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§ 1。拓扑中的出生学向量空间

1. 出生学

我们说 $\mathscr{B}$ 正在覆盖，如果 $E$ 的每个元素都包含在集合中，其中属于到 $\mathscr{B}$，*或者，这是相同的，如果* $\mathscr{B}$ 是 $E$的覆盖。

如果$X$和$Y$是$E$中的两个子集，我们有

因而，如果$\mathscr{B}$是$E$上的凸出生学，如果$A$是$K$的有界子集，并且如果$X, Y$属于到$\mathscr{B}$，则$X + Y \in \mathscr{B}$和$A.X \in \mathscr{B}$。

2. 拓扑向量空间的有界子集

在$A$有界的阶中，$A$被$0$的邻域的基本系统的每个邻域吸收就足够了。由于存在$0$的平衡邻域的基本系统（I，p. 7，命题4），这与说相同，对于$E$中$0$的每个邻域$V$，存在$\lambda \in K$使得$A \subset \lambda V$。

假设 $E$ 的拓扑由半范数 (II, p. 3) 的基本系统 $\Gamma$ 定义；则 $E$ 的子集 $A$ 是有界的当且仅当每个半范数 $p \in \Gamma$ 都在 $A$ 上有界。

特别是，如果$E$是半范数空间，则$E$的子集$A$是有界的当且仅当它包含在球中时。在其他字中，如果 $E$ 已标准化，这意味着 $A$ 的界限为 $E$ 的度量空间结构（GT，IX, § 2, No. 2）。

如果$\mathscr{B}$是$E$有界子集的集合，则存在适应$E$和包含$\mathscr{B}$的最小的出生学$\tilde{\mathscr{B}}$。 $\tilde{\mathscr{B}}$ 的集合是那些包含在与 $\mathscr{B}$ 集合的有限并的闭凸平衡包络相似的集合中的值。

每一种改编的出生学都包含在规范的出生学中。

3. 连续映射下的像

4. 在某些归纳极限内有界子集

5. 空间 $E_A$（有界）

令$E$为局部凸空间，$A$为$E$的凸平衡子集。我们记得$E_A$表示由$A$生成的向量空间，$p_A$是$A$的规范，作为半范数（II，p. 26，*例3*）。我们立即验证当且仅当$A$有界时，$E_A$到$E$的典范嵌入是连续的。如果在加法中，$E$ 是 Hausdorff，则有界集合 $A$ 不是包含一条线 (III, p. 2, 注 4)，因此 $p_A$ 是范数（II，*loc.cit.*）。

如果$X$中的每个柯西序列收敛，我们可以说一致空间$X$是“半完备”的。完整的制服空间是半完整的；但逆命题并不总是正确的（GT，II, § 4，练习4）；然而，可度量的半完备空间是完备的（GT，IX, § 2, No. 6，道具9）。

6. 完全有界集合和准完全空间

7. 例

a) 设X为拓扑空间。让X上的数值（有限）函数的$\mathscr{R}(X)$，向量空间被分配为紧致收敛（GT，X, § 1, No. 3）的拓扑：这是最粗糙的拓扑，其中限制映射 $\mathscr{R}(X) \to \mathscr{R}(H)$ 是连续的（其中 H 贯穿 X 的紧子集族，并且其中$\mathscr{R}(H)$被指定一致收敛的拓扑）。科。 III、p. 4 的 3 表明，子集 $\mathscr{R}(X)$ 的 A 是有界的当且仅当，对于每个紧致子集 H of X、集合 of 限制到 H of 函数属于到 A 是一致有界的。

*b) (无限可微函数的空间。)令$n \geqslant 1$为整数。对于 $\mathbf{R}^n$ 中的每个开集合 U，令 $\mathscr{C}^\infty(U)$ 表示 U 上无限可微函数的向量空间 (VAR, R, 2.3)。令 f 在 $\mathscr{C}^\infty(U)$ 中。对于$\mathbf{N}^n$中的每个多索引$\alpha = (\alpha_1, ..., \alpha_n)$，$\partial^\alpha f$表示偏导数$\partial^{|\alpha|} f / \partial x_1^{\alpha_1} ... \partial x_n^{\alpha_n}$；这是 U（VAR、R、2.3 和 2.4）上的连续函数。对于每个整数 $m \geqslant 0$，以及 U 的每个紧凑子集 H，集合

那么$p_{m,H}$是$\mathscr{C}^\infty(U)$的半范数。

让$\mathscr{C}^\infty(U)$被分配由半范数$p_{m,H}$定义的拓扑。这是最粗糙的拓扑，其中从 $\mathscr{C}^\infty(U)$ 到 $\mathscr{R}(U)$ 的映射 $f \to \partial^\alpha f$ 是连续的，其中$\mathscr{R}(U)$ 被分配紧致收敛的拓扑。 U 中存在递增序列的紧凑子集 $(H_n)_{n \geqslant 0}$，其内部覆盖 U； $\mathscr{C}^\infty(U)$ 的半范数族$p_{m,H_n}$定义拓扑，然后成为局部凸可度量空间。 空间$\mathscr{C}^\infty(U)$已完成；在其他字中，它是Fréchet空间（II，p. 24）：实际上，让$(f_k)$是$\mathscr{C}^\infty(U)$中的柯西序列；对于每个$\alpha \in \mathbf{N}^n$，序列$(\partial^\alpha f_k)$收敛于完整的空间$\mathscr{R}(U)$（TG，X, § 1, No. 5，第1）到连续的函数$g_\alpha$。到$|\alpha|$的归纳，我们从 th 推导出来。 FVR 的 1，II、p. 2，每 $\alpha \in \mathbf{N}^n$ $g_\alpha = \partial^\alpha g_0$。在其他字中，序列$(f_k)$收敛于$\mathscr{C}^\infty(U)$中的$g_0$。

设 A 为 $\mathscr{C}^\infty(U)$ 的子集。在阶中，A是有界的，对于U的每个整数$m \geqslant 0$和每个紧致子集H，数$\sup_{f \in A} p_{m,H}(f)$是有限的是充分必要的；这个条件意味着对于每个$\alpha \in \mathbf{N}^n$，函数$\partial^\alpha f|H$对于$f \in A$的集合对于每个紧凑的$H \subset U$是统一有界的。

令 $H \subset U$ 是紧致的。我们用函数的 $\mathscr{C}^\infty(U)$ 由……组成的 $\mathscr{C}_H^\infty(U)$ 子空间表示，其支持位于 H 中。 无限可微函数的空间 $\mathscr{C}_c^\infty(U)$ 在 U 中具有紧支持，是有向递增并子空间$\mathscr{C}_H^\infty(U)$，其中 H 穿过 U 的紧致子集族。每个空间$\mathscr{C}_H^\infty(U)$将被分配由$\mathscr{C}^\infty(U)$诱导的拓扑，以及$\mathscr{C}_c^\infty(U)$与相应的诱导的极限拓扑。如果集合$H_n$使得它们的内部形式是U的覆盖，那么空间$\mathscr{C}_c^\infty(U)$是Fréchet空间$\mathscr{C}_{H_n}^\infty(U)$的严格归纳极限；因此它是完整的（II，p. 32，第 9 条），并且 $\mathscr{C}_c^\infty(U)$ 的每个有界子集都包含在子空间 $\mathscr{C}_{H_n}^\infty(U)$ 之一（III，p. 5，第 6 条）。 \*

c) （Gevrey 的空间。）令 I 为 $\mathbf{R}$ 中的紧区间。对于每个整数 $n \geqslant 0$，$D^n f$ 表示在 I 上定义的数值函数 $f$ 的 $n$ 导数（只要该导数存在）。令$s \geqslant 1$和$M \geqslant 0$为两个实数。令 $\mathscr{G}_{s,M}(I)$ 表示 I (FVR, I, p. 28) 上的无限可微函数 $f$ 中的向量空间，其中序列 $(|D^n f|/M^n(n!)^s)_{n \geqslant 0}$ 的边界为所有连续的空间 $\mathscr{C}(I)$ 函数 on I（拓扑一致收敛）。 空间 $\mathscr{G}_{s,M}(I)$ 是 Banach 空间与范数

对于$M \leqslant M'$，我们有$\mathscr{G}_{s,M}(I) \subset \mathscr{G}_{s,M'}(I)$，并且

每$f \in \mathscr{G}_{s,M}(I)$。让$\mathscr{G}_s(I)$表示空间$\mathscr{G}_{s,M}(I)$的并，并赋予它$\mathscr{G}_{s,M}(I)$拓扑的归纳极限拓扑。

设 $M < M'$ 并设 B 为 $\mathscr{G}_{s,M}(I)$ 中的单位球（闭合）。我们将证明 B 是 Banach 空间 $\mathscr{G}_{s,M'}(I)$ 的紧子集。显然，B 在$\mathscr{G}_{s,M'}(I)$ 是闭集，因此只需证明 B 在$\mathscr{G}_{s,M'}(I)$ 是预紧的。令 $\varepsilon > 0$ 并令 N 为正整数，使得 $(M/M')^N \leqslant \varepsilon/2$。设$k$为正整数；所有函数 $D^{k+1} f$ 中的集合（因为 $f$ 范围在 B 上）的边界在 $\mathscr{C}(I)$ 内，因此所有函数 $D^k f$ 中的集合（因为 $f$ 范围在 B 上）在 $\mathscr{C}(I)$ 中相对紧凑：这是从有限增量的定理（FVR，I，p. 23，cor.1）和Ascoli的定理（GT，X, § 2, No. 5）得出的。我们定义范数于$\mathscr{G}_{s,M}(I)$

上述论证表明，B 对于与范数 $q$ 关联的拓扑是预紧的；在其他字中，存在B的有限子集C，使得对于每个$f \in B$，存在$g \in C$使得$q(f - g) \leqslant \varepsilon$。最后，对于每 $n > N$，我们有

从中我们得到$\|f - g\| \leqslant \varepsilon$。这证明了 B 在 $\mathscr{G}_{s,M'}(I)$ 中是预紧的。

空间$\mathscr{G}_s(I)$是空间$\mathscr{G}_{s,k}(I)$的归纳极限，因为$k$范围超过$\mathbf{N}$；通过道具。 7 (III, p. 6) $\mathscr{G}_s(I)$的每个有界子集都包含在空间$\mathscr{G}_{s,k}(I)$之一中，并且在这个空间中相对紧凑。

\* d) （全纯函数的空间。）令$n \geqslant 1$为整数。对于$\mathbf{C}^n$的每个开子集 U，$\mathscr{H}(U)$表示U中函数全纯的空间，并分配U中紧致收敛的拓扑。对于$\mathbf{C}^n$的每个紧致子集L， $\mathscr{H}(L)$表示L的邻域中全纯函数的胚空间；我们赋予这个空间以最精细的局部凸拓扑，其中典范映射$\pi_U : \mathscr{H}(U) \to \mathscr{H}(L)$是连续的，其中U的范围超过L的开邻域的集合。

对于每个整数$m \geq 1$，令$U_m$为$\mathbf{C}^n$的点中的集合，其与L的距离为$< 1/m$。可以证明，从$\mathscr{H}(U_m)$到$\mathscr{H}(L)$的典范映射$\pi_{U_m}$是*单射的*，而从$\mathscr{H}(U_m)$到$\mathscr{H}(U_p)$的限制映射对于$p \geq m$来说是*紧致*。然后我们就可以应用 prop. 7（III，p. 6）。设 A 为 $\mathscr{H}(L)$ 有界子集；则存在整数$m \geq 1$，使得A由L的邻域中的函数的胚芽、属于到$\mathscr{H}(U_m)$中的有界集合B组成。此外，从$\mathscr{H}(L)$到拓扑空间T的映射$\phi$是连续的，当且仅当从$\mathscr{H}(U)$到T的映射$\phi \circ \pi_U$对于L的每个开邻域U是连续的。 \*

习题

参见习题为 § 1。