习题 22, § 5

在$\mathbf{R}^n$中，令$(C_i)_{1 \leq i \leq m}$是顶点为0的封闭凸锥的有限族，使得其中任何$n$中的和不同于$\mathbf{R}^n$。证明存在超平面 H，经过到 0，这样，对于任意指标 i，$C_i$ 的点中没有对被 H 严格分隔。（区分两种情况：

α) 要么存在数 $r < n$ 和 $r$ 指标，比如说 1, 2, ..., $r$，使得 $C_i$ 对于 $i \leq r$ 生成一个圆锥体，其中包含向量子空间$V$共维数$\geq r$。通过 $n$ 上的归纳进行论证，投影到与 $V$ 正交的方向上。

β) 或者，对于所有 $r < n$，$C_i$ 生成圆锥$C$ 中的任何$r$，使得$C$ 中包含的最大向量子空间 $C \cap (-C)$ 为维数 $< r$。然后考虑锥体 $C_i$ 的集合，对于包含在半空间中而言是最大的；最大集合中至少有 $n$ 个圆锥体。令 $\Gamma$ 为由属于锥体中的并到最大集合生成的锥体。如果 $C_j$ 是一个圆锥体，它不属于达到所考虑的最大集合，则显示 $C_i \subset -\Gamma$。为此，通过*归谬法*论证，表明在相反的情况下，存在$-\Gamma$的边界点（相对于$\Gamma$生成的向量子空间），位于$C_j$内部（相对于向量子空间生成） $C_j$）。将点写为向量的*最小*数$s$的和，其中每个属于到一个圆锥体$-C_i$，其中用于定义$\Gamma$的$C_i$；然后$s \leq n-1$。最后证明这些圆锥体和$C_j$生成凸圆锥体包含和$s+1$维度向量子空间，与假设相矛盾；为此，请使用 exerc。 4 个II、p. 65。）