(i) u 是连续的 ； (ii) u下G的单位球的*像有界于E*； (iii) 对于G的点的每个序列$(x_n)$趋于0，序列$(u(x_n))$在E中有界。

直接的 (i) 暗示 (ii) (III, p. 4, cor. 1) 并且 (ii) 暗示 (iii)。设 E 中 V 为 0 的邻域；如果G中$u^{-1}(V)$不是0的邻域，则存在$G - u^{-1}(V)$的点的序列$(y_n)$使得$p(y_n) \leq \frac{1}{n^2}$。因此，序列$x_n = n y_n$在G和$u(x_n) \notin nV$中趋于0，这意味着序列$(u(x_n))$无界。因此(iii)意味着(i)。

就对应而言，(i) 和 (i') 在半范数和凸、平衡、吸收子集 (II, p. 20) 之间是等价的，直接的。如果 p 是 E 上的半范数，且在每个 E_A 上连续，则 p 有界于 E 的有界子集；因此 (i) 意味着 (ii) (II, p. 27, 命题 5)。显然，(ii) 意味着(ii')。

现在让 (E_i, u_i)_{i \in I} 与 (ii') 中一样，并让 u 为从 E 到局部凸空间 F 的线性映射，使得 (u(x_n)) 在 F 中对于 E 的点趋向于 0 的每个序列 (x_n) 有界。 引理 1 of III, p. 11 线性映射 u \circ u_i : E_i \to F 对于I 中的所有 i \ 是连续的。因此，如果 E 的拓扑是 u_i 连续的最精细局部凸拓扑，则 u 是连续的（II，p. 27，道具 5）。这证明(ii')蕴涵(iii)。

It is immediate that (iii) implies (iii') (III, p. 3, cor.) Finally, if p is a semi-norm on E, which is bounded on bounded subsets of E, the condition (iii') asserts that the identity map is continuous from E into the semi-normed space (E, p); in other words, p is continuous. 这证明(iii')蕴涵(i)。

事实上，空间 E_A，其中 A 是闭集且有界的，即 Banach 空间（III，p. 8，推论）。

假设 E 是可度量的，并且 p 是 E 上的半范数，其边界在 E 的有界子集上，但不连续。令 A 为所有 $x \in E$ 中的集合，使得 $p(x) < 1$。令$(V_n)_{n \geq 1}$为递减序列，在E中形成0的邻域的基本系统。由于p不连续，因此A不是0的邻域；因此，对于每个$n > 0$，我们有$A \not\supseteq n^{-1} V_n$，并且在$V_n$中存在点$x_n$，这样$n^{-1} x_n \notin A$，即$p(x_n) \geq n$。 序列 $(x_n)$ 趋于 0，因此有界（III，p. 3，推论）；这个与……矛盾假设位于第 12 页。