(i) 令 U 为 E 的子集，它吸收 E 的每个有界子集，并且是 E 中 0 的凸、平衡、闭邻域的序列的交。则 U 是 E 中 0 的邻域。

(ii) 对于每个局部凸空间 F，$\mathscr{L}_b(E; F)$ 的每个有界子集（即等连续子集可数族的并）是等连续的。

(iii) 在 E 的强对偶$E'_b$中，等连续子集的可数族的每个有界子集（即并）是等连续的。

显然，(iii) 是(ii) 的特例。

(i) $\Rightarrow$ (ii) ：令 H 为 $\mathscr{L}_b(E; F)$ 的有界子集，并令 $(H_n)$ 为 $\mathscr{L}_b(E; F)$ 的等连续子集的序列，使得 $H = \bigcup H_n$。令 V 为 F 中 0 的凸、平衡且封闭的邻域。对于每个 $n$，集合 $W_n = \bigcap_{u \in H_n} u^{-1}(V)$ 是 E 中 0 的凸、平衡且封闭的邻域，因为 $H_n$ 是等连续的。 集合$W = \bigcap_{u \in H} u^{-1}(V)$吸收E的每个有界子集，因为H有界于$\mathscr{L}_b(E; F)$（III，p. 22），并且我们有$W = \bigcap_n W_n$。如果E满足(i)，则集合W是E中0的邻域，因此H是等连续的。

(iii) $\Rightarrow$ (i) ：令 $(U_n)$ 为 E 中 0 的凸、平衡且闭邻域的序列。我们假设集合 $U = \bigcap_n U_n$ 吸收 E 的每个有界子集，因此其极$U^\circ$ 有界$E'_b$。那么集合$B = \bigcup_n U_n^\circ$包含在$U^\circ$中，因此有界于$E'_b$。若E满足(iii)，集合B在$E'$等连续；因而，E 中 B 的极$B^\circ = \bigcap_n (U_n^\circ)^\circ = \bigcap_n U_n = U$ 是 E 中 0 的邻域。

空间 E 是天生的 (III, p. 12, 命题 2)，因此它的强对偶是完备的 (III, p. 23, 命题 1)。

令$(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$为E中0的邻域的递减序列，使得E中0的每个邻域都是包含中的$V_n$之一。令 $A_n$ 为 F 中 $V_n$ 的极坐标。由于 E 是天生的，F 的每个有界子集都是等连续的（III，p. 22，命题 10），因此包含在 $A_n$ 之一中。在其他字中，空间F满足条件(DB)。

现在我们证明 F 是半桶状的。令$(U_n)_{n \in \mathbf{N}}$为F中0的凸、平衡、闭邻域的序列。我们假设集合$U = \bigcap_n U_n$吸收F的每个有界子集。我们将证明U是F中0的邻域。为此，我们将构造、整数 $n \geqslant 0$、实数 $\lambda_n > 0$ 上的归纳以及 F 中 0 的凸平衡邻域 $W_n$，其对于 $\sigma(F, E)$ 和满足是闭合的关系

(1)

(2)

假设已为 $0 \leq i < n$ 构建了数 $\lambda_i$ 和集合 $W_i$。通过假设，集合 U 吸收 F 的有界子集；此外，对于$0 \leq i < n$，$W_i$是F中0的邻域，因此吸收了F的有界子集。因此我们可以找到数$\lambda_n > 0$满足（1）。令 C 表示 $\bigcup_{0 \leq i \leq n} \lambda_i A_i$ 的闭凸平衡包络线，对于 $\sigma(F, E)$； 集合 C 是等连续的，因此对于 $\sigma(F, E)$ 是紧凑的（III，p. 17，cor.2）。由于 F 中 $U_n$ 是 0 的邻域，因此存在 E 的有界子集 B，使得 $B^\circ \subset \frac{1}{2} U_n$。把$W_n = C + B^\circ$。由于F中$B^\circ$是0的邻域，我们看到$W_n$是F中0的凸且平衡的邻域。在加法中，C是紧的，$B^\circ$对于$\sigma(F, E)$是封闭的；由科。 GT 1 号、III, § 4, No. 1、$W_n$ $\sigma(F, E)$ 关闭。最后，我们有$C \subset \frac{1}{2} U \subset \frac{1}{2} U_n$和$B^\circ \subset \frac{1}{2} U_n$，因而$W_n \subset U_n$，因为$U_n$是凸的。这样我们就成立了(2)。

先放$W = \bigcap_n W_n$，然​​后放$W \subset U$。根据（1）和（2），我们对$\mathbf{N}$中的所有$i$和$j$有$\lambda_i A_i \subset W_j$，因此对所有$i \in \mathbf{N}$有$\lambda_i A_i \subset W$。特别是，W具有吸收性，因此是$\sigma(F, E)$的桶。由IV、p. 4的注3，W为F中0的邻域。更不必说，U为F中0的邻域，F为半筒状。

以下推论扩展 Banach-Steinhaus 定理与 Fréchet 空间的对偶（*cf.* III，p. 25，cor.2）。

由于 F 是完备的，所以所有 $u_n$ 的集合（以简单收敛的拓扑为界），都以 $\mathscr{L}_b(F; G)$ 为界（III，p. 27，cor. 1）。由于空间 F 是半桶状的（命题 2），$\mathscr{L}_b(F; G)$ 的每个可数且有界的子集都通过命题等连续。 1 个IV、p. 21。因此$u_n$的集合是等连续的，推论由III、p. 18推论得出。

通过道具。 2（IV，p. 22），$E'_b$的有界子集存在序列$(A_n)$，使得$E'_b$的每个有界子集都包含在$A_n$之一中。令$(V_n)$为G中0的邻域的可数基数系统。令$H_{mn}$为从$E'_b$进入G的线性映射$u$的集合，使得$u(A_m) \subset V_n$。那么$(H_{mn})$就是$\mathscr{L}_b(E'_b ; G)$中0的邻域的基本系统，而后者空间则可度量化。

要证明$\mathscr{L}_b(E'_b ; G)$是完备的，只要证明这个空间中的每一个柯西序列$(u_n)$都是收敛的即可；由于 G 是完备的，因此存在线性映射 $u : E'_b \to G$，使得 $(u_n)$ 简单收敛于 u。根据IV、p. 23，推论，我们有$u \in \mathscr{L}_b(E'_b ; G)$。然后从 prop 得出。 GT 的 5，X, § 1, No. 5，$(u_n)$ 在$\mathscr{L}_b(E'_b ; G)$ 收敛于 u。

令$(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$为E中0的凸、平衡且封闭的邻域的递减序列，使得E中0的每个邻域都是包含的$V_n$之一。设$A_n$为$E'$中$V_n$的极坐标。那么$A_n$对于$\sigma(E', E)$来说是凸的、平衡的、紧致的；由 III，p. 8，推论空间 $E'_{A_n}$ 是 Banach 空间。我们要证明$E'_b$是空间$E'_{A_n}$的归纳法极限；在其他字中，吸收每个$A_n$的$E'$的每个凸且平衡的子集U是$E'_b$中0的邻域。对于每个$n \in \mathbf{N}$，选择实数$\lambda_n > 0$，使得$\lambda_n A_n \subset U$。令$B_n$为集合$\bigcup_{0 \leq i \leq n} \lambda_i A_i$的凸包络；输入$V = \bigcup_n B_n$，然后输入$V \subset U$。对于每个 $n \in \mathbf{N}$，集合 $B_n$ 对于 $\sigma(E', E)$ 都是凸的、平衡的和紧凑的（II，p. 14，道具 15）。

现在我们将证明$\frac{1}{2} V^{oo} \subset V$。设 $x \in E'_b - V$；对于每个$n \in \mathbf{N}$，我们有$x \notin B_n$，并且由于$B_n$对于$\sigma(E', E)$是闭合的，所以$B_n^\circ$中存在元素$y_n$，使得 \langle y_n, x \rangle = 1 (\text{II, p. 38, prop. 4}）。由于 E 是自反的，因而 E 的每个有界子集对于 $\sigma(E, E')$ 来说都是相对紧凑的（IV，p. 16，第 2 个）。到$B_n$的定义，我们有

因此序列 $(y_n)$ 是有界的。对于拓扑 $\sigma(E, E')$，令 $y$ 为 $(y_n)$ 的极限点。我们有$y \in V^\circ = \bigcap_n B_n^\circ$和$\langle y, x \rangle = 1$。因而$x \notin \frac{1}{2}V^{\circ\circ}$，所以我们有包含$\frac{1}{2}V^{\circ\circ} \subset V$和*更不必说*，$\frac{1}{2}V^{\circ\circ} \subset U$。

由于$E'_b$的每个有界子集都包含在集合$A_n$之一中，因此集合$V = \bigcup_n B_n$吸收$E'_b$的每个有界子集。因而，$V^\circ$有界于E，因而$\frac{1}{2}V^{\circ\circ}$是$E'_b$中0的邻域。 更不必说，U是$E'_b$中的邻域。

Banach 空间的归纳极限由定义产生。此外，Banach 空间是桶状的（III，p. 25，推论），并且桶状空间的每个感应极限都是桶状空间（III，p. 25，cor.3）。

a) $\mathfrak{N}$的拓扑$\mathscr{T}_\mathfrak{N}$收敛，其中$\mathfrak{N}$是E的子集族，序列的点的每个由……组成收敛到0； b) E 的紧子集上一致收敛的拓扑 $\mathscr{T}_c$； c) 拓扑$\mathscr{T}_{pc}$在E的预紧子集上一致收敛； d) 拓扑$\mathscr{T}_f$，这是最好的拓扑，在$E'$的每个等连续子集上诱导出与$\sigma(E', E)$相同的拓扑。

首先观察到，$E'$ 的 子集 A 对 $\mathscr{T}_f$ 是封闭的，当且仅当$A \cap H$ 对 $\sigma(E', E)$ 是封闭的，对于 $E'$ 的每个子集 H，它是等连续的并且对 $\sigma(E', E)$ 是封闭的。 弱拓扑 $\sigma(E', E)$ 和 $\mathscr{T}_{pc}$ 诱导在 $E'$ 的每个等连续子集上，拓扑相同（III、p. 17，第 5 条）。因而，每个拓扑$\mathscr{T}_\mathfrak{N}$、$\mathscr{T}_c$、$\mathscr{T}_{pc}$、$\mathscr{T}_f$ 都比其后面的拓扑更粗糙。因而，只要证明 $\mathscr{T}_\mathfrak{N}$ 比 $\mathscr{T}_f$ 更等于更细。此外，$E'$中的每个翻译都是$\mathscr{T}_f$的同胚。因而，只要证明，如果 F 是 $E'$ 的子集，且对 $\mathscr{T}_f$ 是闭集，且不为包含 0，则存在集合 $S \in \mathfrak{N}$，使得 $S^\circ \cap F = \varnothing$。

令 $(U_n)_{n \geq 0}$ 为 E 中 0 的邻域的递减序列，形成 0 的邻域的基数系统。 我们将通过 $n \geq 0$ 上的归纳构造，*有限* 集合 $X_n$，使得我们有

每整数 $n \geqslant 0$。令$m \geqslant 0$为整数，使得$X_n$已针对$0 \leqslant n < m$构建，并且对于$0 \leqslant n < m$满足(4)和(5)。对于每 $x \in U_m$，放入

公式 (5) 与$n = m - 1$ 意味着$\bigcap_{x \in U_m} F_x = \varnothing$。此外，集合$U_{m+1}^{\circ}$是等连续的，并且对于$\sigma(E', E)$是紧致的。鉴于$\mathscr{T}_f$的定义，集合$F_x$每一个对于$\sigma(E', E)$都是紧致的；因而，存在$U_m$的有限子集$X_m$使得$\bigcap_{x \in X_m} F_x = \varnothing$，*即*关系(5)满足$n = m$。

输入$S = \bigcup_{n \geqslant 0} X_n$。 $n \geqslant p$有$X_n \subset U_p$，因而$S$是序列的点的集合，在$E$收敛到0。从(5)我们推导出$S^{\circ} \cap U_{n+1}^{\circ} \cap F = \varnothing$，由于$E'$是集合$U_{n+1}^{\circ}$的序列的并，所以我们得到$S^{\circ} \cap F = \varnothing$。

这是由于拓扑$\mathscr{T}_{pc}$和$\mathscr{T}_{\mathfrak{H}}$是相同的这一事实得出的。 2 个III、p. 15。

由于$E$是完备的，$E'$上的拓扑$\mathscr{T}_c$相容的$E'$和$E$之间的对偶性（IV，p. 3，*例*）；因而，$E'$中的闭凸子集对于$\mathscr{T}_c$和$\sigma(E', E)$是相同的（IV，p. 1，道具1）。然后从拓扑$\mathscr{T}_c$和$\mathscr{T}_f$的身份得出推论。

回想一下（I，p. 13），$E'$中的超平面在$\sigma(E', E)$关闭，是$E'$上的线性形式中的核与$E$中的元素相关联。科。因而 2 给出 cor 的另一个证明（对于 Fréchet 空间）。 1 个III、p. 21。

令$(U_n)_{n \in \mathbf{N}}$（或$(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$）为E（或F）中0的邻域的基本系统。我们假设集合$U_n$是平衡的并且形式递减序列。由于 u 是连续的，因此对于每个 $n \in \mathbf{N}$，E 中存在有界集合 $B_n$，使得 $u(B_n^\circ) \subset V_n$。由于$B_n$有界，因此存在实数$\lambda_n > 0$使得$\lambda_n B_n \subset U_n$。把$B = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} \lambda_n B_n$。

我们将证明集合 B 在 E 中有界，在其他字中，对于每个整数 $m \geqslant 0$，存在实数 $\mu > 0$ 使得 $\mu B \subset U_m$。由于集合$B_n$有界，因此存在实数$\mu$使得$0 < \mu \leqslant 1$并且对于$0 \leqslant n \leqslant m$存在$\mu (\lambda_n B_n) \subset U_m$；如果$n > m$，我们还有$\lambda_n B_n \subset U_n \subset U_m$；因此 $\mu B \subset U_m$ 因为 $U_m$ 是平衡的。

设 U 为 B 在 $E'_b$ 中的极坐标。这是$E'_b$中0的邻域，我们有$\lambda_n B^\circ \subset B_n^\circ$，因此所有$n \in \mathbf{N}$都有$\lambda_n u(U) \subset V_n$。因而 $u(U)$ 有界于 F。

空间 G 同构于 Banach 空间的乘积子空间（II，p. 5，命题 3）。因而，在附加假设下证明定理就足够了，G是Banach空间。但$F_1$是桶装的，$F_2$天生的（IV，p. 24，推论），$\mathscr{L}_b(F_2 ; G)$是Fréchet空间（IV，p. 23，道具3）。让v表示从$F_1$到$\mathscr{L}_b(F_2 , G)$的线性映射，与u通过关系相关联

由于 $F_1$ 是桶状的且 u 单独连续，因而 v 是连续的（III，p. 31，道具 6）。

由于 v 是连续的，引理 1 意味着 $F_1$ 中存在 0 的邻域 $U_1$，其 v 下的像的边界为 $\mathscr{L}_b(F_2 ; G)$。在其他字中，对于$F_2$中的每个有界子集$B_2$，集合$u(U_1 \times B_2)$在Banach空间G中都有界。令$U_2$为所有$x_2 \in F_2$中的集合，使得$\|u(x_1, x_2)\| \leqslant 1$ 对于所有$x_1 \in U_1$。 集合 $U_2$ 然后吸收所有有界的子集；由于$F_2$是天生的，$U_2$是$F_2$中0的邻域，这证明了u是连续的。