由于每个翻译都是$E$的同态，因此只需证明$E$的向量子空间$M$命题就足够了，在这种情况下，命题已在I、p. 4中得到证明。

事实上，齐次超平面$H$的闭包只能是$H$或整个空间$E$，因为它是向量子空间包含$H$（命题1）。

当且仅当 $\complement H$ 包含一个内部点时，超平面 $H$ 在 $E$ 中“闭合”。

由集合$A$生成的向量子空间$M$，在拓扑向量空间$E$中，是$A$点线性组合集合 (A, II, § 1.7，道具 9)； $E$ 中 $M$ 的闭包是，根据命题。 1、最小的关闭向量子空间包含$A$；我们说这是*$A$生成的*封闭的向量子空间。

由于E上$K_s$的映射$\xi \mapsto \xi a$是双射且连续的（I，p. 1，def.1），因此足以证明它是双连续的。令$\alpha$为实数$> 0$，我们证明E中存在0的邻域V，这样如果$\xi a \in V$则$|\xi| < \alpha$。由于 K 不是离散的，因此存在元素 $\xi_0 \in K$ 使得 $0 < |\xi_0| < \alpha$；但是，由于 E 是 Hausdorff，因此存在 0 的邻域 V，使得 $\xi_0 a$ 不会属于到 V。我们可以假设 V 是平衡的（I，p. 7，命题 4）。但是如果$\xi a \in V$和$|\xi| \geq |\xi_0|$我们有$|\xi_0 \xi^{-1}| \leq 1$和$\xi_0 a = (\xi_0 \xi^{-1}) (\xi a) \in V$；由于最后一个叙述是假的，我们看到$\xi a \in V$意味着$|\xi| < |\xi_0| < \alpha$。这样就完成了证明。

在 D 中，集合 $\{0\}$ 是闭集，是 D 的交和闭集集合 H；因此 D 是豪斯多夫。但由于 E/H 也是 Hausdorff，所以 D 在 E/H 上的典范映射是线性的，根据命理也是同构。 2，由此得出结论（GT，III, § 6.2）。

条件显然就足够了（GT，I, § 2.1，第1）；我们表明这是必要的。我们可以假设 H 是闭齐次超平面，方程为 $f(x) = 0$。那么商空间 E/H 就是 K 上维数 1 的豪斯多夫拓扑向量空间。我们可以写成 $f = g \circ \phi$，其中 $\phi$ 是 E 在 E/H 上的典范映射，g 是 E/H 在 $K_s$ 上的线性映射；来自道具。 2、g是连续的，因此f也是如此。

I、p. 12 中的命题 2 意味着 th。 2 对于 $n = 1$ 成立；我们在$n$上争论归纳。设$H$为$e_1, e_2, ..., e_{n-1}$生成的$E$的向量子空间； 归纳假设是映射 $(\xi_i)_{1 \leq i \leq n-1} \mapsto \sum_{i=1}^{n-1} \xi_i e_i$ 是$H$ 上$K_s^{n-1}$ 的同构。 子空间 $H$，同构于完备空间的乘积，是完备的（GT，II, § 3.5，道具10）；因此它在$E$（GT，II, § 3.4，道具8）中*封闭*。设$D$是子空间$Ke_n$与$E$中的$H$互补； $E$是$H$和$D$的拓扑直和（I，p. 13，cor.2），因此映射

$E$ 上的 $K_s^{n-1} \times K_s$ 为同构。

当 $n > 1$ 假设时，$K$ 是*完备*，这对于定理 2 的有效性至关重要。事实上，令 $K$ 为非完备值除法环，并令 $\hat{K}$ 为它的完备性：对于每个 $a \neq 0$ $\hat{K}$ 集合 $K.a$ 在 $\hat{K}$ 中处处稠密，因为 $x \mapsto xa$ 是 $\hat{K}$ 自身的同胚。如果$K$上的拓扑向量空间$\hat{K}$的$a \notin K$、子空间$K + Ka$是$K$上的维数2，但它与$K_s^2$不同构，因为每个$K + Ka$中的维数1的子空间在$K + Ka$中是稠密的。

我们注，如果$M$和$N$是豪斯多夫拓扑向量空间$E$中*任意*两个闭的向量子空间，那么$M + N$不一定在$E$中闭，\*即使$E$ 是希尔伯特空间 \* (cf. IV, p. 64, 练习 13, d))。

在 $N$ 中，集合 $\{0\}$ 关闭，因为它是 $N$ 中的交，而集合 $M$ 在 $E$ 中关闭；因此 $N$ 是豪斯多夫。由于$E/M$也是豪斯多夫，$E/M$上$N$的典范映射是线性双射的，是双连续的（I，p. 14，cor.2），由此得出命题。

在证明第一个断言中，我们只需要考虑$E$*完整*的情况；因为$E$是其补全$\hat{E}$的处处稠密子空间，并且$\hat{E}$中$V$的闭包$\overline{V}$是紧致的并且是$\hat{E}$中0的邻域（GT，III, § 3.4，道具7）。

我们可以假设 $E$ 中有一个 0 的*紧凑* 邻域 $V$。令 $\alpha \in K$ 使得 $0 < |\alpha| < 1$；那么有有限多个点 $a_i \in V$ 使得

设$M$为$a_i$生成的$E$的有限维子空间； $E$（I、p. 14，cor.1）关闭。在豪斯多夫拓扑中，$V$的向量空间$E/M$典范像是0的紧邻域$W$，使得$W \subset \alpha W$；因此$\alpha^{-1} W \subset W$，并且在$n$上归纳，每正整数$n$$\alpha^{-n} W \subset W$。由于$W$具有吸水性，我们结论即$W = E/M$；因此 $E/M$ 是*紧凑*。因此，为了完成定理中第一个断言的证明，建立下面的引理就足够了。

由于 E 是完整的，我们可以假设 K 是完整的（I，p. 6）。如果 E $\neq \{0\}$ 则 E 包含一条在 E (I, p. 14, cor. 1) 中闭合的线，因此是紧凑的。这条线与 $K_s$ (I, p. 12, 命题 2) 同构的，因此 K 必须是紧致的。现在$\mathbf{R}$中K的映射$\xi \mapsto |\xi|$是连续的，因此K的像必须是有界的，另一方面存在$\gamma \in K$和$|\gamma| > 1$，并且集合$|\gamma^n| = |\gamma|^n, n \in \mathbf{N}$是无界的。这个矛盾表明$E = \{0\}$。

证明定理中的第二个断言，如果$E \neq \{0\}$则从定理E的第一个部分开始与$K_s^n$与$n > 0$同构的；现在 K 是完备的，因此 E 也是完备的，因此 E 是局部紧的。但 $K_s$ 与 E (I, p. 12, prop. 2) 中的一条线同构，该线在 E (I, p. 14, cor. 1) 中必然闭合；由此可见 K 是局部紧致的。