是F的对偶$F^*$中的G的线性映射和G的对偶$G^*$中的F，分别关联到B的右侧和左侧（A，IX, § 1.1）。然后 B 将 F 和 G 置于 G 中（或 F 中）分离的对偶性中，当且仅当 $d_B$（或 $s_B$）是单射的。*

当F和G被B置于分离对偶性时，我们经常通过$s_B$（或$d_B$）将认同F（或G）与$G^*$（或$F^*$）的子空间。当我们将 F（或 G）视为 $G^*$（或 $F^*$）的子空间而不指定如何进行这种识别时，我们总是使用前面的识别；然后，双线性形式 B 被标识为规范双线性形式的限制到 $F \times G$：

这是 II、p. 3 属性的特例。 2.

因为，说$F$上的线性形式$f$对于$\sigma(F, G)$是连续的，意味着存在点$y_i \in G$（$1 \leq i \leq n$）的有限集合，这样，对于$F$中的所有$x$， $|f(x)| \leq \sup_{1 \leq i \leq n} |\langle x, y_i \rangle|$（II，p. 6，道具 5）。因此，$n$关系$\langle x, y_i \rangle = 0$（$1 \leq i \leq n$）意味着$f(x) = 0$，因此（A，II, § 7.5，cor.1），存在线性组合$y = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i$，使得$f(x) = \langle x, y \rangle$对于所有$x \in F$。 唯一性由 (D$_\text{II}$) 得出。

在其他字中，当对偶性在$G$中分离时，$F$有拓扑$\sigma(F, G)$，那么我们可以确定$G$规范地与$F$的对偶对于这个拓扑（II， p. 42，定义 1)。

用于使用道具。 3 和 I、p. 13、th。 1、性质表示对于$\sigma(F, G)$没有封闭的超平面包含所有$a_i$；因此，推论是从 cor 得出的。 3 个II、p. 38。

这意味着，对于所有$i$，$\sigma(F, G)$中存在一个封闭的超平面，其中包含所有$a_\kappa$与指标$\kappa \neq i$，但不存在包含$a_i$。

条件显然就足够了；相反，如果$\sigma(F, G_2)$比更细大于$\sigma(F, G_1)$，则对于$\sigma(F, G_1)$连续的每个线性形式对于$\sigma(F, G_2)$也是连续的，因此通过道具$G_1 \subset G_2$。 3.

这是从 cor 得出的。 1.

(ii) 如果 M 是顶点 0 的圆锥体，则 $M^\circ$ 是顶点 0 的圆锥体，并且它也是 $y \in G$ 的集合，使得 $\langle x, y \rangle \geq 0$ 对于所有 $x \in M$。

(iii) 如果 M 是 F 的向量子空间，则 $M^\circ$ 是 G 的向量子空间，并且它也是 $y \in G$ 的集合，使得对于所有 $x \in M$ 来说$\langle x, y \rangle = 0$。

(i) 由于线性形式 $y \mapsto \langle x, y \rangle$ 对于 $\sigma(G, F)$ 叙述是连续的，因此直接从定义得出，并且由超平面确定的半空间是凸的。

(ii) 如果 M 是顶点为 0 的圆锥体，并且如果 $x \in M, y \in M^\circ$，则作为 $\lambda x \in M$，对于所有 $\lambda > 0$，我们有 $\langle \lambda x, y \rangle \geq -1$，即 $\lambda \langle x, y \rangle \geq -1$。由于这对于所有 $\lambda > 0$ 都成立，因此$\langle x, y \rangle \geq 0$ 和 (ii) 被证明。

(iii) 类似地，如果 M 是 F 的向量子空间，关系 $x \in M, y \in M^\circ$ 意味着，这一次，对于所有实数$\lambda$，$\lambda \langle x, y \rangle \geq -1$ 只有在 $\langle x, y \rangle = 0$ 时才有可能。

如果M是F的向量子空间，我们说$M^\circ$是M在G中的正交；如果$G \subset F^*$，则$M^\circ$是G的交，并且是F的代数对偶$F^*$中与M正交的子空间（A，II, § 2.4，def.4）。

对于 F 的向量子空间 M 和 G 的向量子空间 N，如果 $M \subset N^o$（或者等效地，如果 $N \subset M^\circ$），我们说 M 和 N 正交。

我们已经看到，我们只需要考虑$M$是凸的并且$0 \in M$的情况。用$\overline{M}$表示$M$的拓扑$\sigma(F, G)$中的闭包，则$\overline{M}$是$F$中的凸集合；支柱。 II、p. 44中的4个表明$M^{\circ\circ} \supseteq \overline{M}$。另一方面，如果$a \in F$不属于到$\overline{M}$，那么$F$中存在一个封闭的超平面$H$，它严格地将$a$与$\overline{M}$分开（II，p. 38，道具4）；由于 $H$ 不等于包含 0，因此存在 $y \in G$，使得 $H$ 具有方程 $\langle x, y \rangle = -1$（II，p. 43，命题 3）；因此 $\langle x, y \rangle > -1$ 对于所有 $x \in \overline{M}$ 和 $\langle a, y \rangle < -1$。这意味着$y \in M^\circ$和$a \notin M^{\circ\circ}$，以及关系$M^{\circ\circ} = \overline{M}$。

因为，如果 $N$ 是这个凸封闭包络线，那么

从而$N = N^{\circ\circ} = M^\circ$。

Cor的结论。如果 $M_\alpha$ 不是凸的，则 1 不一定成立。

(i) *E 中的闭凸集合对于拓扑 $\mathscr{T}$ 和弱拓扑 $\sigma(E, E')$ 是相同的。

(ii) *对于E的每一个子集M，$E'$中M的极集合$M^\circ$的E中的极集合$M^{\circ\circ}$，是拓扑$\mathscr{T}$的$M \cup \{0\}$的凸闭包络。

显然，(ii) 由 (i) 和 th 推出。 1. 从对偶 $E'$ 的定义出发，从 II，p. 43，道具得出。 3 E 上拓扑 $\mathscr{T}$ 的连续线性形式与$\sigma(E, E')$ 的连续线性形式相同。因此，E 中的闭半空间对于 $\mathscr{T}$ 和 $\sigma(E, E')$ 是相同的（II，p. 15，命题 17），并且断言 (i) 因此可从 II，p. 38，相应得出。 1.

a) u 对于弱拓扑 $\sigma(F, G)$ 和 $\sigma(F_1, G_1)$ 是连续的；

b) 存在映射 $v : G_1 \to G$ 使得

对于所有$y \in F$和$z \in G_1$。

如果这些性质成立并且 F 和 G 之间的对偶性在 G 中分离，则映射 v 满足 (1) 是唯一的，并且 v 是线性的。

如果u对于弱拓扑是连续的，那么，对于所有$z_1 \in G_1$，F上的线性形式$y \mapsto \langle u(y), z_1 \rangle$对于$\sigma(F, G)$来说是连续的，因此（II，p. 43，命题3）可以写成$y \mapsto \langle y, v(z_1) \rangle$和$v(z_1) \in G$，这表明a）蕴涵b）。相反，如果 b) 为真，则对于所有 $z_1 \in G_1$、线性形式

对于$\sigma(F, G)$是连续的：从弱拓扑的定义可以得出，u对于$\sigma(F, G)$和$\sigma(F_1, G_1)$是连续的（I，p. 10，cor.1）。 v 的唯一性由 (D_{II}) 得出，这个唯一性意味着 v 是线性的。

将 $F$ 和 $F_1$ 与 prop 中的 $G$ 和 $G_1$ 交换就足够了。 5.

(ii) 我们有 ${}^t u(A_1^{\circ}) \subset (u^{-1}(A_1))^{\circ}$；此外，如果 $A$ 是闭集，（对于 $\sigma(F_1, G_1)$）凸，并且包含原点，那么我们有 ${}^t u(A_1^{\circ}) = (u^{-1}(A_1))^{\circ}$。

令$z_1 \in G_1$、关系$z_1 \in (u(A))^{\circ}$等价于所有$y \in A$的$\langle u(y), z_1 \rangle \geq -1$，关系${}^t u(z_1) \in A^{\circ}$等价于所有$y \in A$的$\langle y, {}^t u(z_1) \rangle \geq -1$，并且我们的断言(i)遵循使用(1)。接下来交换$u$和${}^t u$和应用（i）到$G_1$的集合$A_1^{\circ}$我们得到

从那里，在采取极地

我们有 ${}^t u(A_1^{\circ}) \subset ({}^t u(A_1^{\circ}))^{\circ \circ}$ 和双极定理（II，p. 44，第 1）；最终的叙述由 (2) 得出，自此之后的双极定理 $A_1^{\circ \circ} = A_1$ 和 ${}^t u(A_1^{\circ})$ 是凸的，包含是原点。

事实上，关系$u(A) \subset A_1$等价于$A \subset u^{-1}(A_1)$，因此意味着

相反关系 ${}^t u(A_1^{\circ}) \subset A^{\circ}$ 意味着

来自（2）。当$A_1 = A_1^{\circ \circ}$时，我们推导出$A \subset u^{-1}(A_1)$。

(3)

(4)

假设$F$和$G$之间以及$F_1$和$G_1$之间的对偶性是分离的；那么 $u(F)$ 在 $F_1$ 中是稠密的（对于 $\sigma(F_1, G_1)$），当且仅当 ${}^t u$ 是单射的。

应用道具。 6 与 $A = F$ 和 $A_1 = \{0\}$，利用弱拓扑 $\sigma(G, F)$ 和 $\sigma(F_1, G_1)$ 是 Hausdorff 的事实。 最后一个断言由 (4)、交换 $u$ 和 $^t u$ 得出。

(i) *拓扑$\sigma(M, G/N)$，这种对偶性是由$\sigma(F, G)$引发的（特别是我们有$\sigma(F, G) = \sigma(F, G/F^\circ)$）。

(ii) *拓扑 $\sigma(G/N, M)$ 对于这种对偶性比 $\sigma(G, F)$ 与 $N$ 的商拓扑更粗糙；当且仅当$M + G^\circ = N^\circ$时，这些拓扑是相同的。

(i) $G/N$ 的每个元素都是类 mod。 $G$元素$N$；如果$z_i (1 \leq i \leq n)$是$G$的元素，$\dot{z}_i (1 \leq i \leq n)$是$G/N$中$z_i$的类，则$y \in M$的集合，使得$1 \leq i \leq n$的$|\langle y, \dot{z}_i \rangle| \leq \alpha$是迹那些$x \in F$中的集合中的$M$使得$|\langle x, z_i \rangle| \leq \alpha$对应$1 \leq i \leq n$；结论是从弱拓扑为0的定义或邻域得出的。

(ii) 设$p : G \to G/N$为典范满射。我们证明* $\sigma(G, F)$ 与 $N$ 的商拓扑 $\mathscr{T}$ 与 $\sigma(G/N, N^\circ)$ 相同。因为，对于$z \in G, y \in N^\circ$，我们有$\langle y, p(z) \rangle = \langle y, z \rangle$，因此$\sigma(G/N, N^\circ)$的每个0的邻域都是形式$p(V)$，其中$V$是$\sigma(G, F)$的0的邻域，对于关系饱和$z - z' \in N$，因此$\mathscr{T}$ 比$\sigma(G/N, N^\circ)$ 更细。相反，对于$\sigma(G, F)$，令$U = W(y_1, ..., y_n; \alpha)$为$G$中0的邻域，其中$y_i \in F$对于$1 \leq i \leq n$和$\alpha > 0$；我们将看到，对于$1 \leq i \leq n$，存在元素$t_i \in N^\circ$，这样如果有人放入$U' = W(t_1, ..., t_n; \alpha)$，则$p(U') \subset p(U)$；这将表明 $\sigma(G/N, N^\circ)$ 比 $\mathscr{T}$ 更细，因此实际上与 $\mathscr{T}$ 相同。现在，令$L$为$N^\circ$和$y_i$生成的$F$的向量子空间，并用$P$表示$L$中$N^\circ$的补子空间；它是有限维，比如说$m$。设$(x_j)_{1 \leq j \leq m}$为$P$中的基； 线性形式 $x \mapsto \langle x_j, z \rangle$ 的限制到 $N$ 是线性独立的，因为否则 $P$ 中存在 $x \neq 0$，使得 $\langle x, z \rangle = 0$ 对于所有 $z \in N$，也就是说 $x \in N^\circ$，其中与……矛盾定义共 $P$。因此我们结论，对于所有$z' \in G$，存在$s \in N$，使得$\langle x_j, z' \rangle = \langle x_j, s \rangle$对于所有$j$；如果$z' = z + s$，我们对所有$x \in P$有$\langle x, z \rangle = 0$。既然如此，则放入$y_i = t_i + w_i$，其中$t_i \in N^\circ$和$w_i \in P$；我们有$\langle y_i, z \rangle = \langle t_i, z \rangle = \langle t_i, z' \rangle$换$1 \leq i \leq n$；因此，对于所有$z' \in U'$，存在$z \in U$使得$z' - z \in N$，也就是说我们有$p(U') \subset p(U)$。

回到M是N°中任意子空间的情况，注显然是$\sigma(G/N, M) = \sigma(G/N, M + G^\circ)$；进一步，从道具。 II、p. 43的3，我们看到，如果$y \in N^\circ$使得线性形式$\dot{z} \mapsto \langle y, \dot{z} \rangle$对于$\sigma(G/N, M)$连续，则必然$y \in M + G^\circ$。我们结论认为条件$M + G^\circ = N^\circ$对于商拓扑$\mathscr{T}$等于$\sigma(G/N, M)$是必要且充分的。

这是从道具得出的。 7 放入$N = M^\circ$，并回顾$M^{\circ \circ}$是M对于$\sigma(F, G)$的闭包（II，p. 45，cor.2）。

对于，$G/M^0$与M处于分离对偶性；如果 M 为维数 n，则$G/M^\circ$ (II, p. 41, 例 1) 也同样如此。如果M是闭集，则$F/M = F/M^{\circ \circ}$与$M^\circ$处于分离对偶性；如果 F/M 为维数 n，则对于 $M^\circ$ (II、p. 41、例 1) 来说是相同的。

让$N = \operatorname{Im}(^t u) \subset G$；我们知道 F 中的 $N^0 = \operatorname{Ker}(u)$ (II, p. 47, 公式 (3))。令 $p : F \to F/N^\circ$ 为典范映射，以便 u 因式分解为

其中 w 是单射。 空间$F/N^\circ$和N处于分离对偶性，并且通过II、p. 48的公式(1)，我们对所有$\dot{y} \in F/N^\circ$和$z_1 \in G_1$有$\langle w(\dot{y}), z_1 \rangle = \langle \dot{y}, ^t u(z_1) \rangle$。这个关系表明w是$F/N^\circ$的同构，携带拓扑$\sigma(F/N^\circ, N)$，在$u(F)$上，并由$\sigma(F_1, G_1)$诱导拓扑。因此结论来自cor。 1 和严格的态射的定义。

因为，如果说$u(F) = F_1$等价于说，那么对于$\sigma(F_1, G_1)$，$u(F)$是封闭的且在$F_1$处处密集；科。 4 随后来自 cor。 3 适用于 $^t u$ 和 II、p. 47，cor。 2.