首先，(i) 意味着 (ii)，因为令 u 为严格满射态射，N 为 u 的核。那么 F 上的 E/N 的 u 诱导同构。但 E 是可度量且完备的，因此 E/N 是完备的（GT，IX, § 3.1，命题 4），因此 F 是完备的。

接下来的（ii）意味着（iii）。设 F 是完备的，u 是满射的。 u 的像恰好是 F，因此从 Baire 的定理 (GT, IX, § 5.3) 来看，F 并不微薄。

下面的引理表明(iii)蕴涵(iv)。

令 W 为 E 中 0 的平衡邻域，使得 W + W ⊂ V（I, § 1.5，道具 4）。令 α 为 K 的元素，使得 |α| > 1；则 E 是集合 $\alpha^n W$ 的并，其中 n 在 $\mathbf{N}$ 中变化；事实上，对于所有 x ∈ E，存在 β ∈ K 使得 x ∈ βW (I, p. 7, 命题 4) 并且存在整数 n ≥ 0 使得 |β| < |α|^n，则 x ∈ $\alpha^n W$ 因为 W 是平衡的。因此，u(E) 是集合 $u(\alpha^n W) = \alpha^n u(W)$ 的序列的并，并且由于 u(E) 在 F 中并不微薄，因此集合 $\alpha^n \overline{u(W)}$ 中的至少一个拥有内部点 (GT, IX, § 5.3, def. 2)，因此$\overline{u(W)}$ 有一个内部点。

令$y_0$为$\overline{u(W)}$的内部点；因为$-u(W) = u(W)$，因此$-\overline{u(W)} = \overline{u(W)}$，因此$0 = y_0 + (-y_0)$是$\overline{u(W)} + \overline{u(W)}$的内部点。由于向量加法是$F$中$F \times F$的连续映射，集合$\overline{u(W)} + \overline{u(W)}$包含在集合的闭包中

因此$\overline{u(V)}$是$F$中0的邻域。

(iv) 意味着 (i) 之前证明，我们证明以下引理，其中我们约定，在所有度量空间中，$B_r(x)$表示中心$x$和半径$r$的*闭合*球。

在这些条件中，对于所有$a > r$、像$u(B_a(x))$包含球$B_{\rho(r)}(u(x))$。

令$(r_n)$为数$> 0$的无限序列，使得$r_1 = r$和$a = \sum_{n=1}^{\infty} r_n$。对于每个指标$n$，都存在数$\rho_n > 0$（与$\rho_1 = \rho(r)$），使得

对于所有人$x \in E$；我们可以并且将会假设$\lim_{n \to \infty} \rho_n = 0$。

设$x_0$为E的点，$y$为$B_{\rho(r)}(u(x_0))$的点。我们将证明$y$属于到$u(B_a(x_0))$。

为此，E 的点的序列 $(x_n)_{n>0}$ 被归纳定义，使得对于所有 $n \geq 1$，我们有 $x_n \in B_{r_n}(x_{n-1})$ 和 $u(x_n) \in B_{\rho_{n+1}}(y)$。如果$x_i$已经为$0 \leq i \leq n-1$满足这些关系定义，那么我们就有$y \in B_{\rho_n}(u(x_{n-1}))$；自从

存在点$x_n \in B_{r_n}(x_{n-1})$，其中像$u(x_n)$属于到$y$的邻域$B_{\rho_{n+1}}(y)$，从而证明序列$(x_n)$的存在。

由于 $x_n$ 到 $x_{n+p}$ 的距离小于 $r_{n+1} + r_{n+2} + \cdots + r_{n+p}$（当 $n$ 大时，该距离任意小），因此序列 $(x_n)$ 是 E 中的柯西序列。当 E 完备时，序列 $(x_n)$ 收敛为E 的点 $x$。$x_0$ 与$x$ 的距离小于$\sum_{n=1}^{\infty} r_n = a$，因此$x \in B_a(x_0)$。但$u$是连续的，因此序列$u(x_n)$收敛于$u(x)$；也$u(x_n) \in B_{\rho_{n+1}}(y)$，因此$y = u(x)$，并且引理被证明。

我们回到定理并证明 (iv) 蕴涵 (i)。假设$u$满足条件(iv)。对于空间 E 和 F 中的每一个，考虑平移下不变的距离，并且定义其拓扑 (I, p. 16)。通过假设，对于每个$r > 0$，集合$\overline{u(B_r(0))}$是F中0的邻域，因此存在数$\rho(r) > 0$使得$B_{\rho(r)}(0) \subset u(B_r(0))$。通过翻译，我们将结论表示为所有$r > 0$和所有$x \in E$的$B_{\rho(r)}(u(x)) \subset \overline{u(B_r(x))}$。从引理 2开始，对于每一个对实正数$(a, r), a > r > 0$，我们有$B_{\rho(r)}(0) \subset u(B_a(0))$；因此$u$是E在F上的严格态射。我们已经证明(iv)蕴涵(i)并且定理的证明是完备的。

特别是，如果 E 和 F 是两个完整的*标准化*空间，则存在数$a > 0$，使得对于所有$x \in E$都有$\|u(x)\| \geq a.\|x\|$。

条件是必要的，因为如果 $u$ 是严格的态射，则像 $u(E)$ 同构于商 $E/u^{-1}(0)$，是完备的 (I，p. 17)，因此在 F 中闭合。条件是足够的，因为，如果 $u(E)$ 在 F 中闭，那么 $u(E)$ 必定是一个完全可度量的向量空间，因此通过定理 1 $u$ 是 E 在 $u(E)$ 上的严格态射。

因为 $M \times N$ 是一个完全可度量的向量空间，并且 $M \times N$ 在 E 上的映射 $(y, z) \mapsto y + z$ 是连续且双射的，因此同构（cor. 1）。

条件是必要的，因为连续映射到 Hausdorff 空间的图是封闭的（GT，I, § 8.1，cor.2）。要看出它是足够的，注意味着$u$的图G，它是完整可度量空间$E \times F$的封闭向量子空间，本身是可度量和完备的。 G 在 E 上的投影 $z \mapsto \mathrm{pr}_1(z)$ 是双射连续线性映射，因此同构 (cor. 1)；因为它的逆映射是$x \mapsto (x, u(x))$，所以$u$在E中是连续的。

我们可以用下面的形式来表达这个推论：如果满足以下情况，$u$是连续的：如果E的点的序列$(x_n)$都收敛到0并且*使得序列*$(u(x_n))$*收敛到* $y$，那么必然是$y = 0$。

1) E 是可度量的且完整的。 2) 在 K 上存在序列 $(F_n)$ 完全可度量向量空间，并且对于每个 n，F 中存在一个单射连续线性映射 $v_n$ of $F_n$ ，使得 F 是子空间 的并* $v_n(F_n)$。

然后设 u 为 F 中 E 的线性映射。如果 u 的图在 $E \times F$ 中闭合，*则存在整数 n 和 E 在* $F_n$ 中的连续线性映射 $u_n$ 使得 $u = v_n \circ u_n$ （这意味着 u 是连续的并且 $u(E) \subset v_n(F_n)$).*

令 G 为$E \times F$ 中$u$ 的图。对于所有$n$，我们考虑$E \times F_n$在$E \times F$中的连续线性映射$w_n : (x, y) \mapsto (x, v_n(y))$；由于 G 是闭集，集合 $w_n^{-1}(G) = G_n$ 是 $E \times F_n$ 的闭集向量子空间；如果$p_n$是第一个投影$\mathrm{pr}_1$的限制到$G_n$，我们有$p_n(G_n) = u^{-1}(v_n(F_n))$。由于 $p_n$ 是连续的并且 $G_n$ 是完备的（因为 $G_n$ 在完备的空间 $E \times F_n$ 中是封闭的），$p_n(G_n)$ 到定理 1 要么是 E 中的微不足道，要么是 E 的全部。但是，到假设时，E 是$p_n(G_n)$的并，并且由于E是完整的，所以Baire的定理在E中$p_n(G_n)$不能都是微不足道的（GT，IX, § 5.3，第1）。因此存在整数 n 使得$p_n(G_n) = E$，或其他字 $u(E) \subset v_n(F_n)$。进一步，由于$v_n$是单射的，$G_n$是E在$F_n$中的线性映射$u_n$的图，由闭图定理(I，p. 19，cor.5)$u_n$是*连续的*；然后从定义得出$u = v_n \circ u_n$。

习题