Bourbaki

习题 3, § 3

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拓扑向量空间, II, p. 72

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 E 为 R\mathbf{R} 上的向量空间，并令 p 为 E (II，p. 20) 上的次线性函数。设 A 为凸集合，使得 inf⁡y∈Ap(y)>−∞\inf_{y \in A} p(y) > -\infty。 a) 表明函数

q(x)=inf⁡z∈A,t≥0(p(x+tz)−tinf⁡y∈Ap(y)) q(x) = \inf_{z \in A, t \geq 0} (p(x + tz) - t \inf_{y \in A} p(y))
是 E 上的次线性函数，使得 −p(−x)≤q(x)≤p(x)-p(-x) \leq q(x) \leq p(x)。 b) 证明 E 上存在线性形式 h，使得 E 中存在 h(x)≤p(x)h(x) \leq p(x) 且inf⁡y∈Ap(y)=inf⁡y∈Ah(y)\inf_{y \in A} p(y) = \inf_{y \in A} h(y)（取 h 使得 h(x)≤q(x)h(x) \leq q(x)）。

解答

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