习题 4, § 3

设 A 为 E 的非空集，$\mathbf{R}$ 上的向量空间，p 为 E 上的次线性函数。设 B 为 $z \in E$ 的集合，使得 $\inf_{x \in A} p(x - z) \leq 0$；对于所有 $z \in B$，我们都有 $A \subset B$ 和 $\inf_{x \in A} p(x) \leq p(z)$；其中$\inf_{x \in A} p(x) = \inf_{z \in B} p(z)$。 a) 证明$y \in E$的集合使得$\inf_{z \in B} p(z - y) \leq 0$是集合 B. b) 由a)推导出B的交和E中的任意仿射线D在D中是闭集（表明，无论E的点a，b，函数$t \to p(a + tb)$在$\mathbf{R}$中连续）。 c) 假设对于 A 的点 x, y 的每个对，都存在$z \in A$，使得 $p(z - \frac{1}{2}(x + y)) \leq 0$。证明，对于 B 的点 u, v 的每个对，我们有$\frac{1}{2}(u + v) \in B$（写

对于 A) 中的 $x, y, z$。推断 B 是凸的（使用 b)）。

d) 在c)的假设下，证明E上存在线性形式 h，使得$h(x) \leq p(x)$，并且我们有$\inf_{y \in A} p(y) = \inf_{y \in A} h(y)$（使用c）并执行。 3）。