令E上的$\mathscr{T}$为拓扑，与E和F之间的对偶性兼容，因此更细大于$\sigma(E, F)$。如果 E 的凸子集对于 $\mathscr{T}$ 是闭的，则它是闭实半空间（II，p. 38，cor. 1）的交，因此它对于 $\sigma(E, F)$ 是闭的。这就证明了(i)。 断言 (ii) 在 cor 中得到证明。 III、p. 27 中的 3 个。

让$F_\sigma$表示向量空间F，赋予弱拓扑$\sigma(F, E)$。然后线性映射 $s_B$ 映射 E 到 $F_\sigma$ 的对偶 $(F_\sigma)'$（II，p. 43，道具 3）。设$\mathfrak{S}$是$F_\sigma$的有界子集族。滥用语言，$(F_\sigma)'$上$\mathfrak{S}$拓扑的$s_B$下的逆像被称为$\mathfrak{S}\text{-topology on } E$。它由半范数族定义

其中 A 穿过 $\mathfrak{S}$。特别是，当$\mathfrak{S}$是F的有限子集族时，$\mathfrak{S}$拓扑恰好是弱拓扑$\sigma(E, F)$。

认同 F 及其像在 $E^*$ 下$d_B$。令 $\mathfrak{S}_0$ 表示 F 的所有子集中的集合，对于 $\sigma(F, E)$ 是凸的、平衡的且紧致的。通过定义，$\tau(E, F)$是E上的$\mathfrak{S}_0$拓扑，因此更细比$\sigma(E, F)$。

F 的每个元素对于$\sigma(E, F)$来说都是连续的映射，因此对于$\tau(E, F)$来说。

相反，令 $f \in E^*$ 对于 $\tau(E, F)$ 是连续的。 E 中存在 0 的邻域 U（对于 $\tau(E, F)$），使得 U 上有 $|f| \leq 1$；我们可以假设存在集合$A \in \mathscr{S}_0$使得$U = A^\circ$。在其他字中，$f$属于到A的双极性$A^{\circ\circ}$，对于$E^*$和E之间的对偶性。但是F上的拓扑$\sigma(F, E)$是由$\sigma(E^*, E)$诱导的；因而，对于 $\sigma(E^*, E)$，A 是凸的、平衡的且紧致的，并且双极子（II、p. 44、第 1）的定理意味着等式 $A = A^{\circ\circ}$。因此我们有 $f \in F$，由此得出引理。

令$\mathscr{U}$为凸的集合，对于$\mathscr{T}$平衡邻域为0。令$\mathscr{S}$为$\mathscr{U}$的元素F中极点的集合。由科。 III、p. 17 中的 2 个，我们有 $\mathscr{S} \subset \mathscr{S}_0$，据我所知。 1 道具。 III、p. 19、$\mathscr{T}$的7与$\mathscr{S}'$拓扑相同，其中$\mathscr{S}'$是E的对偶$E'$中$\mathscr{U}$的集合极地的集合。但是$E' \subset F$，由假设，因而$\mathscr{S}'$的每个集合都包含在$\mathscr{S}$的集合中；和引理如下。

令E上的$\mathscr{T}$为拓扑，并兼容E和F之间的对偶性。则$\mathscr{T}$比$\tau(E, F)$粗引理2，显然$\mathscr{T}$比$\sigma(E, F)$粗更细。相反，对于拓扑 $\tau(E, F)$ (引理 1) 和拓扑 $\sigma(E, F)$ (II, p. 43，命题 3)，F 是 E 的对偶，因此对于$\tau(E, F)$ 和 $\sigma(E, F)$ 之间的每个拓扑也是如此。

(i) p 对于拓扑 $\tau(E, F)$ 是连续的； (ii) E 上的每个线性形式 f，使得 $|f| \leq p$ 来自 F 的元素。

(i) $\Rightarrow$ (ii) : 如果 p 对于 $\tau(E, F)$ 连续，则 E 上的每个线性形式 f 使得 $|f| \leq p$ 对于 $\tau(E, F)$ 连续，因此来自 F 的元素引理 1。

(ii) $\Rightarrow$ (i) ：令 $\mathscr{T}$ 为由半范数 p 定义的 E 上的拓扑。如果满足条件 (ii)，则 E 上的线性形式对于 $\mathscr{T}$ 属于到 F 是连续的。通过引理 2 $\mathscr{T}$ 比 $\tau(E, F)$ 更粗糙，因而 p 对于 $\tau(E, F)$ 是连续的。

a) E 是桶装的； b) E 是出生学的； c) E 是可计量的。

我们注首先E上的Mackey拓扑与初始拓扑相同当且仅当$E'$的每个凸子集对于$\sigma(E', E)$来说是紧致的，是等连续的。如果 E 被桶装，情况肯定是这样（III，p. 24，推论）。

假设E是天生的；令 V 为 E 中拓扑 $\tau(E, E')$ 的凸且平衡的邻域为 0。设 B 为 E 的子集，以初始拓扑为界。由于 B 以 Mackey 拓扑为界，V 吸收 B，并且由于 E 是出生学的，因此对于初始拓扑，V 是 0 的邻域。

在情况 c) 中，空间 E 是出生学的（III，p. 12，道具 2）。

(i) 如果 $E_1$ 和 $E_2$ 是 Hausdorff，则 $u$ 是单射当且仅当 $^t u$ 的像对于弱拓扑 $\sigma(E'_1 : E_1)$ 来说是密集于 $E'_1$ 的。

(ii) 要使 $^t u$ 成为单射，$u$ 的像在 $E_2$ 中稠密是必要且充分的。

$E_2$的向量子空间对于初始拓扑来说是稠密的，当且仅当它对于弱化的拓扑来说是稠密的（IV，p. 4，道具2）。然后，第 5 号提案是从 II、p. 47 得出的。 2.

这是道具的直接的推论。 2 个III、p. 15。

唯一需要证明的点是情况c)，此时$E_1$和$E_2$的拓扑不一定是Hausdorff。那么对于每个线性形式$f \in E'_1*$，$f \circ ^t u$在$E'_2$上就是线性形式；因而，对于拓扑$\sigma(E'_1*, E'_1)$和$\sigma(E'_2*, E'_2)$，存在线性映射$v : E'_1* \to E'_2*$，并且$d_{B_2} \circ u = v \circ d_{B_1}$是连续的，其中$d_{B_i}$是从$E_i$到$E'_i*$（$i = 1, 2$）的典范映射。因而，如果 $A$ 是 $E_1$ 的子集，使得 $d_{B_1}(A)$ 对于 $\sigma(E'_1*, E'_1)$ 是凸的、平衡的和紧致的，那么 $d_{B_2}(u(A)) = v(d_{B_1}(A))$ 对于 $\sigma(E'_2*, E'_2)$ 是凸的、平衡的和紧致的，因为拓扑 $\sigma(E'_1*, E'_1)$ 和 $\sigma(E'_2*, E'_2)$ 是 Hausdorff。

(i) 如果 $E_1$ 和 $E_2$ 被分配了它们的 Mackey 拓扑，映射 $u$ 是连续的。

(ii) 如果$E_1$是天生的或桶状的，则$u$对于$E_1$和$E_2$的初始拓扑是连续的。

(iii) 在阶中，$u$对于$E_1$和$E_2$的初始拓扑是连续的，$E_2'$的每个等连续的子集的$'u$下的像在$E_1'$中是等连续的充分必要。

假设意味着$'u$对于弱拓扑$\sigma(E_2', E_2)$和$\sigma(E_1', E_1)$是连续的（II，p. 46，推论），因此像在凸，平衡和紧的$'u$下子集对于$\sigma(E_2', E_2)$是凸，平衡和$\sigma(E_1', E_1)$ 是紧凑的，$\sigma(E_2', E_2)$ 和 $\sigma(E_1', E_1)$ 拓扑为 Hausdorff。因此，断言 (i) 由 GT，X, § 1, No. 4，道具得出。 3、b）。 断言 (ii) 是 (i) 的推论 ：因为，如果 $E_1$ 是天生的或桶装的，则其初始拓扑是 Mackey 拓扑，并且 $E_2$ 的 Mackey 拓扑比初始拓扑更细 $E_2$。最后，$E_i$的初始拓扑是$E_i'$的等连续子集的一致收敛（III，p. 19，第7条的相关1）。这就证明了(iii)。

a) $u$是连续的；

b) $u$对于弱化拓扑是连续的；

c) $u$下$E_1$内的单位球的像以$E_2$为界；

d) 对于初始拓扑趋向于0的$E_1$的点的每个序列$(x_n)$，序列$(u(x_n))$对于$E_2$的弱化拓扑有界。

由于 a) 和 b) 的 $E_1$ 是出生学的等价，因此可从命题得出。 7； a)和c)的值是直接的。 a) 和 d) 的等价由命题得出。 1 of IV、p. 1，以及来自道具。 1 个III、p. 11。

(ii) 令$E_1$和$E_2$是两个规范的空间和$u$，从$E_1$到$E_2$的连续线性映射。我们有

让$x \in E$。对于每个$x' \in E'$使得$\|x'\| \leq 1$，我们有

根据Hahn-Banach 定理（II，p. 23，cor.2），$E'$中存在元素$x'$，使得$\|x'\| \leq 1$和$\langle x, x' \rangle = \|x\|$。这就证明了(i)。

现在让我们证明(ii)。通过公式 (3) 和转置的定义，我们有

对于所有人$x \in E$。

令 B' 为 E 的对偶 $E'$ 的单位球，并为其分配了弱拓扑 $\sigma(E', E)$。那么 B' 是一个紧凑的可度量空间 (III, p. 19, cor. 2)；因此 B' 中存在可数稠密子集 D'。输入$D = D' \cap (E' - \{0\})$。设 $x \in E$； 映射 $x' \mapsto \langle x, x' \rangle$ 从 B' 到 K 是连续的，因此

公式 (5) 现在由 (3) 得出。

(ii) 设$\mathfrak{S}$为$E$的有界子集的集合，以及$E/M$中的子集$A \in \mathfrak{S}$的像的$\mathfrak{S}_1$集合。那么$\pi$是从$(E/M)'_{\mathfrak{S}_1}$到$M^\circ$的同构，其中$M^\circ$被分配为$E'_{\mathfrak{S}}$的拓扑。

(iii) 假设$E$是一个有范数的空间，那么$\pi$是从有范数的空间$(E/M)'$到$E'$的有范数子空间$M^\circ$的等距。

设$A$为$(E/M)'$和$B = {}^t p(A) \subset E'$的子集。放

对于所有$\xi \in E/M$。在阶中$A$等连续，从$E/M$到$\overline{\mathbf{R}}_+$的映射$q$是连续半范数是充分必要的。这意味着$q \circ p$是$E$的连续半范数（II，p. 27，第5条，（ii））。既然我们有 对于所有 $x \in E$，这又意味着 $B$ 在 $E'$ 中是等连续的，并且 (i) 如下。

令$A \in \mathfrak{S}$和$f$是$E/M$上的连续线性形式。对于每个$\lambda \in \mathbf{R}_+$，我们在$p(A)$上有$|f| \leq \lambda$当且仅当$|{}^t p(f)| \leq \lambda$在$A$上；因此(ii)。

最后我们证明(iii)。设$y'$在$(E/M)'$中。 $E/M$中的元素具有范数$< 1$当且仅当$E$中的范数$< 1$的元素$p$之下时像。因此

以及 ${}^t p$ 诱导从 $(E/M)'$ 到 $M^\circ$ 的等距。

(ii) 假设 $M$ 在 $E$ 中闭合。令$\mathfrak{S}$为有界子集的$E$由……组成的覆盖，并令$\mathfrak{S}_1$为$A$为形式$M \cap A$$M$子集集合 $\mathfrak{S}$。从 $E'_{\mathfrak{S}}/M^\circ$ 到 $M'_{\mathfrak{S}_1}$ 的双射线性映射 $i$ 是连续的。如果关系 $\subset$ 的 $\mathfrak{S}$ 是有向集合，并且由闭凸和 $\sigma(E, E')$ 的紧集组成，则它是同胚。

(iii) 如果假设$E$是标准化的，则$i$是从$E'/M^\circ$到$M'$的等距。

$E'$的等连续子集在${}^t i$下的像是$M'$的等连续子集（IV，p. 7，道具7）。相反，令 $A$ 为 $M'$ 的等连续子集。 $M$的拓扑由$E$上的连续半范数的限制到$M$的集合定义。因此，在$E$上存在连续半范数$p$，使得$|f(x)| \leq p(x)$对于所有$f \in A$和所有$x \in M$。令$B$为$E$上所有线性形式$g$的集合，使得$|g| \leq p$且其限制至$M$属于至$A$。 集合 $B$ 在 $E'$ 等连续；由 Hahn-Banach 定理 (II, p. 23, cor. 1)，我们有 ${}^t i(B) = A$，因此 (i) 如下。

我们现在证明(ii)。通过道具。 IV、p. 6、线性映射${}^t i$从$E'_{\mathfrak{S}}$到$M'_{\mathfrak{S}_1}$是连续的，定义除以经过商，从$E'_\mathscr{S}/M^\circ$到线性映射$\iota$是连续的$M'_{\mathscr{S}_1}$。令$\mathscr{T}$为$M'$上的拓扑，通过将$E'_\mathscr{S}/M^\circ$的$\iota$转移得到；这是更细比$\mathscr{S}_1$ 拓扑。

现在假设对于$\subset$来说，$\mathscr{S}$是有向集合，并且对于$\sigma(E, E')$来说，它由闭、凸、平衡和紧集组成。为了证明$\iota$是同胚，*即*$\mathscr{T}$比$M'$上的$\mathscr{S}_1$拓扑更粗糙，只需证明$\mathscr{T}$与$M'$和$M$之间的对偶性兼容，并且每个等连续$M$中的集合（被视为$M$与$\mathscr{T}$的对偶）包含在集合属于与$\mathscr{S}_1$的拟似中。由于$\mathscr{T}$比$\mathscr{S}_1$拓扑是更细，并且$\mathscr{S}_1$是$M$的覆盖，因此对于每个$y \in M$，$M'$上的线性形式$y' \mapsto \langle y, y' \rangle$对于$\mathscr{T}$是连续的。设$f$为$M'$上的线性形式，对于$\mathscr{T}$连续；那么$f \circ \iota$是$E'_\mathscr{S}$上的连续线性形式。 $E'$上的$\mathscr{S}$拓扑比Mackey拓扑$\tau(E', E)$更粗糙；因为，映射$d_B : E \to {E'}^*$对于拓扑$\sigma(E, E')$和$\sigma({E'}^*, E')$是连续的，并且由于后者是Hausdorff，因此集合的$d_B$下的像对于$\sigma(E, E')$是紧致的对于$\sigma({E'}^*, E')$是紧致的。通过IV、p. 3的引理 1，存在$x_0 \in E$，使得$f(\iota(x')) = \langle x_0, x' \rangle$对于所有$x' \in E'$。特别是，对于所有$x' \in M^\circ$，$\langle x_0, x' \rangle = 0$，并且由于$M$在$E$关闭，我们有$x_0 \in M$（II，p. 45，cor.2）；最后，为所有 $y' \in M'$ 提供 $f(y') = \langle x_0, y' \rangle$。这证明$\mathscr{T}$ 与 $M$ 和 $M'$之间的对偶性兼容。

现在令$A$为$M$的子集，对于$M'$上的拓扑$\mathscr{T}$等连续。根据$\mathscr{T}$的定义，并且考虑到$\mathscr{S}$有向假设，这意味着存在集合$B \in \mathscr{S}$包含0并且使得数$|\langle y, x' \rangle|$的上界$\lambda$为$y \in A$ 和 $x' \in B^\circ$ 是有限的（III、p. 19，第 7 条）。由于$B$在$E$闭合，双极的定理（II，p. 44，第1）表明我们有$A \subset \lambda(B \cap M)$；这样就完成了 (ii) 的证明。

现在我们要证明(iii)。让$y' \in M'$。我们将证明公式

通过道具。 8、(ii) IV、p. 7，我们有$\|\iota\| = \|i\|$，所以$\|\iota\| \leq 1$，以及

根据Hahn-Banach 定理（II，p. 23，cor.3），$E$上存在线性形式$x'_0$，其中扩展$y'$与范数相同；因此，由于$\iota(x'_0) = y'$，我们得到与(7)相反的不等式。

(ii) E/M 上的 Mackey 拓扑是 E 上的商； M 上的 Mackey 拓扑更细比 τ(E, E') 引起的拓扑更细。

断言 (i) 由命题得出。 7 个II、p. 48。

对于弱拓扑，典范嵌入$i : M \to E$是连续的，因此对于麦基拓扑$\tau(M, M')$和$\tau(E, E')$（IV，p. 7，道具7）。类似地，规范的投影 $p : E \to E/M$ 对于 Mackey 拓扑是连续的。我们立即看到，从$\tau(E, E')$获得的$E/M$上的商拓扑与$E/M$和$(E/M)'$之间的对偶性兼容，因此比Mackey的定理在$E/M$上的Mackey拓扑更粗糙（IV，p. 2，第 1）。这就证明了(ii)。

(ii) 对于每个$i \in I$，让$\mathfrak{J}_i$是空间$E_i$上的适应出生学，赋予弱拓扑$\sigma(E_i, F_i)$，没有一个等于$\{ \varnothing \}$。 Let $\mathfrak{J}$ be the family of subsets $A$ of $E = \prod_{i \in I} E_i$ such that $\operatorname{pr}_i(A) \in \mathfrak{J}_i$ for all $i \in I$. 那么$F$上的$\mathfrak{J}$拓扑就是$F_i$上$\mathfrak{J}_i$拓扑的直和。

令 $\mathscr{T}$ 为 $\mathfrak{S}_i$ 拓扑中的乘积。 集合 / 形式

其中$J \subset I$是有限的，$A_i \in \mathfrak{S}_i$对于所有$i \in J$，形式对于$\mathscr{T}$来说邻域的基本系统为0。我们有$A = (\bigcup_{i \in J} A_i)^\circ$，因此$\mathscr{T}$与$\mathfrak{S}$拓扑相同。这就证明了(i)。

我们将$\mathfrak{J}$拓扑分配给$F$，将$\mathfrak{J}_i$拓扑分配给每个$F_i$。对于$E$的每一个子集$A$，我们都有$F_i \cap A^\circ = \operatorname{pr}_i(A)^\circ$，因此从$F_i$到$F$的单射是连续的。设$q$为$F$的半范数；我们假设$q$到$F_i$的限制$q_i$对于所有$i \in I$都是连续的。然后我们可以找到非空子集 $A_i \in \mathfrak{J}_i$ 这样我们有

把$A = \prod_{i \in I} A_i$；然后$A \in \mathfrak{J}$。对于$F$中的$y = (y_i)_{i \in I}$，我们有

其中最后一个等式是从（8）得出的，因为族$(y_i)_{i \in I}$有有限支撑并且$A_i$非空并且可以假设是平衡的（GT，IV, § 5, No. 7，cor.2到prop.12）。这个不等式证明$q$在$F$上连续，因此(ii)。