习题 6, § 5

标签 07GB，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 07GB]。

拓扑向量空间, II, p. 77

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设 $A$ 是 $\mathbf{R}^n$ 中的闭集合，具有以下性质；对于每个 $x \in \mathbf{R}^n$ ，存在且仅有一个点 $y \in A$ 使得 $d(x, y) = d(x, A)$ ，其中 $d$ 是欧氏距离。证明 $A$ 是凸的。（用反证法论证，考虑 $A$ 包含点 $c \in \mathscr{C} A$ 中以点 $a, b$ 为终点的闭线段； $\mathscr{C} A$ 中包含中心 $c$ 的闭球 $B$ ；考虑包含 $B$ 且其内部不满足 $A$ 的闭球 $S$ 的集合 $\mathscr{B}$ ；证明这些球的半径在上方有界，并推断存在其中一个半径为 $\rho$ 的球 $S_0$ 最大的可能。然后由证明得出矛盾，即 $S_0$ 只能在单个点中满足 $A$ ，这意味着在 $\mathscr{B}$ 中存在半径为 $> \rho$ 的球。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。