显然，我们只需要考虑对于每个$i$，指标是$1, 2, ..., p$和$\lambda_i > 0$的情况；如果 $p = 1$，命题是微不足道的；我们通过$p$上的归纳证明结果。把$\mu = \sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i > 0$，和$y = \sum_{i=1}^{p-1} \frac{\lambda_i}{\mu} x_i$； 归纳假设意味着$y \in A$。现在为 $\lambda_p = 1 - \mu$ 和 $\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i = \mu y + (1 - \mu) x_p$，它来自 def。 1 $\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i$ 属于至 $A$。

结尾为点 $x, y$ 的闭合线段的 $f$ 下的像是结尾为点 $f(x), f(y)$ 的闭合线段，因此第一个叙述。我们推导出$F$的闭路段在$f$包含下的逆像，每个闭路段的端点为点属于；道具的第二个叙述。 2如下。

特别是位似下凸集合的像或平移是凸集合。

因为这些是逆像在 $g$ 的间隔 $\mathbf{R}$ 之下，因此是凸的。

带有记号的支柱。 3 仿射空间的子集 $M$ 的点位于超平面 $H$ 的*同一侧*（或*严格位于同一侧*），如果 $M$ 包含在由 $g(x) \geq 0, g(x) \leq 0$ 定义的半空间之一中（分别为 $g(x) > 0$ 或 $g(x) < 0$）。

显然条件是必要的。相反，假设满足，并令 $g(x) = 0$ 为定义 H 的方程（$g$ 是 E 在 $\mathbf{R}$ 中的仿射线性映射）。 集合 $g(A)$ 在 $\mathbf{R}$ 中凸，因此是一个区间，$0 \notin g(A)$。因此$g(x)$对于所有$x \in A$来说都是固定符号。

命题紧跟在 def 之后。 1 个II、p. 7。

事实上，每个投影$\mathrm{pr}_i$都是线性映射，我们有$A_i = \mathrm{pr}_i A$和$A = \bigcap_{i \in I} \mathrm{pr}_i^{-1}(A_i)$； 命题来自 props。上面2和5。

因为它在长方体的仿射线性映射下是像，并且最后一个通过支柱是凸的。 6.

对于$\alpha A + \beta B$，是$E$中$E \times E$的线性映射$(x, y) \mapsto \alpha x + \beta y$下$E \times E$的凸子集$A \times B$的像。

用C表示这些线性组合中的集合，显然C包含在每个凸集合中，其中包含所有$A_i$（II，p. 8，道具1）；另一方面，每$i$对应$A_i \subset C$。剩下要证明的是 C 是凸的。令$x = \sum \lambda_i x_i$、$y = \sum \mu_i y_i$为C的两个点，$\alpha$为数，使得$0 < \alpha < 1$，对于每个i ∈ I，写出γ_i = αλ_i + (1 - α) μ_i，并令J为集合 (有限) of 指标 of I，其中 γ_i ≠ 0。我们可以写成 αx + (1 - α)y = Σ_{i∈J} γ_i z_i，其中

对于所有 i ∈ J，属于到 A_i；但是$\sum_{i\in J} \gamma_i = \alpha \sum_{i\in I} \lambda_i + (1 - \alpha) \sum_{i\in I} \mu_i = 1$，我们看到$ax + (1 - \alpha) y \in C$。 命题得证。

由凸集合 A 生成的仿射线性簇 (A, II, § 9.3) 的维数称为 A 的 维数。

令 E 为向量空间。 E 中集合 A 的平衡包络线的凸包络线 C 称为 A 的*平衡凸包络线*（或*对称凸包络线*）；显然，包含于 A 是最小的对称凸集合；它也是 $A \cup (-A)$ 的凸包络线，因为属于的平衡包络线的每个点到具有端点 a 和 −a 的线段，其中 $a \in A$。 集合 C 重合，其中集合为线性组合 $\sum_i \lambda_i x_i$，其中 $x_i \in A$ 和 $\sum_i |\lambda_i| \leq 1$；因为很明显，点的集合是凸的，包含A和-A；证明它包含在C中就足够了，为此我们只需要考虑那些$\mu = \sum_i |\lambda_i| > 0$的线性组合；然后我们可以用$\alpha_i = \lambda_i/\mu$和$y_i = x_i$来写$\sum_i \lambda_i x_i = \mu \cdot \sum_i \alpha_i y_i$，如果$\lambda_i \geq 0$；和$\alpha_i = -\lambda_i/\mu$； $y_i = -x_i$如果$\lambda_i < 0$；显然$\sum_i \alpha_i = 1$，我们的断言就被证明了。

线性映射也有类似的叙述和平衡凸包络线。

如果 C 包含是一条穿过 0 的线，那么显然 $C'$ 不是凸的。现在假设C是正确的，并且令x，y是$C'$的两个点。以点 x, y 为终点的闭线段包含在C中；如果它包含 0 那么 $\lambda x + (1 - \lambda) y = 0$ 对于某些 $\lambda$ 和 $0 < \lambda < 1$，因此 $x = \mu y$ 和 $\mu < 0$。因此，C包含穿过0和x的线，与假设相反。

对于条件 $\lambda C \subset C$ 对于所有 $\lambda > 0$ 表征锥体。如果 C 是凸的，我们有 $C + C = \frac{1}{2}C + \frac{1}{2}C = C$ (II, p. 8, 注)。相反，如果圆锥体C满足$C + C \subset C$，那么对于$0 < \lambda < 1$，我们有$\lambda C + (1 - \lambda) C = C + C \subset C$，这表明C是凸的。

因为，如果$V = C - C$，则V非空，对于所有$\lambda \neq 0$，我们有$\lambda V = V$，以及$V + V = C + C - (C + C) \subset C - C = V$，这表明V是向量子空间。最后每向量子空间包含C还有包含V。

对于，如果 $W = C \cap (-C)$，那么 W 是非空的，并且 $\lambda W = W$ 对于所有 $\lambda \neq 0$，也

这表明W是向量子空间。显然C中包含的每个向量子空间也包含在W中。

显然，如果$f$是向量空间F中E的线性映射，则E中凸锥C的$f(C)$、像是F中的凸锥。E中每一个交凸锥（顶点为0）都是凸锥。对于凸锥体包含 A 的 E 交的每个子集 A（这些存在，E 本身就是这样一个锥体）是最小的凸锥体，即包含 A；它被称为由 A 生成的凸锥体。

事实上，显然这样的点的C、集合，是$C_i$的凸锥包含并，并且它包含在包含这个并的任意凸锥中。

足以看出，如果 A 的凸锥包含点 $x \neq 0$，那么它也是包含点 $\lambda x$ 的半线$C_x$，其中$\lambda$在正数的集合变化，并且$C_x$是凸锥体。

集合 C 显然是一个圆锥体；只要证明 C 是凸的就足够了。令$\lambda x, \mu y$为C($\lambda > 0, \mu > 0, x \in A, y \in A$)中的两个点。令$\alpha, \beta$为两个数$> 0$，使得$\alpha + \beta = 1$。然后是$\alpha \lambda x + \beta \mu y = (\alpha \lambda + \beta \mu) z$，还有$z \in A$，还有$\alpha \lambda + \beta \mu > 0$；因此$\alpha \lambda x + \beta \mu y \in C$。

(ii) 相反，如果 P 是 E 中的尖凸锥体，则关系 $y - x \in P$ 是 E 上的预序关系，且预序结构定义是唯一与 的向量空间结构兼容的E 且 P 为元素 $\geqslant 0$ 中的集合。

(iii) 关系 $y - x \in P$，其中 P 为尖凸圆锥，当且仅当 P 为真圆锥时，在 E 上为序关系。

(i) 公理 (EO_I) 和 (EO_{II}) 意味着对于所有 $\lambda > 0$ 都有 $P + P \subset P$ 和 $\lambda P \subset P$。由于 $0 \in P$，因此 P 是尖凸锥体（II，p. 11，命题 10）。

(ii) 相反，如果 P 是尖凸锥体，关系 $P + P \subset P$ 意味着关系 $y - x \in P$ 是预序与 E 的加法群结构兼容 (A, VI, p. 3, prop. 3）；明确写出$x \leqslant y$、集合 P 与$x \geqslant 0$ 的集合相同；进一步，对于所有 $\lambda \geqslant 0$ 关系 $\lambda P \subset P$ 表明满足公理 (EO_{II})。

(iii) 说 P 是正确的意味着 $P \cap (-P) = \{0\}$ (II, p. 11, cor. 2)，因此 $y - x \in P$ 是序关系。

对于，令 A 为凸集合； 映射$(x, y) \mapsto \lambda x + (1 - \lambda) y$，其中$0 < \lambda < 1$在$E \times E$中连续，映射$A \times A$在A中连续；因此 (GT, I, § 2.1, th. 1) 它在 $\overline{A}$ 中有映射 $\overline{A} \times \overline{A}$，这表明 $\overline{A}$ 是凸的。类似地，如果 C 是顶点为 0 的凸圆锥体，则对于所有 $\lambda > 0$ 来说，$\overline{C} + \overline{C} \subset \overline{C}$ 和 $\lambda \overline{C} \subset \overline{C}$。

令 B 为由点 $(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n)$ 定义的 $\mathbf{R}^n$ 中的紧集，其中 $\lambda_i \geq 0$ ($1 \leq i \leq n$) 和 $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$。 E 中定义 $B \times \prod_{i=1}^n A_i \subset \mathbf{R}^n \times E^n$ 的连续映射由公式 $(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n, x_1, x_2, ..., x_n) \mapsto \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i$ 组成。 $\bigcup_{i=1}^n A_i$的凸包络C在这个映射下是$B \times \prod_{i=1}^n A_i$的像；由于 $B \times \prod_{i=1}^n A_i$ 是紧的，E 是 Hausdorff，因此 C 是紧的。

事实上，令 j 为 E 的 Hausdorff 完成$\hat{E}$ 中的典范映射；如果C是A的凸包络，则$j(C)$是$\hat{E}$中有限集合$j(A)$的凸包络，因此$j(C)$是紧的（cor.1），因此C是预紧的（GT，II, § 4.2）。

对于该段的任何点 y，令 f 为中心 y 的位似和比率 $\lambda < 0$，其中变换 $x_0$ 变为 x。如果V是A中包含的$x_0$的开邻域，则$f(V)$是x的邻域，因此包含点$f(z) \in A$；现在

因此 $y - f(z) = \frac{\lambda}{\lambda - 1} (z - f(z))$，因此 y 通过位似 g、中心 $f(z)$ 和比率 $\mu = \lambda / (\lambda - 1)$ 变换为 z；由于$0 < \mu < 1$，g变换V进入A中包含的0的邻域，命题被证明。

它来自道具。 16，如果$\overset{\circ}{A}$不为空，则它是凸集合，并且$\overline{A}$的每个点是$\overset{\circ}{A}$的簇点。接下来我们展示$\overline{A}$属于到$\overset{\circ}{A}$的每个内部点。令 x 为 $\overline{A}$ 的内部点，并假设 $x = 0$ 是确定的。令V为0的对称邻域，包含在$\overline{A}$中，并令$y \in \overset{\circ}{A} \cap V$；现在$-y \in \overline{A}$，因此，通过道具。 16、我们看到$0 \in \overset{\circ}{A}$，如果$y \neq 0$；如果$y = 0$，这显然是正确的。

由于比率 $> 0$ 和中心 0 变换 C 与自身相似，因此它们对 $\dot{C}$ 也同样相似，因此 $\dot{C}$ 是圆锥体；其余的推论来自 cor。 1 和明显的注，如果C不为空，那么$\overline{C}$包含是C的顶点。

设 H 为 $\mathbf{R}$ 拓扑向量空间 E 中的闭超平面；它有一个方程形式 $f(x) = \alpha$，其中 $f$ 是连续的线性形式，与 E 中的零不同（I，p. 13，第 1）。因此，分别由$f(x) \leqslant \alpha$和$f(x) \geqslant \alpha$定义的闭合半部空间是*闭合*凸集合；它们的补集分别由$f(x) > \alpha$和$f(x) < \alpha$定义，是*开*凸集合。我们说这些半空间是由 H 确定的闭（或开）半空间。

事实上，假设 H 包含原点，$f(x) = 0$ 是 H 的方程；为了明确起见，假设 $f(x) \geqslant 0$ 对于所有 $x \in A$。由点 y 形成的半部空间，使得$f(y) > -1$ 包含至少有一个内部点，并且，通过翻译，同样适用于点 y 的半部空间，使得$f(y) > 0$；这表明 H 是封闭的（I，p. 11，推论）。那么我们知道$f$是E在$\mathbf{R}$上的严格态射（I，p. 13，推论），因此$f(\dot{A})$是$\mathbf{R}$中的开集合。这集合不能包含 0 或者它会包含数 $< 0$ 与假设相反；因此它包含在开区间 $]0, +\infty[$ 中。另一方面，那些 y 的一半空间 $f(y) \geqslant 0$ 是闭合的，并且包含 A，因此它是包含 $\overline{A}$。

应用道具。 17 到情况$A = P$，其中H是超平面，方程为$f(x) = 0$。

对于，设 $b = \lim_{x \in H} x$；对于$y \in H$、$x \in H$的集合，使得$x \geq y$是H的截面滤波器的集合，因此b是该集合的集群点；但由于集合 $x \geq y$ 在 E 中是闭的，所以我们有 $b \geq y$，因此 b 是 H 的上界。 另一方面，如果 a 是 H 的上界，则 H 包含在闭闭的集合 $x \leq a$ 中；由于 b 是 H 的簇点，因此我们有 $b \leq a$，它完成证明（II，p. 72，执行 42）。

a) 函数 $f$ 是凸的。 b) 仿射空间 $E \times \mathbf{R}$ 中的集合 $F$ 是凸的。 c) 仿射空间$E \times \mathbf{R}$中的集合$F'$是凸的。

我们证明$a) \Rightarrow c)$。设$(x, a)$和$(y, b)$是$F'$和$0 < \lambda < 1$的两个点，则$f(x) < a,\ f(y) < b$并且如果$f$是凸的

这表明$E \times \mathbf{R}$属于到$F'$的点$\lambda(x, a) + (1 - \lambda)(y, b)$。因此 $F'$ 是凸的。

接下来我们展示$c) \Rightarrow b)$。如果$(x, a), (y, b)$是$F$的两个点，那么对于每个$\varepsilon > 0$，$(x, a + \varepsilon)$和$(y, b + \varepsilon)$属于到$F'$，如果$0 < \lambda < 1$，$(\lambda x + (1 - \lambda) y, \lambda a + (1 - \lambda) b + \varepsilon)$也是如此；通过$F$的定义，这意味着$(\lambda x + (1 - \lambda) y, \lambda a + (1 - \lambda) b)$属于到$F$。

最后$b) \Rightarrow a)$，对于（与上面的记号），如果$(\lambda x + (1 - \lambda) y, \lambda a + (1 - \lambda) b)$属于到$F$则

提供$a \geqslant f(x)$和$b \geqslant f(y)$；因此 (1) 成立，$f$ 是凸的。

事实上，它是$F$（或$F'$）的交的$E$上的投影和$E \times \mathbf{R}$中的超平面$E \times \{\alpha\}$。

(3)

如果 $f$ 是严格凸的，并且如果 $\lambda_i > 0$ 对于所有 $i$，则

(4)

除非所有$x_i$ 都相等。

不等式 (3) 源自II，道具。上面的 19 和II，p. 8，道具。 1. 假设$x_i$不全部相等（这意味着$p \geq 2$）并且$\lambda_i$都$> 0$；那么点 $z = \sum_{i=1}^p \lambda_i x_i$ 与至少一个 $x_i$ 不同。为了确定性，假设$z \neq x_1$，在$y_1 = \sum_{i=2}^p \frac{\lambda_i}{1 - \lambda_1} x_i$处写下$z = \lambda_1 x_1 + (1 - \lambda_1) y_1$。然后$y_1 \neq x_1$，以及$0 < \lambda_1 < 1$，到假设，我们有，

但由 (3) $f(y_1) \leq \sum_{i=2}^p \frac{\lambda_i}{1 - \lambda_1} f(x_i)$ 和不等式 (4) 得出。

条件显然是必要的，我们证明它是充分的。令$x_0 \in X$为点，使得$f$在$x_0$的邻域V上界；我们首先证明$f$在$x_0$连续。通过翻译，我们可以将自己限制在$x_0 = 0$和$f(x_0) = 0$的情况；此外，我们可以假设邻域 V 是平衡的（I，p. 7，命题 4）。假设V中有$f(x) \leq a$；对于每个$\varepsilon, 0 < \varepsilon < 1$，我们观察到如果$x \in \varepsilon V$，则$x/\varepsilon \in V$和$-x/\varepsilon \in V$。 II、p. 16到点$x/\varepsilon$和0到数$\lambda = \varepsilon$的应用不等式（1），我们看到$f(x) \leq \varepsilon f(x/\varepsilon) \leq \varepsilon a$； 应用到点 $x$ 和 $-x/\varepsilon$ 和数 $\lambda = 1/(1 + \varepsilon)$，得到 $f(x) \geq -\varepsilon f(-x/\varepsilon) \geq -\varepsilon a$。因此，如果$\varepsilon$足够小，$f(x)$在$\varepsilon V$中任意小，并且$f$在$x = 0$处连续。

现在让$y$是X的一些点；由于 X 是开放的，因此存在数 $\rho > 1$，使得 $z = \rho y$ 属于到 X。令$g$为中心$z$与$\lambda = 1 - \frac{1}{\rho}$之比位似$x \mapsto \lambda x + (1 - \lambda)z$，其中变换0变为$y$；对于每个点 $g(x) \in g(V)$，我们有 (1)

因此，$f$以$y$的邻域为界，因此，通过第一个部分，在$y$处连续。 命题得证。

我们可以假设 X 不为空。那么在X、$n + 1$中存在仿射独立点$a_i$($0 \leq i \leq n$)以及这些点、S、包含的凸包络由点$\sum_{i=0}^n \lambda_i a_i$构成的开非空集$0 < \lambda_i < 1$ 适用于所有 $i$ 和 $\sum_{i=0}^n \lambda_i = 1$。由II，p. 17，道具。 20, $f$ 在 S 中有界，因此是连续的。

在无限维数的拓扑向量空间中，通常存在线性不连续形式（II，p. 80，练习25），因此存在凸函数，它们在任何点都不连续。