习题 11, § 5

a) 令 E 为希尔伯特空间，F 为 E 的对偶 $E'$ 的处处稠密子空间，且与 $E'$ 不同； E 的单位球 B 对于弱拓扑 $\sigma(E, F)$ 是紧致的，并且存在单位球体的点 $a$，其中不通过 B 的*闭合*（在 $\sigma(E, F)$ 中）支撑超平面。 b) 给出 E 拓扑 $\sigma(E, F)$ 并考虑在乘积空间 $G = E \times \mathbf{R}$ 集合 A 中对 $(x, \zeta)$ 使得$\|x\| < 1, \zeta \geq \|x\|/(1 - \|x\|)$。证明 A 是闭且局部紧的，但如果 D 是 G 中方程 $x = a$ 的直线，则 $D \cap A = \varnothing$ 且 G 中不存在任何将 A 与 D 分开的闭超平面。 c) 证明，当我们给 E 拓扑 $\sigma(E, F)$ 时，E 的子空间 B 中存在一个连续仿射实值函数，它不是 E 中连续仿射函数到 B 的限制。 \*