习题 28, § 5

令$X$为$E$豪斯多夫局部凸空间的紧凸子集，并令$f$为$X$中的上半连续凸函数。证明$X$中连续凸函数$g$的集合$L$使得所有$x \in X$的$g(x) > f(x)$是递减有向且其下包络线等于$f$。 （令$u, v$为$L$的元素。对于$L$的构造元素，小于$u$和$v$，使用类似于第6条，II的推理， p. 40。将集合$K_1$类似于此论证中的集合$K$解释为点的集合位于小于$u$和$v$且严格更大的下半连续函数的图之上点处的$f$；将 II、p. 39 和 Dini 的 th 应用于此函数，以表明 $L$ 的下包络为 $f$，注的边界为 $f$。常数$b$；$(x, t)$是$E \times \mathbf{R}$的点，位于$f$图之上，令$K'$是$\{ (x, t) \} \cup (X' \times \{ b \})$的凸包络，其中$X'$是$x$的方便紧致邻域 $X$；与上面的$K'$争论$K_1$。）