例 077W

— 1) 如果$E$在*离散*拓扑划分环$\mathbf{K}$上是左向量空间，则$E$上的*离散*拓扑与$E$的向量空间结构兼容（如果$\mathbf{K}$则情况并非如此）是非离散的，且 $E$ 不是单个点 0)。 2) 令$A$为拓扑环（GT，III, § 6.3），并令$\mathbf{K}$为$A$的子环，这也是环的除法，使得拓扑由$A$在$\mathbf{K}$上诱发与$\mathbf{K}$的除法环结构兼容；那么$A$的拓扑与$\mathbf{K}$上的左向量空间结构兼容。 3) 令$\mathbf{K}$为任意拓扑划分环，且$I$为任意集合。在乘积向量空间 $K_s^I(A, II, § 1.5)$ 上，乘积拓扑与向量空间结构（GT、III, § 6.4）相容的。或者我们可以说，$\mathbf{K}$中$I$的映射的空间$K_s^I$通过*逐点*或*简单收敛*拓扑是$\mathbf{K}$上的拓扑向量空间（TG，X， p. 4）。 4) 设$X$为拓扑空间；在 $X$ 上定义的有限实值 连续 函数的集合 $E = \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ 上，*紧收敛* 拓扑 (GT, X, § 1.3) 与 E 在 $\mathbf{R}$ 上的向量空间结构兼容。例如，令$u_0$为E的点，令H为X的紧子集，且$\varepsilon$为任意严格正数。实值函数 $u_0$ 有界于 H ；让$a = \sup_{t \in H} |u_0(t)|$；如果 $u$ 是 E 的任意点那么对于所有 $t \in H$

因此，如果$|\lambda - \lambda_0| \leq \varepsilon$和$|u(t) - u_0(t)| \leq \varepsilon$对于所有$t \in H$，那么对于$t \in H$， $|\lambda u(t) - \lambda_0 u_0(t)| \leq \varepsilon (\varepsilon + |\lambda_0| + a)$，表明满足公理（EVT）；类似地可以验证紧收敛拓扑与E的加法群结构兼容。

另一方面，如果 X 不是紧致的，则 一致收敛 拓扑（在 X 中）不一定与 E 的向量空间结构兼容；对于例，如果$X = \mathbf{R}$且$u_0$是$\mathbf{R}$中的无界连续函数，则E中$\mathbf{R}$的映射$\lambda \mapsto \lambda u_0$在E上的一致收敛拓扑中不是连续的。

5) 令 E 为拓扑划分环 K 上的有限维 $n$ 的向量空间；存在向量 K 空间中的同构 $u : K_s^n \to E$，而且，如果 $v$ 是 E 上$K_s^n$ 的第二个同构，那么我们可以写 $v = u \circ f$，其中 $f$ 是向量的自同构 K-空间$K_s^n$。考虑在 $K_s^n$ 上，*乘积* 拓扑与其向量空间结构 (例 3) 相容的；由于$K_s^n$的每个线性映射本身对于这个拓扑来说都是连续的，因此向量空间$K_s^n$的每个自同构都是*双连续*。因此，如果我们将$K_s^n$的乘积拓扑*转移*到E，通过E上的$K_s^n$中的任何同构，在E上获得的拓扑是*独立于所使用的特定同构；我们称其为 E 上的*规范拓扑* ；当 K 是带有估值的非离散完全除法环时，我们将对其进行不同的描述（I, § 1.3）。 K 上的拓扑向量空间中 E 的每个线性映射对于 E 上的规范拓扑都是*连续的。

与 def 中的方式相同。 1、可以定义K上的*右*拓扑向量空间，拓扑划分环；但 K 上的每个右向量空间都可以被视为与 K (A, II, § 1.1) 相对的除法环 $K^0$ 上的左向量空间，并且 K 的拓扑与除法环 $K^0$ 的结构兼容。因此我们通常只考虑左拓扑向量空间 ；当我们无条件地谈论“拓扑向量空间”时，可以理解我们指的是左向量空间。

如果 K' 是 K 的子划分环，并且 E 是 K 上的拓扑向量空间，则显然 E 的拓扑仍然与 E 相对于 K' 的向量空间结构兼容，这是通过将标量的域限制为 K' 获得的；我们说，通过此过程获得的 K' 上的拓扑向量空间 *是 K 上的拓扑向量空间 E 的基础。

在阶中，拓扑向量空间 E 为 Hausdorff，对于 E 的所有 $x \neq 0$，存在 0 的邻域而不是包含 $x$ (GT, III, § 1.2) 是充分必要的。

考虑拓扑，在向量空间 E 上的拓扑划分环 K，与 E 的加法群结构兼容。由于恒等式

公理（EVT）等价于以下三个公理中的系统。

(EVT$_1'$)* 对于所有 $x_0 \in E$，*映射* $\lambda \mapsto \lambda x_0$ 在 $\lambda = 0$ 处连续。

(EVT$_2'$)* 对于所有 $\lambda_0 \in K$，*映射* $x \mapsto \lambda_0 x$ 在 $x = 0$ 处连续。

(EVT$_3'$)* 映射 $(\lambda, x) \mapsto \lambda x$ 在 $(0, 0)$ 连续。

特别是：

引用了 4

引用了 III § 6. 。 Borel 的图表定理, II § 1. 。半规范, § 1. 。拓扑向量空间, III § 1. 。拓扑中的出生学向量空间

例 077Z

令I为指标的任意一个集合；已知（GT，X, § 3.2）范数$\|x\|$可以在K，$\mathscr{B}(I; K)$（也写为$\mathscr{B}_K(I)$或$\ell_K^\infty(I)$）中的I有界映射$x = (\xi_i)$的集合上定义， $\|x\| = \sup_{i \in I} |\xi_i|$。当I是拓扑空间时，K中I的有界连续映射的集合是空间$\mathscr{B}(I; K)$的闭子空间（GT，X, § 3.1，cor.2）。 $\mathscr{B}(I; K)$的另一个子空间是绝对可和族$x = (\xi_i)$的集合$\ell_K^1(I)$（GT，X, § 3.6）；我们可以对这个子空间另一个范数$\|x\|_1 = \sum_{i \in I} |\xi_i|$定义，一般来说不等于范数$\|x\| = \sup_{i \in I} |\xi_i|$（I，p. 23，练习6）；当将 $\ell_K^1(I)$ 视为规范的空间时，如果不指定其范数，则它始终是范数 $\|x\|$。我们写 $\mathscr{B}(I)$ 和 $\ell^1(I)$ 来代替 $\mathscr{B}(I; \mathbf{R})$ 和 $\ell_R^1(I)$。

例 0784

如果 K 是非离散值除法环，则空间 $\mathscr{B}(I ; K)$ (I, p. 4, 例) 是完整的 (GT, X, § 3.1, cor. 1)。对于空间 $\ell_K^1(I)$ (I, p. 4, 例) 和范数 $\|x\|_1 = \sum_{i \in I} |\xi_i|$ 也是如此：对于，如果 $x_n$ 是这个空间和 $x_n = (\xi_{m_i})_{i \in I}$ 中的柯西序列，那么对于所有$i \in I$

因此，对于每个$i \in I$，序列$(\xi_{m_i})_{n \geq 1}$收敛到K中的极限$\xi_i$。此外，对于I的每个有限子集J

紧接着，存在一个常数 $a > 0$，与 J、m、n 无关，使得 $\sum_{i \in J} |\xi_{m_i} - \xi_{n_i}| \leq a$。令m趋于$+ \infty$，由$\sum_{i \in I} |\xi_i| \leq a + \|x_n\|_1$推导出$\sum_{i \in J} |\xi_i - \xi_{m_i}| \leq \varepsilon$，即$z = (\xi_i)_{i \in I}$属于到$\ell_K^1(I)$；此外，对于所有$\varepsilon > 0$，都存在$n_0$，因此对于$n \geq n_0$和I的每个有限集合 J，我们有$\sum_{i \in J} |\xi_i - \xi_{m_i}| \leq \varepsilon$；相对于I的有限子集有向集合，经过到极限，我们看到$\|z - x_n\|_1 \leq \varepsilon$对于$n \geq n_0$，这表明$z$是序列$(x_n)$的极限标准空间$\ell_K^1(I)$。

令$K$为豪斯多夫拓扑除法环，$E$为$K$上的拓扑向量空间，并假设完整的环$\hat{K}$是*除法环*（当$K$是值除法时就是这样环, GT, IX, § 3.3) 那么$E$的Hausdorff补全$\hat{E}$携带$\hat{K}$上的*完全拓扑向量空间*的结构 (GT, III, § 6.5);我们说$\hat{E}$和结构是拓扑向量空间$E$的*豪斯多夫完成*，或者当$E$是*豪斯多夫*时，$E$的*完备的*。

引用了 1

引用了 III § 6. 。 Borel 的图表定理

例 078K

— 令 $\mathscr{D}'(\mathbf{R})$ 为 $\mathbf{R}$ 上的分布的空间；对于$p$数使得$1 \leq p \leq +\infty$，令$j : L^p(\mathbf{R}) \to \mathscr{D}'(\mathbf{R})$为典范嵌入，它是连续的（当$L^p(\mathbf{R})$携带其范数空间拓扑和$\mathscr{D}'(\mathbf{R})$强拓扑）。对于每个分布$f \in \mathscr{D}'(\mathbf{R})$，用$D(f)$表示$f$的导数；回想一下，$f \mapsto D(f)$是$\mathscr{D}'(\mathbf{R})$的连续自同态。然后令 E 为 $L^p(\mathbf{R})$ 中的向量子空间，其中 $f \in L^p(\mathbf{R})$ 为 $D(f) \in L^p(\mathbf{R})$，并赋予 E 最粗糙的拓扑，使得典范嵌入 $i : E \to L^p(\mathbf{R})$ 和映射 $D : E \to L^p(\mathbf{R})$ 连续（$L^p(\mathbf{R})$ 带有其规范的空间拓扑）。对于这个拓扑，空间 E 是*完整的*。因为，$F = L^p(\mathbf{R}) \times L^p(\mathbf{R})$中的E的像通过映射$\phi : f \mapsto (f, D(f))$是*封闭的*，因为它是$\mathscr{D}'(\mathbf{R}) \times \mathscr{D}'(\mathbf{R})$中的$\mathscr{D}'(\mathbf{R})$的像G的$L^p(\mathbf{R}) \times L^p(\mathbf{R})$上的迹，通过映射

现在 G 是 $\phi_0$ 的图，因此在 $\mathscr{D}'(\mathbf{R}) \times \mathscr{D}'(\mathbf{R})$ 中闭合（GT，I, § 8.1，第 2 项的相应 2），并且由于 $\phi(E)$ 是 G 的逆像通过 $i \times i$ 的连续，我们看到 $\phi(E)$ 在 F 中闭合。 \