显然 $\mathfrak{B}$ 是 I、p. 7 的过滤器基满足 (EV_I) 和 (EV_{II})。 4；它也满足 (EV_{III})，因为如果 $V \in \mathfrak{S}$ 那么 $\frac{1}{2}V + \frac{1}{2}V = V$。

注如果 $\mathscr{T}$ 是 E 上的局部凸拓扑，且 $\mathfrak{B}$ 的基数系统为邻域为 0，则集合 $(1/n) \ V$，其中 $n$ 变化整数$> 0$和V在$\mathfrak{S}$变化，形式对于拓扑$\mathscr{T}$，邻域的基本系统为0。那么$\mathscr{T}$是豪斯多夫，当且仅当，对于E中的每个$x \neq 0$，存在整数$n$和集合$V \in \mathfrak{S}$，使得$nx \notin V$；此外，如果$\mathfrak{S}$是可枚举的，那么拓扑$\mathscr{T}$是可度量的局部凸拓扑。相反，很明显，如果$\mathscr{T}$是可度量局部凸拓扑，则对于$\mathscr{T}$，存在闭对称凸邻域的可枚举基本系统为0。

条件是必要的，因为 E 上的每个半范数都是凸函数，因此，对于 $\alpha > 0$，$x \in E$ 的集合，其中 $p(x) \leq \alpha$ 是凸的（II、p. 17，推论）。相反，如果 V 是 E 中 0 的对称、闭凸邻域，则 V 的*规范* $p$ 是 E 上的半范数，使得 V 是 E 的点 $x$ 的集合满足$p(x) \leq 1$（II、p. 20，第 23 条）。

这进一步表明，局部凸拓扑 $\mathscr{T}$ 由 所有对于 $\mathscr{T}$ 连续的半范数的集合定义。此外，如果 $\mathscr{T}$ 是可度量的，那么它是由半范数的*可枚举* 集合定义的。

从推论到支撑。 1，半范数集合定义的拓扑上§ 1的所有结果特别适用于实数向量空间上的局部凸拓扑。局部凸 Hausdorff 空间 E 具有局部凸的完成$\hat{E}$。一个完整的、可度量的局部凸空间称为 Fréchet 空间；每个 Banach 空间都是 Fréchet 空间。

从上面的推论和II，p. 7，cor。 2、E 上存在连续半范数$p$，使得所有$y \in M$都有$|f(y)| \leq p(y)$。由哈恩-巴纳赫 th。 (II, p. 23, cor. 1) 在 E 上存在线性形式 $h$，扩展 $f$ 并且对于所有 $x \in E$ $|h(x)| \leq p(x)$，这意味着 $h$ 是连续的（II，p. 6，道具 5）。

应用道具。 2 到由 $x_0$ 生成的一维向量空间 M 和在 M 上定义的线性形式 $\xi x_0 \mapsto \xi$，其中由 I、p. 12 支撑。 2、是连续的。

当且仅当 M 本身的恒等映射可以扩展到 M 上 E 的连续线性映射时，E 中存在 M 的拓扑补集，其中映射必然是连续的投影算子（GT，III, § 6.2，推论）。现在，这是从上面的注得出的，因为 M 与空间 $\mathbf{R}^n$ (I, p. 13, th. 2) 同构的。

设A是E中的预紧集。给定V，E中0的平衡凸邻域，存在有限多个点$a_i \in A$($1 \leq i \leq n$)使得A包含在S中，邻域$a_i + V$($1 \leq i \leq n$)的并。因此，A 的平衡凸包络C 包含在 S 的平衡凸包络 T 中；但 T 包含在 B + V 中，其中 B 表示点 $a_i, -a_i$ ($1 \leq i \leq n$) 的有限集合的凸包络。现在 B 是预紧的（II，p. 14，cor.2）；因此，存在有限多个点$b_k \in B$（$1 \leq k \leq m$），使得$B_k$包含在邻域$b_k + V$的并中。则C包含在邻域$b_k + 2V$的并中，命题得证。

注，在无限维局部凸 Hausdorff 空间中，紧集的凸包络不一定是封闭的（II，p. 74，练习 3）。

因为这个信封是一个完整的空间的封闭的子集，因此它是完整的，但它也是预紧的和豪斯多夫的。

然而，在非完全局部凸 Hausdorff 空间中，紧集的凸封闭包络不需要是紧致的（II，p. 87，练习 2）。

使用II、p. 24推论，这是由半范数（II、p. 5）定义的拓扑的相应的性质的特殊情况。

特别是，局部凸空间的每个向量子空间以及局部凸空间的每个乘积空间都是局部凸的。局部凸空间的每个射影极限都是局部凸的。

Fréchet 空间的每个*可枚举乘积*（特别是 Banach 空间的每个可枚举乘积）都是 Fréchet 空间。

每个局部凸 Hausdorff 空间 E 都同构于 Banach 空间的乘积的子空间，并且如果 E 是完备的，则该子空间是封闭的（II，p. 5，道具 3）。每个 Fréchet 空间都同构于 Banach 空间的可枚举乘积的闭子空间（*loc.cit.*）。

(i) 用$\mathfrak{B}$表示E的吸收性、对称凸子集V族，使得对于每个$\alpha$，$g_\alpha^{-1}(V)$是$F_\alpha$中0的邻域； $\mathfrak{B}$族是拓扑$\mathscr{T}$的E中0的邻域的基本系统，与向量空间结构兼容。

(ii) E 的 线性映射 f 在局部凸空间 G（或 E 上的半范数 p）中对于 $\mathscr{T}$ 连续，当且仅当对于每个指标 $\alpha$，$f \circ g_\alpha$（或 $p \circ g_\alpha$）在$F_\alpha$.

(iii) 拓扑$\mathscr{T}$是E上最好的局部凸拓扑，其中$g_\alpha$是连续的。

此外，拓扑 $\mathscr{T}$ 是 E 上唯一满足条件 (ii) 对于线性映射（分别针对半范数）的局部凸拓扑。

由于$\mathfrak{B}$是一个过滤器基在比率> 0的相似性下不变，断言（i）立即从II，p. 23，道具。 1. 通过$\mathfrak{B}$的定义，拓扑$\mathscr{T}$是E上最好的局部凸拓扑，使得$g_\alpha$连续； 从而（三）。最后很清楚，如果$f$连续，则$f \circ g_\alpha$也连续；相反，如果$f \circ g_\alpha$对于每个$\alpha$都是连续的，则对于G中每个0的对称凸邻域W，对于每个$\alpha$，集合$g_\alpha^{-1}(f^{-1}(W))$是$F_\alpha$中0的邻域。现在$f^{-1}(W)$是吸收性的、对称的、凸的，因此$f^{-1}(W)$是$\mathscr{T}$中0的邻域，并且$f$是连续的。类似地，如果$p$是E上的半范数，使得$p \circ g_\alpha$对于每个$\alpha$都是连续的，并且如果U是点$x \in E$的集合使得$p(x) < 1$，那么对于每个$\alpha$，集合 $g_\alpha^{-1}(U)$ 是 $E_\alpha$ 中 0 的凸邻域，对称且具有吸收性；因此，U 是 E 中 0 的邻域，并且 $p$ 是连续的（II，p. 2，道具 1）。

最后一个叙述源自S，IV, § 2.5，标准CST 18。

我们说$\mathscr{T}$是$F_\alpha$拓扑族$\mathscr{T}_\alpha$的*局部凸最终拓扑*，对于线性映射$g_\alpha$族。

$\mathscr{T}$ 可能不是 E 上与其向量空间结构兼容且使 $f_\alpha$ 连续的拓扑中最好的（II、p. 75、执行 15；另请参阅II、p. 75、执行 14）。

在最重要的情况$E = \sum_{\alpha \in A} g_\alpha(F_\alpha)$中，对于$\mathscr{T}$，我们得到邻域的基本系统为0，如下所示；对于每个$\alpha \in A$，令$V_\alpha$为$\mathscr{T}_\alpha$的对称邻域，$\alpha \in A$的$g_\alpha(V_\alpha)$的形式并，并用$\Gamma((g_\alpha(V_\alpha)))$表示该并的E中的凸包络；因为E的每个元素都是形式$\sum_{\alpha \in J} x_\alpha$，其中J是I和$x_\alpha \in g_\alpha(F_\alpha)$的有限子集，所以直接的$\Gamma((g_\alpha(V_\alpha)))$是E中的*吸收性*对称凸集合（每个$V_\alpha$在$F_\alpha$中具有吸水性）；如$\Gamma((g_\alpha(V_\alpha)))$包含所有$g_\alpha(V_\alpha)$，$\mathscr{T}$为0的邻域。另一方面，很明显，对于$\mathscr{T}$的每个对称凸邻域V为0，我们有$V \supset \Gamma((V \cap g_\alpha(F_\alpha)))$，从中我们可以得出断言。

记住I，p. 9，道具。 6 该论证与(ii) 命题类似。 5. 令W为G中0的对称凸邻域，且注，若集合$f \circ g_\alpha$，其中$f \in H$等连续，则交$\bigcap_{f \in H} g_\alpha^{-1}(f^{-1}(W))$为$F_\alpha$中0的对称凸邻域。由于这个交与 $g_\alpha^{-1}(\bigcap_{f \in H} f^{-1}(W))$ 相同，并且集合 $\bigcap_{f \in H} f^{-1}(W)$ 是对称且凸的，所以一切都取决于证明它也是*吸收性*。现在，到假设，每个$x \in E$都可以写成$\sum_{i=1}^n g_{\alpha_i}(z_{\alpha_i})$，其中$z_{\alpha_i} \in F_{\alpha_i}$。为了证明对于所有$f \in H$存在$\lambda > 0$使得$f(\lambda x) \in W$，考虑$x = g_\alpha(z_\alpha)$和$z_\alpha \in F_\alpha$的情况就足够了（因为我们可以通过替换W通过$W/n$传递到一般情况）。但这种情况是因为$g_\alpha^{-1}(\bigcap_{f \in H} f^{-1}(W))$是$F_\alpha$中0的邻域。

这是 S，IV, § 2.5 准则 CST 19 的特例，也可以直接使用 prop 来证明。 5.

局部凸最终拓扑的例。

I。商空间。

令 M 为局部凸空间 F 的子空间，并且 φ 为 F/M 上 F 的典范映射。由于 F/M 上的商拓扑是局部凸的，并且是使 φ 连续的所有拓扑（局部凸或非局部凸）中最好的，因此它也是单个映射 φ 的族由……组成的局部凸最终拓扑。

II。局部凸空间的电感极限。

设 A 为向右有序的集合，并令 $(E_\alpha, f_{\beta\alpha})$ 为向量空间相对于集合 A 的归纳系统 (A, II, § 6.2)；令$E = \varinjlim E_\alpha$和$f_\alpha : E_\alpha \to E$为每个$\alpha \in A$的规范线性映射。假设每个$E_\alpha$都带有一个局部凸的拓扑$\mathscr{T}_\alpha$，并进一步假设对于$\alpha \leq \beta$，映射$f_{\beta\alpha} : E_\alpha \to E_\beta$是*连续的*。然后我们说族$(\mathscr{T}_\alpha)$相对于线性映射$f_\alpha$（分别是空间E携带拓扑$\mathscr{T}$）的局部凸最终拓扑$\mathscr{T}$是族$(\mathscr{T}_\alpha)$的*归纳极限* （分别是系统 $(E_\alpha, f_{\beta\alpha})$ 的*归纳极限* 空间，或简单的局部凸空间 $E_\alpha$）。回想一下，E 是向量子空间 $f_\alpha(E_\alpha)$ 中的并，当 $\alpha \leq \beta$ 时，我们有 $f_\alpha(E_\alpha) \subset f_\beta(E_\beta)$；如果我们将映射$f_\alpha$赋予$f_\alpha(E_\alpha)$最终的拓扑（这与用商空间$E_\alpha/f_\alpha^{-1}(0)$识别$f_\alpha(E_\alpha)$相同），拓扑$\mathscr{T}$也是最终的拓扑 $f_\alpha(E_\alpha)$的拓扑系列，相对于典范嵌入（II，参见上面的2）。此外，$f_{\beta\alpha}$对于$\alpha \leq \beta$的连续性意味着典范嵌入$j_{\beta\alpha} : f_\alpha(E_\alpha) \to f_\beta(E_\beta)$是连续的，因此E也是$f_\alpha(E_\alpha)$相对于单射$j_{\beta\alpha}$承载前述拓扑的归纳极限。

对于每个局部凸空间$G$。

这是 II、p. 28 的特例。 2 记住II、p. 29、*例I*。

第一个断言源自以下事实：典范嵌入$E_\kappa \to \prod_{\iota \in I} E_\iota$对于每个$\kappa \in I$都是连续的。如果$I$是有限的，则$j$是恒等映射，并且足以证明乘积拓扑$\mathscr{T}'$比直和拓扑$\mathscr{T}$是更细。现在，令 $V$ 为 $\mathscr{T}$ 的 0 凸邻域；每个集合$V \cap E_\iota$都是$E_\iota$中0的凸邻域；如果$n$是$I$的元素的数，那么集合$V$包含集合$\frac{1}{n} \sum_n (V \cap E_\iota)$，对于$\mathscr{T}'$来说邻域是0，并且命题得证。

当$I$无穷大时，如果对于$I$的每个有限子集$J$，我们为空间$\prod_{\iota \in J} E_\iota$写出$E_J$，以及乘积拓扑，那么$E$就是极限*的归纳极限* $E_J$（标识为$E$ 的子空间）。

(i) 在$E$上由直和拓扑$\mathscr{T}$在$N = \sum_\iota N_\iota$上感应的拓扑与$N_\iota$拓扑的直和相同。

(ii) $E/N$ (A, II, § 1.6, 公式 (26)) 上的$E_\iota / N_\iota$的拓扑直和空间的典范映射$h$是拓扑向量空间之间的同构。

(i) 通过上面介绍的记号，我们考虑$x = \sum_\iota \lambda_\iota x_\iota$属于到$N \cap \Gamma((V_\iota))$（$(\lambda_\iota)$是数$\geqslant 0$的族，其中最多有限多个非零，使得$\sum_\iota \lambda_\iota = 1$和$x_\iota \in V_\iota$，对于所有$\iota \in I$）。由于$N_\iota$的和是直接的，所以我们对所有$\iota \in I$有$\lambda_\iota x_\iota \in N_\iota$；因此，对于所有$\iota$使得$\lambda_\iota > 0$我们也有$x_\iota \in N_\iota \cap V_\iota$，以及$x$属于到凸包络$\Gamma((N_\iota \cap V_\iota))$，从而证明（i）。

(ii) 将典范映射表示如下：$f_\iota : E_\iota \to E, h_\iota : E_\iota / N_\iota \to E/N, p_\iota : E_\iota \to E_\iota / N_\iota$和$p : E \to E/N$。对于每个 $\iota \in I$、$h_\iota \circ p_\iota = p \circ f_\iota$ 和命题，都可以从 II、p. 28 得出。 2 和 p. 29 例 I。

因为，对于每个 $\iota \in I$，典范映射 $p_\iota : E \to E_\iota$ 是连续的（II, § 4.5，道具 6），因此 $p_\iota^{-1}(N_\iota)$ 在 $E$ 中闭合，因此交 $N = \bigcap_{\iota \in I} p_\iota^{-1}(N_\iota)$ 也是如此。

要证明第一个叙述，请应用cor。 1 为所有 $\iota \in I$ 取 $N_\iota = \{0\}$；第二个应用 cor。 1 每个 $\kappa \neq \iota$ 对应 $N_\iota = E_\iota$ 和 $N_\kappa = \{0\}$。

我们将在 III、p. 21 中展示。 2 如果 $E_\iota$ 是 Hausdorff 并且*完整*，那么它们的拓扑直和 $E$ 也是。

我们假设相反并得出矛盾。假设对于每个 $k$ 都存在邻域 $V_k$ $0$ 和集合 $M_k \in \mathfrak{F}$ 使得

显然，我们可以假设 $V_{k+1} \subset V_k$ 对于所有 $k$。令$V$为$\bigcup_k (E_k \cap V_k)$的凸包络，这显然是$\mathscr{T}$的$0$的邻域。对于所有 $n$，我们有 $V \subset V_n + E_n$；事实上，每个$x \in V$都可以写成$\sum_i \lambda_i x_i$，其中$\lambda_i \geq 0$、$\sum_i \lambda_i = 1$和$x_i \in V_i \cap E_i$对于所有$i$；现在对于$i < n$，我们有$x_i \in E_n$，因此$\sum_{i < n} \lambda_i x_i \in E_n$；对于$i \geq n$，我们有$x_i \in V_n$，因此$\sum_{i \geq n} \lambda_i x_i \in V_n$，因为$V_n$是凸的，包含$0$和$\sum_{i \geq n} \lambda_i \leq 1$。因此，对于所有 $n$ 来说，$V + E_n \subset V_n + E_n$。既然如此，令$M \in \mathfrak{F}$为集合，即$V$小。对于某些整数 $m$，$E_m \cap M$不为空；我们结论 由于$\mathfrak{F}$是一个过滤器，集合$M_m$满足$M$，因此$E_m + V_m$；我们有一个矛盾，它成立引理。

(i) 为了证明第一个断言，只要证明$\mathscr{T}$在$E_n$上诱发拓扑$\mathscr{T}'_n$比$\mathscr{T}_n$更细就足够了。为此，令$V_n$为$0$在$E_n$中对于拓扑$\mathscr{T}_n$的凸邻域；我们将$E_{n+p}$中$0$的凸邻域的构造递增序列对于$\mathscr{T}_{n+p}$，比如说$(V_{n+p})_{p \geq 1}$，这样对于每个指标$p \geq 1$来说$V_{n+p} \cap E_n = V_n$。那么递增序列 $(V_{n+p})$ 的并 $V$ 将是凸集合，使得 $V \cap E_k$ 是 $E_k$ 中 $0$ 的邻域（使用 $\mathscr{T}_k$），对于每个指标$k$；因此，对于$\mathscr{T}$，$V$将是$E$中$0$的邻域，并且作为$V \cap E_n = V_n$，我们已经证明$\mathscr{T}'_n$比$\mathscr{T}_n$是更细。

到定义到$V_{n+p}$，我们使用以下引理，在$p$上经过归纳：

事实上，到假设时，$F$ 中存在 0 的凸邻域 $U$，使得$U \cap M \subset V$。显然，$F$中$U \cup V$的凸包络$W$是$F$中0的邻域；我们证明了$W \cap M = V$。因为，每个点$z \in W$都是形式$\lambda x + (1-\lambda) y$与$x \in V, y \in U$和$0 \leq \lambda \leq 1$（II，p. 9，第8条）；如果$z \in M$和$\lambda \neq 1$那么必然是$y \in M$，因此$y \in U \cap M \subset V$，因此$z \in V$；如果$\lambda = 1$，结果显然为真。如果$M$在$F$内闭，空间$F/M$是Hausdorff，因此$F$中存在0的凸邻域$U_0 \subset U$，使得$U_0$不满足$x_0 + M$；那么$U_0 \cup V$的凸包络$W_0$满足要求的条件。

回到定理，证明(i)注的第二个部分，如果$x \in E$则$x \in E_n$对于某些$n$；如果 $x \neq 0$ 和 $\mathscr{T}_n$ 是 Hausdorff，则 $\mathscr{T}_n$ 的邻域 $V_n$ 为 0，而包含 $x$ 则不存在。我们看到，对于 $\mathscr{T}$，邻域 $V$ 为 0，这样 $V \cap E_n = V_n$，因此$x \notin V$，因此$\mathscr{T}$ 是 Hausdorff。

(ii) 设 $x \in E - E_n$；存在$m > n$使得$x \in E_m$，因此，因为对于$\mathscr{T}_m$，$E_n$在$E_m$中是封闭的（因为假设，对于每个$n$，在$E_n$上存在$\mathscr{T}_{n+1}$诱导$\mathscr{T}_n$） 拓扑 $\mathscr{T}_m$ $E_m$ 中 0 的凸邻域 $V_m$，使得 $(x + V_m) \cap E_n$ 为空。现在我们在 (i) 中看到，对于 $\mathscr{T}$ 存在 0 的凸邻域 $V$，使得 $V \cap E_m = V_m$；因此$(x + V) \cap E_m = x + V_m$，因此$(x + V) \cap E_n = \varnothing$，这证明了(ii)。

(iii) 从引理 1，如果$\mathfrak{F}$是$\mathscr{T}$（GT，II, § 3.2）的*最小*柯西滤波器，则存在$k$，使得$\mathfrak{F}$在$E_k$上的迹是滤波器$\mathfrak{F}_k$；从 (i) 这最后一个是 $\mathscr{T}_k$ 的柯西滤波器，因此 $\mathfrak{F}_k$ 通过假设收敛于 $E_k$；但是由于$\mathfrak{F}_k$生成的$E$上的过滤器是更细比$\mathfrak{F}$，我们看到$\mathfrak{F}$对于$\mathscr{T}$有一个集群点，因此对于$\mathscr{T}$是收敛的。

当$\mathscr{T}_{n+1}$在$E_n$上感应出的所有$n$拓扑只是$\mathscr{T}_n$时，我们说$\mathscr{T}$是序列$(\mathscr{T}_n)$的*严格归纳极限*，并且空间 $E$和拓扑$\mathscr{T}$是局部凸空间$E_n$的序列的*严格归纳极限*。