于I的每个子集 H，放入 $B_H=\bigcap_{i\in H}B_i$ 。表明

\operatorname{Card}(B)+ \sum_{2n\leq \operatorname{Card}(I)} \left( \sum_{\operatorname{Card}(H)=2n} \operatorname{Card}(B_H) \right) = \sum_{2n+1\leq \operatorname{Card}(I)} \left( \sum_{\operatorname{Card}(H)=2n+1} \operatorname{Card}(B_H) \right).

解答

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被以下引用

无。