Bourbaki

习题 1, § 1

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集合论, IV, 289

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令SS为符号PP、XX、x1,…,xnx_1,\ldots,x_n的集合，字母xix_i为权00，PP为权11，XX为权22。设TT是L(S)L(S)的平衡字。这样的字将被称为x1,…,xnx_1,\ldots,x_n上的*梯队型*。

在比集合论更强的理论中，令 E1,…,EnE_1,\ldots,E_n 为 nn 项。对于 x1,…,xnx_1,\ldots,x_n 定义项 T(E1,…,En)T(E_1,\ldots,E_n) 上的每个梯队型 TT 如下：

(i) 如果TT是字母xix_i，那么T(E1,…,En)T(E_1,\ldots,E_n)就是集合EiE_i。

(ii) 如果TT是形式PUPU，则T(E1,…,En)T(E_1,\ldots,E_n)是集合

P(U(E1,…,En)). \mathfrak{P}(U(E_1,\ldots,E_n)).

(iii) 如果TT是形式XUVXUV，其中UU和VV是组合先于TT，则T(E1,…,En)T(E_1,\ldots,E_n)是集合U(E1,…,En)×V(E1,…,En)U(E_1,\ldots,E_n)\times V(E_1,\ldots,E_n)。

证明，对于 x1,…,xnx_1,\ldots,x_n 上的每个梯队型 TT，T(E1,…,En)T(E_1,\ldots,E_n) 是项 E1,…,EnE_1,\ldots,E_n 上的梯队，反之亦然（证明归纳上长度梯队型或梯队的构造概形）。 T(E1,…,En)T(E_1,\ldots,E_n) 被称为型* TT 在项 E1,…,EnE_1,\ldots,E_n 上的*实现*。 更准确地说，nn不同字母上的每个梯队都可以在形式T(x1,…,xn)T(x_1,\ldots,x_n)中以完全相同的方式书写，其中TT是一个梯队型。

还展示了如何将 nn 字母与梯队型 TT 以及 nn 映射 f1,…,fnf_1,\ldots,f_n（这些映射的规范扩张）联系起来。推断如果nn字母上的两个梯队构造概形SS、S′S'使得S(x1,…,xn)=S′(x1,…,xn)S(x_1,\ldots,x_n)=S'(x_1,\ldots,x_n)（x1,…,xnx_1,\ldots,x_n是不同的字母），则

⟨f1,…,fn⟩S=⟨f1,…,fn⟩S′. \langle f_1,\ldots,f_n\rangle^S=\langle f_1,\ldots,f_n\rangle^{S'}.
解答

尚未写出解答。

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