习题 6, § 3

a) 令 H 为 E 向量空间中 $\mathbf{R}$ 中的超平面，并令 p 为 E 上的次线性函数。 令 f 为 H 上的线性形式，使得 H 中的 $f(y) \leq p(y)$。 令a为$\mathbf{C} H$的点，并令h为E上的线性形式，其中扩展f且使得$h(a) = \inf_{y \in H} (f(y + p(a - y)))$。 然后E中的$h(x) \leq p(x)$。 证明对于 E 上的每个线性形式 g 扩展 f 以及 E 中的 $g(x) \leq p(x)$，我们也有 $g(a) \leq h(a)$。 b) 令 V 为 E 的向量子空间和 V 上的 f 线性形式，使得$f(y) \leq p(y)$ 位于 V 中。 设S是E的非空集。 证明 E 上存在线性形式 h 且扩展 f，使得 E 中存在 $h(x) \leq p(x)$，并且 E 上不存在其他扩展 f 的线性形式 g，使得 E 中的 $g(x) \leq p(x)$ 与 h 不同，并且使得 S 中的 $g(x) \geq h(x)$。（考虑集合 $\mathscr{F}$ 对 (V', f') 其中 V' 是向量子空间包含 V 和 f' 线性形式在 V' 上扩展 f 并使得 $f'(z) \leq p(z)$ 在 V' 以及进一步使得 V' 上不存在具有相同属性的其他线性形式 $f''$，并且 S $\cap$ V' 中的 $f''(z) \geq f'(z)$。 阶 $\mathscr{F}$ 并使用 a) 和 th。 S 的 2 个，III, § 2.4。）