§ 1. 。半规范 · 拓扑向量空间

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§ 1。半规范

在本段中， $\mathbf{K}$ 表示非离散值除法环。

1. 半范数定义

定义 1 07AP

令 E 为左向量空间超过 $\mathbf{K}$ 。 $\mathbf{R}_+ = \{ 0, + \infty \}$ 中 E 的映射 $p$ ，如果满足以下公理，则称为 E 上的半范数： (SN_I) 如果 $x \in \mathrm{E}$ 和 $\lambda \in \mathbf{K}$ 则 $p(\lambda x) = |\lambda| \, p(x)$ 。 (SN_II) 如果 $x \in \mathrm{E}$ 和 $y \in \mathrm{E}$ 那么 $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ 。

由于 $p(x) \leq p(y) + p(x - y)$ 和 $p(y) \leq p(x) + p(y - x)$ ，从 $p(y - x) = p(x - y)$ ，我们推出

|p(x) - p(y)| \leq p(x - y) .

例 1 07AQ

E 上的范数是半范数 $p$ ，因此关系 $p(x) = 0$ 意味着 $x = 0$ (I, p. 3)。

例 2 07AR

对于 E 上的每个线性形式 $f$ ，函数 $x \mapsto |f(x)|$ 是 E 上的半范数。

例 3 07AS

如果 $p_i (1 \leq i \leq n)$ 是 E 上半范数的有限集合，则显然 $p'(x) = \sup_{1 \leq i \leq n} p_i(x)$ 和 $p''(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i p_i(x)$ （其中 $\alpha_i$ 是 $\geq 0$ ）都是 E 上的半范数。

如果满足 (SN $_I$ ) 和以下公理，则 $\mathbf{R}_+$ 中 E 的映射 $p$ 被称为*超半范数*：

(SN $_{II}'$ ) *如果 $x \in E$ 和 $y \in E$ ，则 $p(x + y) \leq \sup(p(x), p(y))$ 。

显然，超半范数就是半范数。

说 K 上的绝对值是*超度量*（CA，VI, § 6.2）意味着它是左向量空间 $K_s$ 上的超半范数，与零不同。

命题 1 07AT

设 E 为 K 上的左拓扑向量空间，并令 p 为 E 上的半范数。以下条件是等价的：* a) p 在 E 中连续。 b) p 在点 0 处连续。 c) p 是一致连续的。 d) 对于每个实数 $\alpha > 0$ 、集合 W(p, $\alpha$ )，其中 $x \in E$ 的 $p(x) < \alpha$ 在 E 中打开。 e) 存在实数 $\alpha > 0$ ，使得W(p, $\alpha$ )在E中为0的邻域。 f) *对于每个实数 $\alpha > 0$ 、集合 V(p, $\alpha$ )，其中 $x \in E$ 的 $p(x) \leq \alpha$ ，在 E 中邻域为 0。

事实上，c) $\Rightarrow$ a) $\Rightarrow$ b) $\Rightarrow$ d) $\Rightarrow$ e) $\Rightarrow$ f) $\Rightarrow$ c) 立即从 (SN $_I$ ) 和不等式 (1) 得出。

推论 07AU

如果 p 是 E 上的连续半范数，q 是满足 $q \leq p$ 的半范数，则 q 在 E 上连续。

当 p 是 E 上的*超半范数*时，则集合 W(p, $\alpha$ ) 和 V(p, $\alpha$ ) 既开又闭。因为，我们已经看到 W(p, $\alpha$ ) 是开集；另一方面，如果 z 是 W(p, $\alpha$ ) 的簇点，则存在 $y \in W(p, \alpha)$ 使得 $p(y - z) < \alpha$ ，并且从 (SN $_{II}'$ ) 我们有 $p(z) < \alpha$ ，因此 W(p, $\alpha$ ) 是闭集。另外，V(p, $\alpha$ ) 是闭集，因为 p 是连续的；进一步如果 $p(x) \leq \alpha$ 和 $p(y) \leq \alpha$ ，则 $p(x + y) \leq \alpha$ 乘以(SN $_{II}'$ )，这表明V(p, $\alpha$ )是开放的。

2. 由半范数定义的拓扑

令 p 为 K 上向量空间 E 的半范数；对于每个 $\alpha > 0$ 令 V(p, $\alpha$ ) 为 E 中 $p(x) \leq \alpha$ 的那些 x 的子集。显然，如果 $x \in V(p, \alpha)$ 和 $\lambda \in K$ 使得 $|\lambda| \leq 1$ ，那么 $\lambda x \in V(p, \alpha)$ ，在其他字V（p， $\alpha$ ）中是*平衡的*。此外，对于每个 $x_0 \in E$ ，都存在一个非零标量 $\mu \in K$ ，使得 $|\mu| \geq p(x_0) \alpha^{-1}$ ，因此 $\mu^{-1} x_0 \in V(p, \alpha)$ ，也就是说V（p， $\alpha$ ）是*吸收性*。最后，从(SN $_{II}$ )，我们有 $V(p, \alpha/2) + V(p, \alpha/2) \subset V(p, \alpha)$ ，从(SN $_I$ )，对于K中的每个非零标量 $\lambda$ ，我们有 $\lambda V(p, \alpha) = V(p, |\lambda| \alpha)$ 。我们从这些注、I、p. 7、道具中获得结论。 4、当 $\alpha$ 在数 $> 0$ 的集合内变化时（或仅在严格正数数的序列趋于0时），则集合V(p, $\alpha$ )构成基本0 的邻域系统拓扑与 E 的向量空间结构兼容；我们说这个拓扑 由半范数 p 定义。具有这样的拓扑的向量空间E被称为*半范数空间*。注如果 W(p, $\alpha$ ) 是 E 的 x 的子集，使得 $p(x) < \alpha$ ，则 W(p, $\alpha$ ) 构成（其中 $\alpha > 0$ 或 $\alpha$ 以数的严格正值序列变化，趋向于零) 对于由 $p$ 定义的拓扑，邻域的基本系统为0。

如果 $\Gamma$ 是 $E$ 上半范数的集合，则半范数 $p \in \Gamma$ 定义的拓扑的*上界*与向量空间结构兼容（I，p. 10，cor.4）。对于这个拓扑，邻域的基本系统为 0，由有限交 $\bigcap_i V(p_i, \alpha_i)$ 给出，其中 $p_i \in \Gamma$ 和 $\alpha_i > 0$ 。这个拓扑据说是*由半范数的集合定义的* $\Gamma$ 。它是 $E$ 上*粗略的* 拓扑，在所有翻译下都保持不变且半范数 $p \in \Gamma$ 是连续的。

设 $E$ 是 $K$ 上的拓扑向量空间： $E$ 上半范数的系统，比如说 $\Gamma$ ，被称为半范数的*基本系统*，如果拓扑在 $E$ 上与 $\Gamma$ 定义的拓扑相同。

令 $E$ 为向量空间超过 $K$ ，拓扑由半范数 $\Gamma$ 的集合定义。对于每个半范数 $p$ ，我们有 $p(x - z) \leq p(x - y) + p(y - z)$ ，这表明函数 $(x, y) \mapsto p(x - y)$ 是 $E$ （GT，IX, § 1.1）上的*伪计量*：从定义得出，当 $p$ 在 $\Gamma$ 变化时，这些伪度量的集合定义拓扑向量空间 $E$ 的统一结构。

注 07AV

— 1) 拓扑由 $E$ 上半范数 $p_i$ ( $1 \leq i \leq n$ ) 的*有限* 集合定义，可以由*单个*半范数 $p = \sup_{1 \leq i \leq n} p_i$ 定义。但拓扑由半范数不能的无限集合定义，通常由单个半范数定义（III，p. 37，练习2）。

2) 设 $(\mathscr{T}_i)_{i \in I}$ 为向量空间 $E$ 超过 $K$ 的拓扑族，每个拓扑族都由半范数族 $\Gamma_i$ 定义。那么半范数 $\Gamma = \bigcup_{i \in I} \Gamma_i$ 的集合定义的拓扑就是拓扑 $\mathscr{T}_i$ 的上界。

3) 如果 $\Gamma_0$ 是半范数的集合*由递增*序关系定义，定义在 $E$ 上的两个半范数 $p, q$ 之间，通过«存在 $\lambda > 0$ 使得 $p \leq \lambda q$ »，那么基本的系统为对于由 $\Gamma_0$ 定义的拓扑，0 的邻域是通过取集合 $V(p, \alpha)$ 获得的，其中 $p \in \Gamma_0$ 和 $\alpha > 0$ 。如果 $\Gamma$ 是 $E$ 上的任何半范数集合，则半范数的过滤集合（定义与 $\Gamma$ 相同的拓扑）是所有有限半范数族的上包络的集合 $\Gamma_0$ 属于至 $\Gamma$ 。

4) 即使超过 $K$ 不能的拓扑向量空间的 $K = \mathbf{R}$ 、拓扑始终由半范数的集合定义（*cf.* II、p. 24，推论）。

引用了 1

引用了 II § 4. 。局部凸空间

例 07AW

— 令 $\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R})$ 为向量空间超过 $\mathbf{R}$ 的实值函数，其在 $\mathbf{R}$ 中无限可微。对于函数和整数 $n \geq 0$ 、 $m \geq 1$ 的每个对，将

p_{n,m}(f) = \sup_{-m \leq t \leq m} |f^{(n)}(t)|

与 $f^{(0)} = f$ 。显然 $p_{n,m}$ 是 $\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R})$ 的半范数。在阶中，函数 $f_\alpha$ 趋于0（在指标的集合上过滤 $\mathfrak{F}$ ），在 $\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R})$ 中，拓扑 $\mathscr{T}$ 由半范数定义 $p_{n,m}$ ，对于所有整数 $n \geq 0$ ，函数 $f_\alpha^{(n)}$ 趋于0（在 $\mathfrak{F}$ 之后）*均匀地在* $\mathbf{R}$ 的每个紧凑子集上是必要且充分的。我们说 $\mathscr{T}$ 是函数* $f \in \mathscr{C}^\infty(\mathbf{R})$ *及其所有导数*（*cf.*III，p. 9）的紧致收敛*拓扑。

命题 2 07AX

在向量空间* $E$ ，*令* $\mathscr{T}$ 由半范数 $\Gamma$ 的集合定义为拓扑。

(i) *E 中 {0} 的闭包，对于 $\mathscr{T}$ ，是 $x \in E$ 的子集，其中 $p(x) = 0$ 对于每个半范数 $p \in \Gamma$ 。

引用了 2

引用了 IV § 2. 。双向。反射空间, II § 3. 。哈恩-巴纳赫定理（分析形式）

(ii) 如果 $\mathscr{T}$ 是 Hausdorff 并且 $\Gamma$ 可枚举，则 $\mathscr{T}$ 是可度量的。

命题紧随定义和 GT，IX, § 2 。 4，科尔。 1.

注，如果 $\mathscr{T}$ 是可度量的，则 $\mathscr{T}$ 不能可能由单个范数定义；上面给出的例就是这种情况（*cf.* IV、p. 18、*例 4*）。

令 E 为 K 上的向量空间，其中拓扑由半范数 $\Gamma$ 的集合定义。令 $\hat{E}$ 为 E (I, p. 6) 的豪斯多夫完成， $\hat{\Gamma}$ 为 $\mathbf{R}_+$ 中映射的集合 $\hat{E}$ 的 $\hat{p}$ ，其中 $p$ 变化 $\Gamma$ （GT，II, § 3.7，第 15 条）。通过扩展不等式的原理，函数 $\hat{p} \in \hat{\Gamma}$ 是 $\hat{E}$ 的半范数，以及定义 $\hat{E}$ 统一结构的伪度量的函数 $\hat{p}(x - y)$ 形式集合（GT， IX, § 1 3，道具 1)。因此，我们看到 $\hat{\Gamma}$ 是定义 $\hat{E}$ 的拓扑的半范数的基本集合。

3. 商空间和乘积空间的半范数

设E是K上的拓扑向量空间，其拓扑由半范数 $\Gamma$ 、集合定义。显然，E 的 $\Gamma$ 到向量子空间 M 的半范数的限制，由 E 的子空间在 M 上诱导出定义拓扑。

令 $\phi$ 为 E 在向量商空间 E/M 上的典范映射。我们证明，对于 E 上的每个半范数 $p$ ，函数

\dot{p}(z) = \inf_{\phi(x) = z} p(x)

是 E/M 的半范数。事实上，显然 $\dot{p}$ 满足条件（SN $_1$ ）；另一方面，如果 $z', z''$ 是 E/M 的两个向量，我们有：

\begin{align*} \inf_{\phi(x) = z' + z''} p(x) &\leq \inf_{\phi(x') = z', \phi(x'') = z''} p(x' + x'') \\ &\leq \inf_{\phi(x') = z', \phi(x'') = z''} (p(x') + p(x'')) \\ &= \inf_{\phi(x') = z'} p(x') + \inf_{\phi(x'') = z''} p(x'') \end{align*}

这表明 $\dot{p}$ 验证了（SN $_2$ ）。我们说 $\dot{p}$ 是 $p$ 与 M 的*商半范数*。

同样的推理证明，如果 $p$ 是*超半范数*，那么 $\dot{p}$ 也是。

既然如此，我们有（No. 2中的记号）

\phi(\mathrm{W}(p, \alpha)) = \mathrm{W}(\dot{p}, \alpha)

每 $\alpha > 0$ 。事实上，说 $\dot{p}(z) < \alpha$ ，意味着存在 $x \in E$ ，使得 $\phi(x) = z$ 和 $p(x) < \alpha$ ，由此得出关系（4）。

由此我们推断，如果半范数 $\Gamma$ 的集合是*有向*（II，p. 3，*注3*），则 $E/M$ 上的商拓扑由半范数集合定义 $\dot{p}$ ，当 $p$ 在 $\Gamma$ 变化时。

如果 $N$ 是 $E$ 中 $\{0\}$ 的闭包， $E/N$ 的拓扑由商半范数 $\dot{p}$ 定义，其中 $p$ 在 $\Gamma$ 中变化（即使 $\Gamma$ 没有被过滤）：这里 $\dot{p}(\dot{x}) = p(x)$ 对于每个 $x$ 属于至类 $\dot{x} \mod N$ 。注 $E/N$ 正是与 $E$ (I, p. 4) 相关的 Hausdorff 空间。

令 $E$ 是 $K$ 上的向量空间， $(E_i)_{i \in I}$ 是向量空间在 $K$ 上的族，其中 $E_i$ 有拓扑 $\mathscr{T}_i$ 由半范数集合定义 $\Gamma_i$ 。对于每个 $i \in I$ ，令 $f_i$ 为 $E_i$ 中 $E$ 的线性映射；显然，当 $p_i$ 在集合 $\Gamma_i$ 变化时， $E$ 的半范数 $p_i \circ f_i$ 形式集合 $\Gamma'_i$ 。 $E$ 上的拓扑 $\mathscr{T}$ ，定义为使所有映射 $f_i$ 连续（I，p. 9）的最粗糙的，然后由半范数 $\Gamma' = \bigcup_{i \in I} \Gamma'_i$ 的集合定义，这来自 $\mathscr{T}$ 的定义或邻域为 0（GT，I, § 2.3，道具 4）。

如果 $p_i$ 是超半范数，那么 $p_i \circ f_i$ 也是超半范数。

令 $E$ 为向量空间超过 $K$ ，其中拓扑 $\mathscr{T}$ 由半范数族 $(p_i)_{i \in I}$ 定义；对于每个 $i \in I$ ，让 $\mathscr{T}_i$ 是由单个半范数 $p_i$ 定义的拓扑，并用使用拓扑 $\mathscr{T}_i$ 从 $E$ 获得的 $E_i$ 空间表示。那么拓扑 $\mathscr{T}$ 是逆像通过乘积拓扑在 $\prod_{i \in I} E_i$ 上的对角线映射 $\Delta : E \to \prod_{i \in I} E_i$ （I，p. 9，道具 7）。对于每个 $i \in I$ ，将 $E_i$ 中 $\{0\}$ 的闭包写成 $N_i$ ，并通过 $F_i = E_i / N_i$ ，由范数 $p_i$ 相应的到 $p_i$ 定义*范数*空间 (II、p. 4、公式(3))；如果 $\phi_i : E_i \to F_i$ 是典范映射并且 $\phi : (x_i) \mapsto (\phi_i(x_i))$ 乘积映射，我们知道 $\prod_{i \in I} E_i$ 上的乘积拓扑是逆像乘以乘积的 $\phi$ $\prod_{i \in I} F_i$ 上的拓扑（GT，II, § 3.9，道具 18）。因此，拓扑 $\mathscr{T}$ 是逆像在 $\prod_{i \in I} F_i$ 上的乘积拓扑的复合映射 $\phi \circ \Delta$ 。特别是，如果 $\mathscr{T}$ 是 Hausdorff 那么它是从 II，p. 3，道具得出的。 2 映射 $\phi \circ \Delta$ 是*内射*，因此：

命题 3 07AY

每个豪斯多夫拓扑向量空间* $E$ 超过 $K$ ，*其拓扑由半范数集合定义，同构于Banach 空间*的乘积子空间。

引用了 1

引用了 I § 2. 。拓扑中的线性簇向量空间

此外，如果 $E$ 的拓扑由半范数的*可枚举* 集合定义，则 $E$ 是*可度量*（I，p. 16）。

4. 对于由半范数定义的拓扑，多线性映射的等连续性判据

命题 4 07AZ

设* $E_i$ ( $1 \leq i \leq n$ ) 和 $F$ 拓扑向量空间超过 $K$ ； 我们假设，对于每个 $i$ ，* $E_i$ *的拓扑 由半范数 $\Gamma_i$ 的有向集合定义，*并且* $F$ 的拓扑由半范数的集合定义 $\Gamma$ 。 然后集合 $H$ ，*of* $\prod_{i=1}^n E_i$ 的多线性映射在 F 中是等连续的当且仅当，对于每个半范数 $q \in \Gamma$ 和每个指标 i，存在一个半范数 $p_i \in \Gamma_i$ ，并且数 $a > 0$ ，这样对于每个函数 $u \in \mathbf{H}$ 和点 $(x_i) \in \prod_{i=1}^n E_i$ ，

q(u(x_1, x_2, ..., x_n)) \leq a \cdot p_1(x_1)\ p_2(x_2) ... p_n(x_n) .

条件是足够的，因为它意味着 H 在 (0, 0, ..., 0) 处等连续，因此在任何地方 (I, p. 9, 命题 6)。

我们证明条件是必要的。到假设，对于每个半范数 $q \in \Gamma$ 和每个数 $\beta > 0$ ，对于每个函数 $u \in \mathbf{H}$ ，我们有 $q(u(x_1, x_2, ..., x_n)) \leq \beta$ ，前提是 $p_i(x_i) \leq \alpha_i$ 对于每个指标 $i$ 、 $1 \leq i \leq n$ 和某些适当选择数 $\alpha_i > 0$ 和半范数 $p_i \in \Gamma_i$ 。由于 K 是非离散的，我们还可以假设，对于每个 $i$ ，我们有 $\alpha_i = |\lambda_i| < 1$ ，其中 $\lambda_i \in \mathbf{K}$ 。然后令 $(x_1, x_2, ..., x_n)$ 为 $\prod_{i=1}^n E_i$ 中的任意点，对于每个指标 $i$ ，令 $m_i \in \mathbf{Z}$ 为整数，使得 $p_i(x_i) \leq |\lambda_i|^{m_i + 1}$ ；这可以写成 $p_i(\lambda_i^{-m_i} x_i) \leq |\lambda_i|$ ( $1 \leq i \leq n$ )，因此，通过假设，我们有

q(u(x_1, x_2, ..., x_n)) \leq \beta |\lambda_1|^{m_1} |\lambda_2|^{m_2} ... |\lambda_n|^{m_n} .

首先假设 $p_i(x_i)$ 中的一个是零，那么我们可以取任意大的 $m_i \in \mathbf{N}$ ，因此 $q(u(x_1, x_2, ..., x_n)) = 0$ 。相反，如果所有 $p_i(x_i)$ 都是 $\neq 0$ ，则取整数 $m_i$ ，使得每个 $i$ 都有 $|\lambda_i|^{m_i + 2} < p_i(x_i) \leq |\lambda_i|^{m_i + 1}$ ；那么我们有 $|\lambda_i|^{m_i} < |\lambda_i|^{-2} p_i(x_i)$ ，根据 (6)，关系 (5) 如下

a = \beta (|\lambda_1| \cdot |\lambda_2| ... |\lambda_n|)^{-2} .

Q.E.D.

推论 07B0

— *集合 H 是等连续的，当且仅当对于每个半范数 $q \in \Gamma$ ， $\prod_{i=1}^n E_i$ 中存在 0 的邻域，其中函数 $q \circ u$ ，对于 $u \in \mathbf{H}$ ，是一致有界的。

条件显然是必要的，道具的演示。图 4 表明，对于所有 $u \in \mathbf{H}$ ，它意味着不等式或形式 (5)，因此 H 是等连续的。

我们明确说明 prop 的特殊情况。 4 个线性映射。

命题 5 07B1

— 令 E、F 为非离散值除法环 K 上的两个拓扑向量空间；假设 E（或 F）的拓扑由半范数 $\Gamma$ （或 $\Gamma'$ ）的集合定义。设 H 为 F 中 E 的线性映射的集合。以下条件是等效的： a) H 是等连续的。

b) 对于每个半范数 $q \in \Gamma'$ ，都存在半范数属于到 $\Gamma$ 和数 $a > 0$ 的有限族 $(p_i)_{1 \leq i \leq n}$ ，这样，对于所有 $x \in E$ 和所有 $u \in H$ ，

q(u(x)) \leq a \cdot \sup_{1 \leq i \leq n} p_i(x) .

c) 对于每个半范数 $q \in \Gamma'$ ，映射 $\sup_{u \in H} (q \circ u)$ 是 $E$ 上的连续半范数。

推论 1 07B2

— 假设 $\mathscr{T}, \mathscr{T}'$ 是 $K$ 上向量空间 $E$ 上的两个拓扑，分别由半范数 $\Gamma$ 和 $\Gamma'$ 的两个集合定义。 $\mathscr{T}$ 比更细比 $\mathscr{T}'$ 当且仅当，对于每个半范数 $q \in \Gamma'$ ，存在半范数属于到 $\Gamma$ 和数 $a > 0$ 的有限族 $(p_i)_{1 \leq i \leq n}$ ，使得对于所有 $x \in E$ ，我们有 $q(x) \leq a \cdot \sup_{1 \leq i \leq n} p_i(x)$ 。

事实上，这表明 $E$ 的恒等映射与拓扑 $\mathscr{T}$ ， $E$ 与拓扑 $\mathscr{T}'$ ，是连续的。

推论 2 07B3

— 假设 $K$ 上的拓扑向量空间 $E$ 的拓扑 $\mathscr{T}$ 由半范数 $\Gamma$ 的有向集合定义；对于每个半范数 $p \in \Gamma$ ，让 $E_p$ 是使用 $p$ 定义的拓扑从 $E$ 获得的空间。 $E$ 上的线性形式的集合 $E'$ 连续 $\mathscr{T}$ 是集合 $E'_p$ 的并，其中 $E'_p$ 是连续线性形式的集合 $E_p$ （ $p \in \Gamma$ ）。