(MS) 对于每个半范数 $p \in S(E)$（在 u 的核上为空），S(F) 中存在 q 使得 $p \leq q \circ u$。

设 N 为 u 的核，M 像；我们引入u的规范分解，让

E 上的连续半范数在 N 上为零，是半范数 $p_1 \circ \pi$，其中 $p_1$ 范围超过 S(E/N)；类似地，S(M) 由半范数 $q_1$ 组成，其中存在 $q \in S(F)$ 和 $q_1 \leq q/F$。最后，u 是严格的态射当且仅当双射连续线性映射 $\tilde{u}$ 具有连续逆元；这也意味着 S(E/N) 中的每个半范数都是形式 $q_1 \circ \tilde{u}$，其中 S(M) 中的$q_1$。命题 1 紧随这些注而来。

a) $^t u$ 的像在 $E'$ 中关闭，对于 $\sigma(E', E)$。

b) $^t u$ 的像中包含的$E'$ 的每个等连续子集是$F'$ 的等连续子集的$^t u$ 下的像。

如果是这样，我们有 $\operatorname{Ker} ^t u = (\operatorname{Im} u)^{\circ}$ 和 $\operatorname{Im} ^t u = (\operatorname{Ker} u)^{\circ}$，并且存在从 Coker $^t u$ 到 Ker u 的对偶以及从 Ker $^t u$ 到 Coker u 的对偶的典范同构。

设 N 为 u 的核和 I 像。由科。 $^t u$的II、p. 47、核的2是I的正交，$\sigma(E', E)$的$^t u$的像的闭包是N的正交$N^{\circ}$。a)的合取和b) 则等价于以下条件：

b') $N^{\circ}$ 中包含的$E'$ 的每个等连续子集是$F'$ 的等连续子集的$^t u$ 下的像。

由于 $N^{\circ}$ 可以用 E/N 的对偶来识别，道具。 9、IV、p. 8的(i)，表明$N^{\circ}$中包含的$E'$的等连续子集是集合，它们包含在形式$H_p$的集合中，其中p是E上的连续半范数，消失在 N 上。 条件 b') 然后说，对于 N 上为空的每个半范数 $p \in S(E)$，存在 $q \in S(F)$ 使得 $H_p \subset ^t u(H_q)$。根据 Hahn-Banach 定理（II、p. 23、cor.1 和 2、p. 63、th.1 和 cor.1），我们有 $^t u(H_q) = H_{q \circ u}$，并且关系 $H_p \subset H_{p'}$ 和 $p \leq p'$ 对于所有半范数都是等价的S(E) 中的 $p$ 和 $p'$。因而，关系$H_p \subset ^t u(H_q)$相当于关系$p \leq q \circ u$。通过道具。 1, 性质 b') 意味着 u 是严格的态射。

假设 u 是严格的态射。我们已经知道，$^t u$的核是I的正交，$^t u$的像是N的正交。$u$的余核是空间$F/I$，它的对偶可以被识别为$I^\circ = \mathrm{Ker}\ ^t u$。类似地，$N = \mathrm{Ker}\ u$的对偶可以用$E'/N^\circ$（IV，p. 8）来识别，*即*用$^t u$的余核来识别，因为$N^\circ$是$^t u$的像。

必要性来自于道具。 2.

相反，假设$^t u$的像对于$\sigma(E', E)$是封闭的，并引入$u$的规范分解，如prop的证明所示。 1. 由上述注，$\tilde{u}$的逆映射$\tilde{u}^{-1}$对于弱化拓扑是连续的。但是 F 的子空间 $M = u(E)$ 是可度量的，因此是出生学的（III，p. 12，道具 2）；因而 (IV, p. 7, 命题 7, (ii))，$\tilde{u}^{-1}$ 是连续的，因而 $u$ 是严格的态射。

a) $u$ 是严格的态射。 b) 对于弱化拓扑，$u$ 是严格的态射。 c) $u$ 的像在 F 中闭。 d) 对于弱拓扑，$^t u$ 是从$F'$ 到$E'$ 的严格态射。 e) $^t u$的像在$E'$关闭，对于弱拓扑$\sigma(E', E)$。 f) $^t u$的像在$E'$关闭，对于强拓扑$\beta(E', E)$。 g) $^t u$是从$F'_c$到$E'_c$的严格态射（赋予拓扑紧收敛的对偶）。

a)、b) 和 e) 的等价由命题得出。其前面的 IV、p. 28 和注中的 3 个。 a) 和 c) 正是对应的。 3 个I、p. 19。 IV、p. 28的注，也表明d)相当于$u$的像对于F的弱化的拓扑$\sigma(F, F')$是闭合的； c) 和 d) 的等价则由命题得出。 2 个IV、p. 4。

现在我们证明 e) 和 f) 的等价。只要证明 f) 蕴涵 e) 就足够了。假设$^t u$的像对于$E'$中的$\beta(E', E)$是闭合的。由于 Banach-Dieudonné 定理 (IV, p. 25, cor. 2)，足以证明对于 E 中 0 的每个凸平衡邻域 U，交 $B = ^t u(F') \cap U$ 对于 $\sigma(E', E)$ 是紧致的。 Fréchet 空间 E 的强对偶 $E'_b$ 是完备的（IV、p. 22，命题 2），因而 $E'_b$ 的闭子集 B 是完备的，因此赋范的空间 $E'_B$ 是完备的（III，p. 8，推论）。令$(V_n)$为递减序列，形成F中0的邻域的基本系统。然后$F'$是集合$C = V_n^\circ$的并，对于$\sigma(F', F)$来说是紧致的，因而$E'_B = \bigcup_n B_n$，与$B_n = E'_B \cap ^t u(C_n)$。由于 $E'_B$ 是贝尔空间，并且集合 $B_n$ 都是凸平衡且闭的，因此存在实数 $r > 0$ 和整数 $n$，使得 $B \subset r.B_n$。那么我们就有$B = U^\circ \cap {}^t u(r.C_n)$；由于集合 $U^\circ$ 和 $r.C_n$ 是紧致的，并且 ${}^t u$ 对于弱拓扑是连续的，因而 $B$ 对于 $\sigma(E', E)$ 是紧致的。这样就完成了 e) 和 f) 的等价的证明。

最后 g) 的等价和前面的条件由 prop. 得出。 GT 18，X, § 2, No. 10 及以下引理。

麦基的那一天。 (IV, p. 2, th. 1) 以及在紧致收敛重合的 $E'$ (分别为 F) 拓扑和凸紧致收敛 (IV, p. 4) 上，我们可以将 E (分别为 F) 与对偶 $E'_c$ 等价（分别$F'_c$）。那么$u$是${}^t u$的转置，E（或F）的等连续子集是相对的紧集。然后从 prop 得出引理 1。 2 (IV, p. 27)，因为 $u(E)$ 在 F 中是闭的，当且仅当它对于弱化的拓扑 $\sigma(F, F')$ 是闭的（IV，p. 4，命题 2）。

蕴涵 (i) $\Rightarrow$ (ii) 紧随 th 的条件 a)、d) 和 e) 的等价而来。 1 和从IV，p. 6，道具。 5. 显然，(ii) 意味着(iii)。最后，我们证明 (iii) 蕴含 (i)：如果 ${}^t u$ 是满射，$u$ 是 a) 和 e) 中的等价的严格态射。 1 ; $u$ 是单射的，由命题得出。 5 个IV、p. 6。

(i) 和 (ii) 的等价由 Banach th 得出。 （I，p. 17，第 1）。

鉴于a)和c)中的等价。 1、条件(ii)表示$u$是严格的态射，并且它的像在F中对于$\sigma(F, F')$来说是稠密的。 (ii)和(iii)的等价由a)和d)的等价推出。 1 和来自道具。 5 个IV、p. 6。

如果$u : E \to F$是Fréchet 空间的严格态射，则转置${}^t u$不一定是从$F'_b$到$E'_b$的严格态射（IV，p. 62，执行。 3）。然而，我们得到以下部分结果：

(i) u 是满射的。

(ii) 对于每个半范数$p \in S(E)$，都存在$q \in S(F)$，这样对于每个线性形式$f \in F'$满足$|f \circ u| \leq p$，我们都有$|f| \leq q$。

(iii) 对于每个半范数$p \in S(E)$，存在$q \in S(F)$满足以下性质：如果线性形式$f \in F'$满足$|f \circ u| \leq p$，则$f$在点上为空，其中$q$为空，并且对于所有$y \in F$、$r \in S(F)$，存在$x \in E$和$r(u(x) - y) = 0$。

(iv) 对于每个半范数$p \in S(E)$，我们有

我们根据以下逻辑概形证明命题

!图表显示 (i)、(ii)、(iii) 和 (iv) 之间的逻辑关系

如果 $u$ 是满射，则它是严格的态射 (IV, p. 28, th. 1)，则对于每个半范数 $p \in S(E)$，都存在一个半范数 $q \in S(F)$，使得对于所有 $y \in F$ 满足 $q(y) \leq 1$，存在$x \in E$、满足、$p(x) \leq 1$、$u(x) = y$。我们立即推断出 (i) 意味着 (ii) 和 (iii)。显然，(ii) 暗示着(iv)。

为了证明(iii)蕴含(iv)，令$p$和$q$如(iii)中所示。令$y \in F$，由(iii)，在$E$中存在$x$，使得$q(u(x) - y) = 0$。如果$f \in F'$满足$|f \circ u| \leq p$，那么我们有$f(u(x) - y) = 0$，因此

且满足关系(1)。

最后我们证明(iv)蕴涵(i)。令$p \in S(E)$和$q$为$f \in F'$满足$|f \circ u| \leq p$的函数$|f|$的上包络线。由(iv)可知，$q$在$F$上是有限的，显然是$F$上的下半连续半范数；由于$F$是桶装的（III，p. 25，推论），我们有$q \in S(F)$。让$B_p$（或$B_q$）表示所有$x \in E$（或$y \in F$）中的集合，使得$p(x) \leq 1$（或$q(y) \leq 1$）。我们有$q \circ u \leq p$，所以还有$u(B_p) \subset B_q$。 $F'$中$u(B_p)$的极线由线性形式$f \in F'$组成，因此$|f \circ u| \leq p$，因此$|f| \leq q$；在其他字中，我们得到 $u(B_p)^{\circ} \subset B_q^{\circ}$，最后 $\overline{u(B_p)} = B_q$ 源自双极性的定理（II，p. 45，cor.3）。如果$U$是$E$中0的邻域，则存在$p \in S(E)$使得$B_p \subset U$，因此$F$中0的$\overline{u(U)}$包含邻域$B_q$。这意味着$u$是满射（I，p. 17，th.1）。

条件(ii)和(iii)实际上是道具条件(ii)和(iv)的重新表述。 4 巴拿赫空间。