习题 25, § 6

(a) 设 $\mathfrak{F}$ 为无限集合 E 的覆盖。 $\mathfrak{F}$ 的不相交*次数是最小基数 $\mathfrak{c}$，使得对于不同集合 X、$Y \in \mathfrak{F}$ 的每个对，$\mathfrak{c}$“严格大于”基数卡 $(X \cap Y)$。 If Card $(E) = \mathfrak{a}$ and Card $(\mathfrak{F}) = \mathfrak{b}$, show that $\mathfrak{b} \leqslant \mathfrak{a}^{\mathfrak{c}}$ (note that a subset of E of cardinal $\mathfrak{c}$ is contained in at most one set of $\mathfrak{F}$).

(b) 令$\omega_\alpha$为初始序数，令F为集合，使得$2 \leqslant \mathfrak{p} =$卡$(F) < \aleph_\alpha$。设E为$\omega_\alpha$的段映射集合，除$\omega_\alpha$本身外，入F。则我们有卡$(E) \leqslant \mathfrak{p}^{\aleph_\alpha}$。对于 F 中的每个 $\omega_\alpha$ 映射 $f$，令 $K_f$ 为子集 $f$ 限制由……组成到 $\omega_\alpha$ 的段（$\omega_\alpha$ 本身除外）。证明子集$K_f$的集合$\mathfrak{F}$是E的覆盖，使得卡$(\mathfrak{F}) = \mathfrak{p}^{\aleph_\alpha}$，且其不相交的次数等于$\aleph_\alpha$。

(c) 令E为基数$\mathfrak{a}$的无限集合，并令$\mathfrak{c}$、$\mathfrak{p}$为两个基数$> 1$，使得$\mathfrak{p} < \mathfrak{c}$、$\mathfrak{p}^{\mathfrak{m}} < \mathfrak{a}$对于所有$\mathfrak{m} < \mathfrak{c}$和$\mathfrak{a} = \sum_{\mathfrak{m} < \mathfrak{c}} \mathfrak{p}^{\mathfrak{m}}$。由(b)推导出基数$\mathfrak{c}$的集合存在E由……组成的覆盖$\mathfrak{F}$，且析取次数等于$\mathfrak{c}$，且有卡$(\mathfrak{F}) = \mathfrak{p}^{\mathfrak{c}}$。特别是，如果 E 可数无限，则存在无限集合覆盖 E 的 $\mathfrak{F}$，使得 Card $(\mathfrak{F}) = 2^{\aleph_0}$ 且 $\mathfrak{F}$ 的任意两个集合的交是*有限*。