令 E_i 为 Banach 空间的族，并且 (u_i) 为连续线性映射 u_i 的族：E_i → E，使得 E 的拓扑是 u_i 连续的最佳局部凸拓扑。足以证明组合的映射 u ∘ u_i 是连续的，或者事实上（GT，IX, § 2, No. 6，命题 10）u ∘ u_i 的限制到 E_i 满足的每个闭子空间 G 可数性第一公理是连续的。这个限制的图是 u 在连续映射 u_i × Id_F : G × F → E × F 下的图的逆像，因此是 G × F 中的一个 Borel 集合。 在加法中，G × F 是一个 Souslin 空间并且每个 Borel苏斯林空间的子集是苏斯林空间（GT，IX, § 6, No. 3，道具 10）。 Th。然后从 th 得出 1。 4、GT，IX, § 6, No. 8。

令 P_n 为 u_n 的核；那么 u_n 定义从商空间 E_n/P_n 到 u_n(E_n) 的双射连续映射。由于 E_n/P_n 是 Fréchet 空间满足可数性第一公理 (GT, IX, § 3, No. 1)，因此波兰语空间 (GT, IX, § 6, No. 1, def. 1)，u_n(E_n) 是 E (GT, IX, § 6, No. 4) 的 Lusin 子空间，道具 11）。因而，根据 GT，IX, § 6, No. 7，cor。的。 3、空间 E，常规（GT，III, § 3, No. 1）是 Lusin 空间。

空间 E 是天生的 (III, p. 12)，因此空间 $\mathscr{L}_c(E; F)$ 是完整的 (III, p. 23, 命题 12)。 线性映射$j : f \mapsto (f|E_n)_{n \in \mathbf{N}}$是单射从$\mathscr{L}_c(E; F)$变为乘积空间$\prod_{n \in \mathbf{N}} \mathscr{L}_c(E_n; F)$；根据E的紧致子集和$\mathfrak{S}$拓扑的定义上的假设，$j$是从$\mathscr{L}_c(E; F)$到其像的同构（赋予由乘积诱导的拓扑） 拓扑);此外，由于$\mathscr{L}_c(E; F)$是完备的，所以这个像是$\prod_{n \in \mathbf{N}} \mathscr{L}_c(E_n; F)$的闭子空间（GT，II, § 3, No. 4，道具8）。因而，通过GT，IX, § 6, No. 4，足以证明空间$\mathscr{L}_c(E; F)$中的每一个都是Lusin空间。对于证明的其余部分，我们假设 E 是 Fréchet 空间满足可数性第一公理。

Since F is a Fréchet space satisfying the first axiom of countability, it is isomorphic to a closed subspace of a countable product of Banach spaces $F_n$, each of which is a quotient of F (II, p. 5), hence satisfies the first axiom of countability. 线性映射$j' : f \mapsto (\mathrm{pr}_n \circ f)_{n \in \mathbf{N}}$是从$\mathscr{L}_c(E; F)$到乘积空间$\prod_{n \in \mathbf{N}} \mathscr{L}_c(E; F_n)$的单射，并且通过使用$\mathfrak{S}$拓扑的定义和乘积中的开放集合， $j'$是从$\mathscr{L}_c(E; F)$到像的同构；而且，由于$\mathscr{L}_c(E; F)$是完备的，所以这个像是$\prod_{n \in \mathbf{N}} \mathscr{L}_c(E; F)$的闭子空间。 因而，只要证明空间 $\mathscr{L}_c(E; F_n)$ 都是 Lusin 空间 (GT, IX, § 6, No. 4) 就足够了，因而，我们可以假设 F 是 Banach 空间满足可数性第一公理。

空间 $\mathscr{L}_c(E; F)$ 是并等连续且封闭的子集可数族（III、p. 19，cor. 1 和 GT、X, § 2, No. 3、道具 6）。但是 $\mathscr{L}_c(E; F)$ 的每个等连续子集 H 都是可度量的，并且满足可数性第一公理（III，p. 18，第 6 条和 GT，X, § 2, No. 4，第 1 条）；如果 H 是闭集，那么它是由 $\mathscr{L}_c(E; F)$ 的制服结构引发的完整空间，因为后者是完整的 在其他字中，H 是波兰语空间，并且 更不必说 是 Lusin 空间；因而，常规的空间 $\mathscr{L}_c(E; F)$ 是 Lusin 空间（GT，IX, § 6, No. 7，第 3 个的对应）。

\* 例 2. — 令 U 为 $\mathbf{R}^n$ 的开子集。该推论特别适用于 Fréchet 空间 $E = \mathscr{C}_c^\infty(U)$；那么它的对偶$\mathscr{C}_c^{-\infty}(U)$（在U上具有紧凑支持的发行版的空间）就是Lusin空间。

空间 $\mathscr{C}_c^\infty(U)$ 是 Fréchet 空间 $\mathscr{C}_{K_n}^\infty(U)$ 满足序列的严格归纳极限可数性第一公理 (III, p. 9)。我们可以证明每个空间$\mathscr{C}_{K_n}^\infty(U)$都是Montel空间；在加法中，$\mathscr{C}_c^\infty(U)$的每个有界子集都包含在空间$\mathscr{C}_{K_n}^\infty(U)$之一（III，p. 5，道具6）。然后我们可以应用 th 的推论。 2. 那么$\mathscr{C}_c^\infty(U)$的对偶$\mathscr{C}_c^{-\infty}(U)$（U上的分布空间）是强拓扑的Lusin空间。

类似地，我们证明对于$\mathbf{C}^n$的每个开子集U，以及$\mathbf{C}^n$的每个紧子集K，$\mathscr{H}(U)$的强对偶和$\mathscr{H}(K)$的强对偶是Lusin空间。 \*

首先假设F是基域。对于E的每个紧凑子集X和X上的每个度量$\mu$，$u$到X的限制是$\mu$可测（INT，IV）。假设 $u$ 不连续。然后我们可以在E中找到点$(x_n)$的序列，这样对于每个整数$n$都有$\sum_n \| x_n \| < \infty$和$|u(x_n)| \geq n$。考虑从立方体 $C = [0, 1]^{\mathbf{N}}$ 到 E 中的映射 $g : (t_n) \mapsto \sum_n t_n x_n$；显然$g$是连续的。因而，$f = u \circ g$对于C（INT，V）上的每个度量都是可测量的；特别是测量$\mu$，它是勒贝格测量C的因子的乘积。因而，存在C的紧子集D，使得$\mu(D) > \frac{1}{2}$并且$f$的限制到D是连续的，因此也是有界的。令 M 为 D 上 $|f|$ 的上界，并令 $p \in \mathbf{N}$ 使得 $p \geq 4M$。令$s = (s_n)$和$t = (t_n)$是D的两个点，使得$s_n = t_n$对于所有$n \neq p$。然后

从$|f(s) - f(t)| \leq 2M$和$|u(x_p)| \geq p \leq 4M$开始，我们得到

Lebesgue-Fubini 定理（INT，V，第 2 版，§ 8, No. 3，第 7 条第 2 条）意味着 $\mu(D) \leq \frac{1}{2}$；这就产生了矛盾。因此$u$是连续的。

在一般情况下，根据前面的论证，对于每个 $v \in F'$，线性形式 $v \circ u$ 都是连续的。令$(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$为E趋于0的点的序列；如果 F 被赋值为拓扑 $\sigma(F, F')$，则 F 中序列 $(u(x_n))_{n \in \mathbf{N}}$ 趋于 0；因此，这个序列以$\sigma(F, F')$为界，因此它以F（III，p. 27，cor.3）为界。由于 E 是出生学的（III，p. 12，命题 2）； 线性映射 $u : E \to F$ 是连续的。 \*

$^1$这个截面的结果取决于积分书。

习题