到构造，$c_E$的核是$E$上连续的线性形式的核交，*即*$E$中$\{0\}$的闭合（II， p. 24，cor。

当$E$是Hausdorff时，我们通过映射$c_E$将认同$E$与$E''$的子空间进行计算。

双向。反射空间

TVS IV.15

$E''$上的强拓扑是$\mathscr{S}$拓扑，其中$\mathscr{S}$是$E'$的所有强有界子集的族。由于$E'$的每个等连续子集都是强有界的（III，p. 22，道具9），$E$上的初始拓扑比通过在强的$c_E$下取逆像获得的拓扑更粗糙拓扑 $E''$；它可以严格更粗糙（IV，p. 52，练习1）。然而：

因为，强有界的$E'$的每个子集都是等连续的（III，p. 22，道具10和III，p. 24）。

$E''$的等连续子集是子集，包含在$E''$的子空间$E$的有界子集的双极（对于$E''$和$E'$之间的对偶性）。现在只需使用双极的定理（II、p. 45、cor.3）和桶装空间（III、p. 24）的定义即可。

第二个断言来自 prop. 3（IV，p. 15），以及初始拓扑的有界子集和$E$的弱化拓扑之间的恒等式（III，p. 27，cor.3）。

说$E$是半自反意味着$E'_b$上的拓扑与$E$和$E'$之间的对偶性兼容，在其他字中，通过Mackey的定理（IV，p. 2，第1）， $E'_b$上的拓扑比$\tau(E', E)$更粗糙（事实上与它相同）；由定义 (IV, p. 2)，这意味着 $E$ 的每个闭、凸、有界子集对于 $\sigma(E, E')$ 都是紧致的，这相当于说，E 的每个有界子集对于 $\sigma(E, E')$ 都是相对紧致的，因为闭凸E 的有界子集的包络线是有界的（III，p. 3，道具 1）。

设B是M的有界子集。由于B在E中有界，并且M上的弱化拓扑$\sigma(M, M')$是由$\sigma(E, E')$（IV，p. 10，命题11）诱导的，因此赋予$\sigma(M, M')$的M中B的闭包是紧的。因而，通过th。 1、M是半自反的。推论最后一个断言由命题得出。 IV、p. 9的10，应用于E的所有闭、凸、有界子集的集合$\mathscr{S}$。

这立即来自 def。 3.

到了。 1 (IV, p. 15)，这与说相同，E 是自反的当且仅当它是半自反的并且是桶形的。

如果 E 是自反的，则 $E'_b$ 也是自反的（命题 4），因而 E 是桶状的（IV、p. 15、第 1）。相反，如果 E 是半自反且桶状的，则 $c_E$ 是双射，并且通过 IV、p. 15 是双连续的。 2，因此E是自反的。

根据公式 (1) 和 (2)，E'' 中的单位球是 B 的双极 $B^{\circ \circ}$。 命题 5 然后从双极的定理得出（II，p. 45，cor. 3）。

我们观察到自反范数空间是完整的，因此是 Banach 空间，并且它的对偶是自反 Banach 空间的属性。 4 个IV、p. 16。

令 E' 为 E 的对偶和 $M^\circ$ M 在 E' 中的正交。作为规范化的空间，我们将可以确定空间$E'/M^\circ$与M的对偶$M'$（IV，p. 9，道具10）。由于 M 是半自反的（IV，p. 16，推论），因此它是自反的，因而 $E'/M^\circ$ 也是如此；类似地，$M^\circ$是自反的，它的对偶$E/M^{\circ \circ} = E/M$也是如此。

首先假设$\mathfrak{T}$中存在有界集合$\overline{B}$。对于 E 的初始拓扑，B 的闭包 $\overline{B}$ 是有界的；在加法中，$\overline{B}$ 是紧的，因为 E 是 Montel 空间。由 $\sigma(E, E')$ 引发的 $\overline{B}$ 上的拓扑是 Hausdorff，并且比由初始拓扑引发的拓扑更粗糙；因而，他们重合（GT，I, § 9, No. 4）。对于这种情况，这证明了命题。

接下来假设$\mathfrak{T}$有一个可数的基。考虑序列$(x_n)_{n \geq 1}$对于$\sigma(E, E')$趋向于$x_0$的情况就足够了（GT，I, § 6, No. 8，道具11）。令 B 为 $n \geq 0$ 的所有 $x_n$ 中的集合。这个集合以$\sigma(E, E')$为界，因此也适用于初始的拓扑（III，p. 27，cor.3）。这样我们就减少到了第一个情况证明。

每个 Montel 空间都是自反的：这来自 def。 4 并从 th 开始。 2 个IV、p. 16。进一步：

令 E 为 Montel 空间和 $E'_b$ 其强对偶。由于 E 是自反的，$E'_b$ 是桶状的（IV、p. 15、第 1）。由于 E 的每个有界子集都是相对紧致的，因而 $E'$ 重合上的强拓扑与拓扑具有紧致收敛性。设 B 为 $E'_b$ 有界子集；它对于弱拓扑 $\sigma(E', E)$ 有界，因此是等连续的，因为 E 是桶形的。那么Ascoli 的定理（GT，X, § 2, No. 4，cor. 和§ 2, No. 5，cor.1）意味着$\sigma(E', E)$ 的B 闭包对于紧致收敛的拓扑是紧致的；因而 B 在 $E'_b$ 中是相对紧的。

令 E 为可度量的 Montel 空间。我们知道（II，p. 5）E可以与规范化的空间的乘积序列的$F = \prod_{n \in \mathbf{N}} F_n$和子空间等同，甚至可以假设对于所有$n \in \mathbf{N}$，我们都有$\mathrm{pr}_n(E) = F_n$。如果每个可度量的空间 $F_n$ 满足可数性第一公理，那么 F (GT, IX, § 2, No. 8) 也满足，因而 E 也满足。

我们通过“归谬法”来论证。假设例 $F_0$ 不满足可数性第一公理。令$B_0$为$F_0$中的单位球（闭合）；这是一个度量空间，它不是满足可数性的第一个公理。我们将使用以下引理 ：

对于每个整数$n \geq 1$，令$\mathfrak{F}_n$为X的子集D的集合（按包含排序），使得$d(x, y) \geq \frac{1}{n}$对于D中不同的$x, y$。集合$\mathfrak{F}_n$是有限的特征标，因此拥有极大元素$D_n$（S，III, § 4, No. 5）。那么对于所有$y \in X$，在$D_n$中存在点$x$，使得$d(x, y) < \frac{1}{n}$，凭借$D_n$的最大特征标。

把$D = \bigcup_n D_n$；那么集合 D 在 X 中是稠密的，并且由于 X 不是可数第一公理满足，因此 D 不可数，因此 $D_n$ 中的一个不可数。

Q.E.D.

将引理 1 应用于 $B_0$，存在不可数的 $F_0$ 和数 $\varepsilon > 0$ 子集 $A_0$，使得 $\|x\| \leq 1$ 和 $\|x - y\| \geq \varepsilon$ 对于不同的$x, y$ $A_0$。我们有$\mathrm{pr}_0(E) = F_0$，因此E中存在子集A，使得$\mathrm{pr}_0$诱导双射从A到$A_0$。

我们将A的点的构造序列$(x_m)_{m \geq 0}$乘以归纳；以及满足的递减序列 $(C_m)_{m \geq 0}$ 子集以下条件 ： a) 集合 $C_m$ 都不是可数的。 b) 对于每个 $n \geq 0$，集合 $\mathrm{pr}_k(C_m)$ 都以 $F_k$ 为界，对于 $0 \leq k \leq m$。 c) 对于每个$m \geq 0$，我们有$x_m \in C_m - C_{m+1}$。

我们投入$C_0 = A$。假设$0 \leq m \leq n$定义了集合$C_m$，则$0 \leq m \leq n$定义了满足a)和b)，$0 \leq m < n$定义了$C_m - C_{m+1}$中的点$x_m$。对于每个整数 $r \geq 1$，令 $C_{n,r}$ 为所有 $x \in C_n$ 中的集合，使得

由于$C_n$不可数，因此存在整数$r \geq 1$使得$C_{n,r}$不可数。我们将选择点$x_n$放入$C_{n,r}$并放入$C_{n+1} = C_{n,r} - \{ x_n \}$。显然，$C_{n+1} \subset C_n$和$x_n \in C_n - C_{n+1}$，集合$C_{n+1}$不可数，$\mathrm{pr}_k(C_{n+1})$对于$0 \leq k \leq n + 1$来说在$F_n$内。

我们有 $x_m \in C_m$，所以 $x_m \in C_n$ 其中 $m \geq n$。因此，$F_n$上序列$(x_m)_{m \geq 0}$的投影对于所有$n \geq 0$都是有界的；在其他字中，序列 $(x_m)_{m \geq 0}$ 有界于 E，从而建立引理 2。

Q.E.D.

当记号为引理 2 时，有界序列 $(x_m)_{m \geq 0}$ 在 E 中具有极限点 $y$。因此序列 $(\mathrm{pr}_0(x_m))_{m \geq 0}$ 在 E 中具有极限点 $\mathrm{pr}_0(y)$ $F_0$，但是$A_0$的这个与……矛盾构造。

在E的对偶E'上，强拓扑与紧收敛相同，因为E是Montel空间。现在应用 cor 就足够了。 1 道具。 6 个III、p. 18。

我们可以证明，如果 E 是无限维的（IV，p. 57，练习 1），可度量的 Montel 空间 E 的强对偶是不可度量的。