§ 4. 。巴纳赫-斯坦豪斯定理

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§ 4。巴纳赫-斯坦豪斯定理

在本段中，E 表示局部凸空间，E' 表示其对偶。每当我们谈论 E' 上的弱拓扑时，我们指的是 $\sigma(E', E)$ 。

1. 桶装和桶装空间

命题 1 07NZ

令 T 为 E 的子集。以下条件是等效的：

引用了 1

引用了 II § 6. 。弱拓扑

(i) T 是凸形的、平衡的、封闭的和吸收性的。

(ii) T 是 E' 中凸、平衡且弱有界集合 M 的极坐标。

(iii) E 上存在一个下半连续半范数 p，使得 T 是所有 x ∈ E 满足 p(x) ≤ 1 的集合。

(i) ⇒ (ii) : 在(i)的假设下，令M = T°；则 M 是凸的并且在 E' 中平衡。对于每个 x ∈ E，存在实数 r > 0 使得 rx ∈ T，因此 |u(x)| ≤ $\frac{1}{r}$ 对于所有 u ∈ M；在其他字 M 是弱有界的。来自科。 3 of II, p. 45，我们有 T = M°，因此 T 满足 (ii)。

(ii) ⇒ (iii) : 在 (ii) 的假设下，令 $p(x) = \sup_{u \in M} |u(x)|$ 对于所有 x ∈ E。T = M° 由所有 x ∈ E 组成且 p(x) ≤ 1 为直接的。E' 上的半范数 p 是下半连续的，是连续族函数 (GT, IV, § 6, No. 2，推论）。

(iii)⇒(i)：这很清楚。

推论 07O0

以下条件是等价的：

(i) E' 的每个弱有界子集都是等连续的；

(ii) E 中每个凸、平衡、闭、吸收的集合都是 0 的邻域；

(iii) E 上的每个下半连续半范数都是连续的。

定义 1 07O1

集合 T 满足相当于 prop 的条件。 1 据说是 E 中的一个桶。

定义 2 07O2

如果空间 E 满足 prop 推论的等价条件，则称 E 为桶状。 1.

引用了 1

引用了 III § 3. 。连续空间线性映射

我们知道（III，p. 22，命题 9）E 的对偶 E' 的每个等连续子集都是强有界和弱有界的。因此，我们可以将桶装空间的定义重述如下：

学院 07O3

在桶状空间的对偶中，等连续集合的类、强有界集合的类、弱有界集合的类以及弱拓扑的相对紧集的类都是相同的。如果 E 是 Hausdorff 且桶状的，并且如果 E'_b 是其强对偶，则 0 的邻域极坐标位于另一个规范出生学的空间形式基之一中，以及空间形式之一中的有界子集极坐标基为其他空间的0的邻域的过滤器。

命题 2 07O4

每个局部凸空间 E（即 Baire 空间 (GT, IX, § 5, No. 3)）都是桶状的。

引用了 1

引用了 II § 2. 。凸面集合

设T为E中的一个桶；由于 T 是吸收性的，E 是闭集合 nT 的并 (n 整数 > 0)；因为 E 是 Baire 空间，所以这些集合包含中至少有一个是内部点，因此 T 本身有一个内部点 x。如果 $x \neq 0$ ，因为 $-x \in T$ ，并且0是具有端点x和 $-x$ 的开段的点，则0是凸集合T的内部点（II，p. 14，道具16）。因此 T 是 0 的邻域。

推论 07O5

— 每个 Fréchet 空间（特别是每个 Banach 空间）都是桶装的。这源自 Baire 的定理（GT，IX, § 5, No. 3，第 1）。

命题 3 07O6

— *令 $(F_i)_{i \in I}$ 为桶状空间族，对于每个 $i \in I$ ，令 $f_i$ 为从 $F_i$ 到向量空间E的线性映射。空间E具有最细的局部凸拓扑，其中 $f_i$ 是连续的（II、p. 27、道具 5），是桶装空间。

引用了 1

引用了 II § 4. 。局部凸空间

设T为E中的桶。由于 $f_i$ 是连续的，因此 $f_i^{-1}(T)$ 是 $F_i$ 中的凸、平衡、封闭且可吸收的集合；其他字， $F_i$ 一桶；由于 $F_i$ 是桶装的，对于所有 $i \in I$ ， $f_i^{-1}(T)$ 是 $F_i$ 中0的邻域。这意味着 T 是 E 中 0 的邻域（II，p. 27，道具 5）。

推论 1 07O7

— *桶装空间的每个商空间都是桶装。

推论 2 07O8

— *令 $(E_i)_{i \in I}$ 为局部凸空间族，并令E为该族的拓扑直和。为了使 E 被桶装，每个 $E_i$ 被桶装是必要且充分的。

引用了 1

引用了 II § 4. 。局部凸空间

凭借 prop，条件显然是足够的。 3； cor. 这也是必要的。 1，因为每个 $E_i$ 同构于E的商空间（II，p. 31，道具8）。

推论 3 07O9

— *桶装空间的每个感应极限都是桶装空间。

引用了 1

引用了 IV § 2. 。双向。反射空间

稍后我们将证明（IV，p. 14，推论）桶装空间的每一个乘积都是桶装的。

2. 巴纳赫斯坦豪斯定理

定理 1 07OA

— *令 E 为桶状空间，F 为局部凸空间。 $\mathscr{L}(E; F)$ 的每个简单有界子集 H 都是等连续的。

设 $p$ 为 F 上的连续半范数；让 $q = \sup_{u \in H} (p \circ u)$ 。由于 H 是简单有界的，因此对于所有 $x \in E$ ，我们有 $q(x) < +\infty$ ，并且 $q$ 是下半连续半范数，是连续半范数的有限上包络。由于 E 是桶形的， $q$ 是连续半范数，因此 H 是等连续的。

推论 1 07OB

— *设E和F是两个Banach空间，H是从E到F的连续线性映射族；如果对于所有 $x \in E$ ，我们有 $\sup_{u \in H} \|u(x)\| < +\infty$ ，那么我们也有 $\sup_{u \in H} \|u\| < +\infty$ 。

引用了 1

引用了 § 4. 。巴纳赫-斯坦豪斯定理

事实上，假设表示H是简单有界的并且结论是它是等连续的。在加法中，每个 Banach 空间都经过桶装（III，p. 25）。

推论 2 07OC

—（巴纳赫-斯坦豪斯定理）。 — 令 E 为桶状空间，F 为局部凸 Hausdorff 空间，并令 $(u_n)$ 为从 E 到 F 的连续线性映射 的序列，它简单地收敛到从 E 到 F 的映射 u。然后 $u \in \mathscr{L}(E; F)$ 和 $(u_n)$ 在每个点上均匀地收敛到 u E 的预紧子集。

引用了 1

引用了 III § 3. 。连续空间线性映射

事实上，序列 $(u_n)$ 是简单有界的，因此是等连续的，并且推论来自cor。的道具。 III、p. 18 中的 5 个。

注 1 07OD

性质用cor表示。 2并不意味着E是桶装的：我们稍后会看到Fréchet 空间的强对偶拥有这个性质，但不一定是桶装的（IV，p. 23，对应于道具2和p. 58，执行。

引用了 1

引用了 IV § 3. 。双弗雷切特空间

注 2 07OE

设E和F是两个Banach空间，以及从E到F的连续线性映射的 $(u_n)$ 序列，使得 $\sup \|u_n\| = + \infty$ 。那么所有 $x \in E$ 的集合X使得 $\sup \|u_n(x)\| = + \infty$ 在E中是稠密的并且是E中开集合的序列的交。对于，令 $X_k$ 表示所有 $x \in E$ 的集合使得 $\sup \|u_n(x)\| > k$ （对于 k 整数 $> 0$ ）。每个 $X_k$ 都是开放的，X是 $X_k$ 的交。由于 E 是 Baire 空间，因此足以证明每个 $X_k$ 在 E 中都是稠密的。但是，如果 $X_k$ 包含的补集是一个非空开集合 U，则对于 $x \in U - U$ ，我们将有 $\|u_n(x)\| \leq 2k$ ，并且，因为 $U - U$ 是邻域为0，我们将有 $\sup \|u_n\| < + \infty$ 。

推论 3 07OF

— *令 E 为桶状空间，F 为局部凸 Hausdorff 空间， $\Phi$ $\mathscr{L}(E; F)$ 上的滤波器，它简单地收敛于 E 到映射 u，从 E 到 F。如果 $\Phi$ 包含为 $\mathscr{L}(E; F)$ 的简单有界子集，或者如果 $\Phi$ 有一个可数基，那么u是从E到F的连续线性映射，并且 $\Phi$ 在E的每个预紧子集上一致收敛到u。

引用了 1

引用了 III § 3. 。连续空间线性映射

首先假设 $\Phi$ 包含 a 简单有界集合 H ；由于 H 是等连续的 (th. 1)，因此推论来自于 prop 的推论。 5（III，p. 18）。 If $\Phi$ has a countable base, every elementary filter $\Psi$ associated with a sequence $u_n$ (GT, I, § 6, No. 8) which is finer than $\Phi$ is then simply convergent to u in E and it follows from cor. 2 that u is a continuous linear mapping from E into F, and that $\Psi$ converges to u for the topology of uniform convergence on precompact subsets of E. 因而，对于 $\Phi$ 同样成立，因为后者是基本滤波器的交，每个更细比 $\Phi$ （GT，I, § 6, No. 8）。

我们观察到， $\mathscr{L}(E; F)$ 上简单收敛且具有可数基的滤波器不一定是包含简单有界的集合：要看到这一点，请考虑当F的拓扑可度量时， $\mathscr{L}(K; F)$ 中0的邻域滤波器的例，但不能由单个范数定义。

例 07OG

— 令 E 为连续复形函数的 Banach 空间（超过 $\mathbf{C}$ ）由……组成，其中 $\mathbf{R}$ 具有周期 1，且范数 $\|f\| = \sup_x |f(x)|$ 。

对于每个整数 $n \in \mathbf{Z}$ 和每个函数 $f \in E$ ，令 $c_n(f) = \int_0^1 f(x) e^{-2i\pi nx} dx$ （ $n$ - $f$ 的第一个傅立叶系数）；每个映射 $f \mapsto c_n(f)$ 都是E上的连续线性形式。令 $(\alpha_n)$ 为复数的序列，这样，对于每个函数 $f \in E$ ，与一般项 $\alpha_n c_n(f) + \alpha_{-n} c_{-n}(f)$ 的级数是收敛的。在这些条件下，映射 $u : f \mapsto \alpha_0 c_0(f) + \sum_{n \geq 1} [\alpha_n c_n(f) + \alpha_{-n} c_{-n}(f)]$ 是E上的连续线性形式； \* 在其他字中， $[0, 1]$ 上存在一个测度 $\mu$ ，使得 $u(f) = \int f(x) d\mu(x)$ 对于每个函数 $f \in E$ ， $\alpha_n$ 是 $\mu$ 的第 $n$ 个傅里叶系数。*事实上，对于每个整数 $m > 0$ 、映射 $f \mapsto \sum_{k = -m}^m \alpha_k c_k(f)$ 是 E 上的连续线性形式 $u_m$ ，并且对于所有 $f \in E$ ，序列 $(u_m(f))$ 通过假设收敛到 $u(f)$ 。断言接下来是 Banach-Steinhaus 定理，因为 E 是桶装的。

推论 4 07OH

— *令 E 和 F 为两个局部凸空间， $\mathfrak{S}$ 有界子集的 E 由……组成的覆盖。如果 E 是桶装的且 F 是 Hausdorff 且准完备的，则空间 $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E; F)$ 是 Hausdorff 且准完备。

引用了 2

引用了 III § 3. 。连续空间线性映射, § 4. 。巴纳赫-斯坦豪斯定理

事实上， $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E; F)$ 的每个有界和闭子集都是简单有界的（因为 $\mathfrak{S}$ 是E的覆盖），因此是等连续的（III，p. 25，第1），因此是 $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E; F)$ 的完整子空间，因为prop。 11（III，p. 22）。

推论 5 07OI

— *桶装空间的强对偶和弱对偶是准完整的。

3. 有界子集 of $\mathscr{L}(E; F)$ （准完全情况）

定理 2 07OJ

— *设 E 为局部凸 Hausdorff 空间，F 为局部凸空间和 $\mathfrak{S}$ E 的闭、凸、平衡、有界和半完备子集族（III，p. 7）。 $\mathscr{L}(E; F)$ 的每个简单有界子集 H 都针对 $\mathfrak{S}$ 拓扑有界。

引用了 1

引用了 § 4. 。巴纳赫-斯坦豪斯定理

让 $A \in \mathfrak{S}$ 。空间 $E_A$ 则为 Banach 空间（III、p. 8，推论），因此是桶装的。另一方面， $\mathscr{L}(E_A; F)$ 中H的典范像是简单有界的，因此是等连续的（III，p. 25，th.1）。因而， $u \in H$ 和 $x \in A$ 的所有 $u(x)$ 中的集合在F中有界，这证明H对于 $\mathfrak{S}$ 拓扑是有界的。

推论 1 07OK

— *设 E 为局部凸 Hausdorff 空间，F 为局部凸空间， $\mathfrak{S}$ E 的有界子集系列。如果 E 是半完备的，则 $\mathscr{L}(E; F)$ 的每个简单有界子集都有界 $\mathfrak{S}$ -拓扑。

应用th就足够了。 2、 $\mathfrak{S}$ 的之后替换集合由其封闭、凸、平衡的包络线组成，因为这不是变换 $\mathfrak{S}$ 拓扑。

当 E 是半完备的（对于例准完备）时，我们可以讨论 $\mathscr{L}(E; F)$ 的*有界子集*，而无需指定 $\mathfrak{S}$ 拓扑，因为只要 $\mathfrak{S}$ 是E的覆盖，这些对于所有 $\mathfrak{S}$ 拓扑都是相同的。

推论 2 07OL

— *每一个半完整的出生空间都是桶装的。

引用了 1

引用了 III § 3. 。连续空间线性映射

这样的空间的对偶的每个单有界子集都是强有界的（cor. 1），因此等连续（III，p. 22，道具 10）。

推论 3 07OM

— *令 E 为局部凸空间。 E 的每个子集的边界为 $\sigma(E, E')$ 都是有界的。

引用了 1

引用了 III § 3. 。连续空间线性映射

设 A 为 E 的子集。说 A 的边界为 $\sigma(E, E')$ 意味着 E 上的每个连续线性形式都边界为 A ；说 A 有界意味着 E 上的每个连续半范数在 A 上都有界。令 N 为 E 中 0 的闭包，以及从 E 到 E/N 的 $\pi$ 典范映射。 E 上的连续线性形式是形式 $f \circ \pi$ 与 $f \in (E/N)'$ 的映射，我们有一个类似的 E 上的连续半范数刻画。替换 E 由 E/N 和 A 由 $\pi(A)$ 我们可以因此极限我们自己的情况是 E 是 Hausdorff。

设 $\mathfrak{S}$ 为 $E'$ 等连续子集的集合；当 $E'$ 被分配拓扑 $\sigma(E', E)$ 时， $E$ 可以用 $(E')_{\mathfrak{S}}'$ 来识别（III，p. 19，cor.1）。 $E'$ 的每个闭等连续子集对于 $\sigma(E', E)$ 都是紧致的（III，p. 17，cor. 2），因此对于 $\sigma(E', E)$ 来说是完备的。现在应用 th 就足够了。 2.

习题

参见习题为 § 4。