考虑到上面的注 1) 和 2)，我们看到$\mathfrak{S}$*-拓扑*与H的向量空间结构兼容的必要且充分的条件是集合$H \cap T(M, V)$在H中*吸收*（I， p. 7，道具 4)；但这意味着对于 F 中的每个 $u \in H$、每个子集 $M \in \mathfrak{S}$ 以及每个平衡 0 的邻域 V，都存在 $\lambda \neq 0$ 使得 $u(M) \subset \lambda V$；也就是说 (III, p. 2) $u(M)$ 有界于 F。最后，命题的最后一个断言由以下事实得出：如果 V 是凸的，则 $T(M, V)$ 也是凸的。

如果$u$是从E到F的连续线性映射并且M是E的有界子集，则$u(M)$在F中有界（III，p. 4，cor.1），注就足够了。

给定两个局部凸向量空间 E 和 F，以及 E 的有界子集的族 $\mathfrak{S}$，令 $\mathscr{L}_\mathfrak{S}(E; F)$ 表示通过将 $\mathfrak{S}$*-topology* 分配给 $\mathscr{L}(E; F)$ 获得的局部凸空间。

1) $\mathscr{L}(E; F)$上的$\mathfrak{S}$-拓扑与$\tilde{\mathfrak{S}}$-拓扑相同，其中$\tilde{\mathfrak{S}}$表示最小的改编，E上的出生学（III，p. 3），其中包含$\mathfrak{S}$。

2) 假设$\{0\}$在F中不稠密，并令$\mathfrak{S}'$为E的有界子集的另一个集合。则当且仅当$\mathfrak{S}' \subset \tilde{\mathfrak{S}}$时，$\mathfrak{S}'$拓扑比$\mathfrak{S}$拓扑更粗糙。

令$u \in \mathscr{L}(E; F)$、$M \in \mathfrak{S}$并令$p$为F上的连续半范数。由于$p \circ u$是E上的连续半范数，这与说相同，$p \circ u$在M上或在M的封闭凸平衡包络$\tilde{M}$上以1为界；在其他字中，我们有$p_M = p_{\tilde{M}}$。此外，很明显，对于所有$\lambda > 0$和$p_{M \cup M'} = \sup(p_M, p_{M'})$，我们有$p_{\lambda M} = \lambda p_M$，第一个断言随之而来，因为$\tilde{\mathfrak{S}}$具有$\mathfrak{S}$的集合的有限并的闭凸平衡包络的相似性集合为基。

现在我们证明第二个断言：首先，如果F是基域，则从定义得出，$E' = \mathscr{L}(E; F)$上的$\tilde{\mathfrak{S}}$拓扑具有0的邻域的基本系统，集合的极点集合 $\tilde{\mathfrak{S}}$。令 A 为 E 的有界子集，对于 $\tilde{\mathfrak{S}}$ 拓扑，其极$A^\circ$ 为 0 的邻域；那么存在一个闭凸平衡集合$B \in \tilde{\mathfrak{S}}$使得$A^\circ \supset B^\circ$，所以$A \subset B^{\circ \circ}$；但由科。 II、p. 45 中的 3 个，我们有 $B^{\circ \circ} = B$，因此有 $A \subset B$ 和 $A \in \tilde{\mathfrak{S}}$。因此，如果$\mathfrak{S}'$是E的有界子集的集合，当且仅当$\mathfrak{S}' \subset \tilde{\mathfrak{S}}$时，$\mathfrak{S}'$拓扑比$E'$上的$\mathfrak{S}$拓扑更粗糙。一般情况立即如下，因为如果 $y \in F$ 不在 0 的闭包中，我们可以验证映射使得 $f \in E'$ 对应到映射 $x \mapsto f(x)\ y$ 是局部凸空间 $E'_\mathfrak{S}$ 的同构到其上$\mathscr{L}_{\tilde{\mathfrak{S}}}(E; F)$ 中的像。

令$u_0$为$\mathscr{L}(E; F)$的非零元素；由于 $u_0$ 是连续的，并且 A 在 E 中是全的，因此 A 中存在$x_0$，使得$u_0(x_0) \neq 0$。由于 F 是 Hausdorff，因此 F 中存在 0 的邻域 V，使得 $u_0(x_0) \notin V$。令$M \in \mathfrak{S}$ 使得$x_0 \in M$。然后所有$u \in \mathscr{L}(E; F)$的集合U，使得$u(M) \subset V$是$\mathscr{L}(E; F)$中0的邻域，并且我们有$u_0 \notin U$，因此$\mathscr{L}(E; F)$是Hausdorff。

特别是，只要 F 是 Hausdorff ，$\mathscr{L}(E; F)$ 上的以下拓扑都是 Hausdorff：简单收敛、紧致收敛、预紧紧凸或有界收敛。

(i) 从 E 到 F 的线性映射的集合在 $F^E$ 内闭合。

(ii) 如果 H 是 $\mathscr{L}(E; F)$ 的等连续子集，则 $F^E$ 中 H 的闭包 $\overline{H}$ 包含在 $\mathscr{L}(E; F)$ 中并且是等连续的。

我们知道 $\overline{H}$ 是等连续的（GT，X, § 2, No. 3，第 6 条）。尚需证明断言(i)。令x、y在E中，$\lambda, \mu$在K中，并令$A(x, y, \lambda, \mu)$为所有$u \in F^E$中的集合，使得

这个集合在$F^E$是封闭的，因为从$F^E$到F的映射$u \mapsto u(x)$对于每个$x \in E$都是连续的，并且因为F是Hausdorff。但从 E 到 F 的线性映射的集合等于

因而，这个集合在$F^E$中关闭。

事实上，这个条件对于$\overline{H}$在$F^E$中是紧致的是充分必要的（GT，I, § 9, No. 5，cor.）。

因为，如果H是$E'$的等连续子集，则$\sup_{u \in H} |u|$是E上的连续半范数；特别是，对于每个 $x \in E$，集合 $H(x)$ 都是有界的，因此在域标量中相对紧凑。

此球也因 $\sigma(E', E)$ 关闭。

1) T中简单收敛的一致结构； 2) E中简单收敛的一致结构； 3) E 的预紧子集中均匀收敛结构。

我们回想起（III，p. 15，道具2）$\mathscr{L}(E; F)$重合上的$\mathfrak{S}$拓扑与$\tilde{\mathfrak{S}}$拓扑，其中$\tilde{\mathfrak{S}}$是适应E的最小的出生学和包含$\mathfrak{S}$。

在道具的叙述中。 5，因此我们可以通过“处处密集”来实现替换字“总计”。然后从等连续集合 (GT, X, § 2, No. 4, th. 1) 的一般性质得出命题。

第一个断言来自 prop. 4 (III, p. 16) 和 prop 中的第二个。 5（III，p. 17）。

令$(a_n)$为E中的总序列。则映射$u \mapsto (u(a_n))$是$\mathscr{L}(E; F)$的同构，其中$\mathscr{L}(E; F)$具有$a_n$的集合简单收敛的一致结构，穿上子空间 $F^\mathbf{N}$ 的制服。如果 F 是可度量的（分别是可度量的并且满足可数性的第一个公理），那么对于 $F^\mathbf{N}$ 也是如此（GT，IX, § 2, No. 4，cor.2 和§ 2, No. 8，推论），并且命题由命题得出。 5（III，p. 17）。

设 B 为 F 的单位球，$(V_n)$ E 中 0 的邻域的可数基本系统。对于每个整数 n，所有 $u \in \mathscr{L}(E; F)$ 的集合 $H_n$，使得 $u(V_n) \subset B$ 等连续且$\mathscr{L}(E; F)$ 是$H_n$ 的并。然后从命题得出推论。 6.*

这是从道具得出的。 6 以及从 III、p. 17 开始，cor。 3.

(i) $M$ 等连续 ; (ii) $M$ 包含在 E 中 0 的邻域极坐标中； (iii) M 的极坐标是 E 中 0 的邻域。

如果 M 是等连续的，则存在 0 的凸平衡邻域 V，使得对于所有 $x \in V$ 和所有 $u \in M$ 都有 $|u(x)| \leq 1$；那么我们就有了 $M \subset V^\circ$ 并且 (i) 蕴涵 (ii)。对于相同的记号，如果$M \subset V^\circ$则$V \subset V^{\circ\circ} \subset M^\circ$并且(ii)意味着(iii)。最后，如果$M^\circ$包含凸平衡邻域V为0，则$M \subset M^{\circ\circ} \subset V^\circ$和关系$x \in \varepsilon V,\ u \in M$对于所有$\varepsilon > 0$意味着$|u(x)| \leq \varepsilon$，这证明(iii)蕴涵(i)。

我们注从$E'$到K的每个$x \in E$定义映射$j(x): u \mapsto u(x)$到K。因此我们可以讨论E上的$\mathscr{S}$拓扑，其中$\mathscr{S}$是$E'$的子集的族：这是$K^{E'}$ 上$\mathscr{S}$ 拓扑的$j$ 下的逆像。我们立即验证，如果 $\mathscr{S}$ 是 $E'$ 上的凸出生学，那么对于 E 上的 $\mathscr{S}$ 拓扑，$\mathscr{S}$ 形式集合的极坐标是 0 的邻域的基本系统。 尤其是当$\mathscr{S}$是$E'$与螺旋等连续的子集族。 7 意味着：

更一般地，令 F 为局部凸空间；每$u \in \mathscr{L}(E; F)$定义映射$j(u):(x, f) \mapsto f(u(x))$从$E \times F'$进入K（*即*进入$\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$）。这使得我们能够在定义、空间、$\mathscr{L}(E; F)$、拓扑、集合、子集、$E \times F'$上均匀收敛。尤其 ：

对于F中每一个$u \in \mathscr{L}(E; F)$、每一个$A \in \mathscr{S}$以及每一个0的闭凸平衡邻域V，关系$u(A) \subset V$等价于“$j(u)(A \times V^\circ)$包含在K的单位球中”。

显然条件是必要的。假设已验证，令V为F中0的闭凸平衡邻域。由于V^\circ等连续，因此E中存在0的邻域W使得|f(u(x))|对于所有 x \in W、u \in H 和 f \in V^\circ，\leq 1；在其他字中，对于所有 u \in H，u(W) \子集 V^{\circ\circ} = V，因而 H 是等连续的。

由于 E 上线性形式的每个简单极限都是线性形式（III，p. 16，道具 4），并且由于 E 上的出生学 \mathscr{S} 正在覆盖，因此它可以从 GT，X, § 1, No. 6，cor 得出。 2 具有 \mathscr{S} 拓扑的空间 F 是 Hausdorff 且完备的。显然 E'_\mathscr{S} 是 F 的拓扑向量子空间；因而，只要证明 E'_\mathscr{S} 在 F 中处处稠密即可。这由以下引理推出：

设 \varepsilon > 0。E 中存在一个闭凸平衡邻域 U 为 0，使得 |u(x)| \leq \varepsilon 对于所有 x \in U \cap A。我们知道 E* 中 U 的极坐标 U^\circ 包含在 E' 中，并且对于拓扑 \sigma(E^*, E) (III, p. 17, cor. 2) 是紧致的。由于 E* 中 A 的极坐标 A^\circ 对 \sigma(E^*, E) 是封闭的，因而 A^\circ + U^\circ 是 E* 的封闭凸子集 (GT, III, § 4, No. 1, cor. 1)。

令 C 为 E 的闭凸平衡子集。则 C 对于 \sigma(E, E') (II, p. 45, cor. 3) 是封闭的，因此对于 \sigma(E, E^*) 也是如此，并且作为推论，我们有 C = C^{\circ\circ}（E 和 E* 之间的对偶性）。结果，我们有

由此，我们得到

从线性形式 \varepsilon^{-1}u 属于到 (A \cap U)^\circ，存在 v \in A^\circ 和 w \in U^\circ 使得 u = \varepsilon(v + w)。因而 x' = \varepsilon w 属于到 E' 且 u - x' = \varepsilon v 在绝对值中以 A 上的 \varepsilon 为界；因此引理。

现在设 E 为局部凸 Hausdorff 空间且 \hat{E} 它的完成。 E 扩展上的每个连续线性形式 f 到 \hat{E} 通过连续性；因此我们有 (\hat{E})' = E'

(III, p. 16) 以及 $E'$ $\hat{E}$ 定义线性形式的每元素；即 $E'$ 的代数对偶 ${E'}^*$ 的元素。在加法中，$E$（分别为$\hat{E}$）和$E'$之间的对偶性正在分离（II，p. 24，对应1）。因而$E$和$\hat{E}$可以用${E'}^*$的向量子空间来识别。

当$E'$被赋值为拓扑$\sigma(E', E)$时，空间$E$可以等同于$E'$的拓扑对偶（II，p. 43，第3条）；另一方面，如果$\mathscr{S}$是$E'$的等连续子集的集合，则$E$上给定的拓扑是$\mathscr{S}$拓扑（III，p. 19，cor.1）。然后从III，p. 13，道具得出。 1，$\mathscr{S}$的集合以$\sigma(E', E)$为界（*cf.*稍后，III，p. 22，道具9）；在其他字中，$\mathscr{S}$是对拓扑$\sigma(E', E)$的改编和涵盖的出生学。 定理 2 则为 th 的推论。 1 如果我们替换 $E$ 乘以 $E'$ 并且 $E'_\mathscr{S}$ 乘以 $E$。

我们知道$E$的对偶可以与$E_i$的对偶的乘积识别（II，p. 30，公式（1））。设$u \in \hat{E}$，并令$u_i \in {E_i'}^*$为$u$的限制（视为${E'}^*$的元素）到$E_i' \subset E'$。除了指标$i \in I$的有限数之外，直接的足以证明$u_i = 0$。相反，假设存在不同的指标使得$u_{i_n} \neq 0$存在序列$(i_n)_{n \in \mathbf{N}}$。那么存在$x_{i_n} \in E_{i_n}'$使得$u_{i_n}(x_{i_n}) = n$。所有$x_{i_n}$中的集合$H$在$E'$中等连续，并且$u$到$H$中的限制无界，这是不可能的。

因为，如果 F 中 $H$ 是 $\mathscr{L}(E; F)$ 的等连续子集和 0 的 $V$ 邻域，则集合 $\bigcap_{u \in H} u^{-1}(V)$ 是 E 中 0 的邻域，因此吸收 E 的每个有界子集。

以 $\mathscr{S}$ 拓扑为界的 $\mathscr{L}(E; F)$ 的子集不一定是等连续的，即使 $\mathscr{S}$ 是覆盖的并且 $\mathscr{S}$ 是 E 上的规范出生学（IV，p. 50，练习 17）。在下面的段落中，我们将在 barrelled 空间、空间 E 的名称下研究，使得 $\mathscr{L}(E; F)$ 的每个简单有界子集都是等连续的。对于当前注，结果如下：

对于 F 中 0 的每个凸平衡邻域 $V$，集合 $\bigcap_{u \in H} u^{-1}(V)$ 吸收 E 的每个有界子集，因此 E 中 0 的邻域；这就证明H是等连续的。

由于对于 $\mathscr{S}$ 拓扑，H 的边界为 $\mathscr{L}_{\mathscr{S}}(E; F)$（III，p. 22，命题 9），并且在 $F^E$ 中封闭（III，p. 16，命题 4），因此可以从以下结论得出： GT 3，X, § 1, No. 5。

因为，凭借道具。 5 (III, p. 17) $\Phi$ 是 E 中预紧收敛一致结构的柯西滤波器；通过道具。如图11所示，H在$\mathscr{L}_{pc}(E; F)$中的闭包$\overline{H}$是完全的，因此$\Phi$一致收敛于E到映射$u \in \overline{H}$的每个预紧子集。

令 $\Phi$ 为 $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E; F)$ 中的柯西滤波器。那么$\Phi$是拓扑的简单收敛的柯西滤波器，因此收敛于$F^E$；此外，它的极限$u$是从E到F的线性映射，并且$\Phi$在$\mathfrak{S}$的每个集合均匀地收敛到$u$（GT，X, § 1, No. 5，道具5）。由此可见，序列收敛到零的$u$下的像是序列收敛到零，因此，$u$是*连续的*，因为E是天生的（III，p. 11，道具1， (三))。