习题 22, § 4

令 $E$ 为无限维 Banach 空间满足可数性第一公理。 a) 证明 $E$ 的所有紧凑、凸且平衡的子集 $A$ 的集合 $\mathscr{K}$ 使得 $E_A$ 是无限维的，是无限的并且具有基数 $\leq 2^{\mathrm{Card}(\mathbf{N})}$（GT，IX, § 5，练习 17）。 对于每个$x_0 \in E$和每个$A \in \mathscr{K}$，集合$x_0 + A$包含一个免费的子集基数$2^{\mathrm{Card}(\mathbf{N})}$（II，p. 80，练习24，c））。 b) 设$x_0 \neq 0$在$E$中。 证明存在一个族$(y_A)_{A \in \mathscr{K}}$，使得$x_0$和$y_A$形式是一个自由族，并且我们对所有$A \in \mathscr{K}$有$y_A \in x_0 + A$（以及阶$\mathscr{K}$并通过超限归纳争论，使用$a$）。 c) 令$f \in E^*$为线性形式，使得$f(x_0) = 1$和$f(y_A) = 0$对于所有$A \in \mathscr{K}$，并令$H = f^{-1}(0)$。 证明 $H$ 的凸、平衡和半完备的子集 $M$ 必然是有限维的（观察到，如果不是，$M$ 将包含一个无限维紧凑凸且平衡的集合 $A$；因此 $y_A$ 将属于到$H \cap (x_0 + M)$）。 d)表明由$E$引起的$H$和拓扑不是超出生的，尽管是出生的和桶装的（III，p. 44，练习14）。 （通过使用$c$，证明如果$H$是超出生的，那么它的拓扑将是最好的局部凸拓扑，并推导出矛盾。）