使用 $\mathscr{F}$ 表示 A 的子集 X 族*非空、闭集，并且 A 中包含的且满足 X 的每个开段必然位于 X* 中。它具有以下属性； (i) 属于至 $\mathscr{F}$。 (ii) 点 $a \in A$ 使得 $\{a\} \in \mathscr{F}$，当且仅当 $a$ 是 A 的极值点。 (iii) $\mathscr{F}$ 集合中$(X_\alpha)$ 的每个非空交 X 以及属于至$\mathscr{F}$。

属性 (i)、(ii) 和 (iii) 紧随定义。

(iv) 令$X \in \mathscr{F}$，且令$h$为函数，其在A中是凸且上半连续的；那么X的点的集合 Y，其中限制$h|X$在X达到其上界，使得Y属于到$\mathscr{F}$。

因为，$h|X$在X中是上半连续，在X的至少一个点中，在X上达到其上界$\alpha$（GT，IV, § 6.2，第3）；因此 Y 是非空的，它也是封闭的（GT，IV, § 6.2，道具 1）。另一方面，令 $x, y$ 为 A 的两个不同的点，并令 $z = \lambda x + (1 - \lambda) y$ 为 Y 的点，使得 $0 < \lambda < 1$；作为$Y \subset X$和$X \in \mathscr{F}$，我们有$x \in X$和$y \in X$；另一方面，由于 $h$ 是凸的，我们有

但作为$h(x) \leq \alpha, h(y) \leq \alpha$和$h(z) = \alpha$，必然有$h(x) = h(y) = \alpha$，也就是说$x \in Y$和$y \in Y$。因此$Y \in \mathscr{F}$。

建立这些属性后，令 M 为 $x \in A$ 的集合，其中 $f$ 在 A 中达到其上界；由(iv)，$M \in \mathscr{F}$。另一方面，根据 (iii) 以及 $\mathscr{F}$ 的集合子集或紧集 A 闭合的事实，$\mathscr{F}$ 对于序关系 $\supset$ 是*感应*的。到了。 2 个 S，III, § 2.4，M 包含子集 N，这是 $\mathscr{F}$ 的最小元素。我们将证明 N 由单个点组成，这将完成命题的证明。由于 E 是 Hausdorff 局部凸空间，因此足以证明 E 上的每个连续线性形式 $u$ 在 N 中都是常数（II，p. 38，cor. 1）。现在从(iv)可以得出，$x \in N$的集合$N'$，其中$u|N$在N中达到上界，使得$N'$属于到$\mathscr{F}$；由于 N 在 $\mathscr{F}$ 中最小，因此我们必然有 $N' = N$。

因为，如果$f(x) = \alpha$是H和A中的$f(x) \leq \alpha$的方程，则应用prop就足够了。 1 至 $f$。

设C为A的极值点的集合的闭凸包络；显然$C \subset A$。要看到$A \subset C$，只需证明，如果$u$是仿射线性函数，在E中连续，并且如果$u(x) \geq 0$在C中，则$u(x) \geq 0$也在A中（II，p. 39，cor.4）；但这是从道具得出的。 1 适用于 $-u$。

对于 E 包含于 x 的每个开半空间 D，集合 $A \cap \overline{D}$ 是 A 中 x 的紧邻域，并且所有这些邻域中的交恰好是点 x（任意两个不同的点可以被闭闭严格分开） 超平面（II，p. 38，命题 4）。根据 GT 的命题 1，I, § 9.2，足以证明集合 $A \cap \overline{D}$ 形式是一个过滤器基。现在如果我们写 $L_D = A \cap (E - D)$， 集合$L_D$是凸的，紧的并且包含在凸集合$A - \{x\}$中；如果$D_1, D_2$是E包含x的两个开半空间，$L_{D_1} \cup L_{D_2}$的凸包络B因此包含在$A - \{x\}$中，但B是； 紧集 (II, p. 14, 命题15)，因此存在一个闭超平面 H，将x与B严格分开(II, p. 38, 命题4)，如果由H和包含 x确定的开半空间是D，那么我们有$L_{D_1} \cup L_{D_2} \subset L_D$，因此$A \cap \overline{D} \subset (A \cap \overline{D_1}) \cap (A \cap \overline{D_2})$。

a) A 是 K 的封闭凸包络线。

b) K 满足 A 的每个集合即交及其支持之一超平面。

c) A 的极值点的 K 包含集合。

a) $\Rightarrow$ b).假设 A 存在一个支持超平面 H，其方程为 $f(x) = \alpha$，使得 $(H \cap A) \cap K = \varnothing$ 并假设，对于例，A 中存在 $f(x) \geq \alpha$。对于假设的所有 $x \in K$，$f(x) - \alpha > 0$ 并且 K 是紧致的，我们有

因此，K 包含在闭半空间 $f(x) \geq \beta$ 中；因此，K 的封闭凸包络 A 也是如此，这是荒谬的。

b) $\Rightarrow$ c)。假设 A 的极值点 x 不属于到 K； E 中 x 存在邻域 V，使得 $V \cap A \cap K = \varnothing$。但通过道具。 2，我们可以假设V是由超平面H用方程$f(z) = \alpha$定义的开半空间。如果对于例$f(x) > \alpha$，那么对于所有$y \in K$，我们有$f(y) \leq \alpha$，因此K不满足A的交和平行于H的支持超平面$f(z) = \gamma > \alpha$（II，p. 37，道具2）；这是荒谬的。

c) $\Rightarrow$ a)。这是 Krein-Milman 定理的明显推论。

条件显然是必要的。反之，假设满足；假设有一条线 D' 不是包含 D，经过通过 x₀，并且 D' ∩ C 包含是一个开线段，x₀ 属于到该线段。设y≠0为D'的向量方向；这些假设意味着对于 |λ| 点 (1 + λ)x₀ + μy 属于到 C和|μ|足够小。但是，在由 D 和 D' 确定并带有规范拓扑的平面 P 中，x₀ 是 P ∩ C 的内部点，因此直线 P ∩ H 包含是包含在 H ∩ C 中的开线段，并且 x₀ 属于。这个与……矛盾假设。

a) 令 A 为 C 的上限。令 p 为 A 规范的限制到 C (II, p. 20)。 x ∈ C 的集合使得 p(x) ≤ 1 是集合 A。 函数 p 是下半连续的，具有以下性质： (i) 对于 C 中的任何 x、y，我们有 p(x + y) = p(x) + p(y)。 (ii) 对于任意 x ∈ C 且 λ ∈ R_+^*，我们有 p(λx) = λp(x)。 (iii) 如果 x ∈ C，关系 p(x) = 0 等价于 x = 0。

b) 相反，令 p 为 C 中定义的函数，且值位于 a) 的 [0, +∞]、满足条件 (i)、(ii) 中。设 A 为 x ∈ C 的集合，使得 p(x) ≤ 1。则 A 和 C − A 是凸的。 A 是上限，当且仅当 A 是紧致且非空的。

叙述 b) 是显而易见的。 a) 中所述的属性是注前面的属性的推论。 4和支柱。 22 个 II、p. 20 和道具。 II、p. 20 中的 23 个，除了

当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，足以证明最后这一点；因此，我们有 p(x) > 0, p(y) > 0。设 μ、λ 为两个数 > 0，使得 λ < p(x)、μ < p(y)，并用 B 表示 A 在 C 中的补集。我们有 x ε λB，y ε μB，因此 x + y ε λB + μB；根据 B 的凸性，我们有 λB + μB ⊂ (λ + μ)B, 从而 p(x + y) > λ + μ，这意味着上面提到的不等式。

很明显，0 是 A 的极值点。设 x 为 L 上的点，C 的极值生成元，使得 p(x) = 1。令 y、z 为 A 的两个点，使得 x = $\frac{1}{2}(y + z)$。由于 L 是极值，因此我们有 y = λx 和 z = μx，其中 λ 和 μ 数 ≥ 0，使得 $\frac{1}{2}(\lambda + \mu) = 1$、$\lambda = \lambda p(x) = p(y) \leq 1$ 和 $\mu = \mu p(x) = p(z) \leq 1$，由此得出 $\lambda = \mu = 1$，因此 y = z = x；因此，x 是 A 的极值点。反之，设 x ≠ 0 是 A 的极值点。显然 p(x) = 1。设 y、y' 是 C 的两个点，使得 x = y + y'，我们将证明 y、y' 与 x 成正比。不失一般性，我们可以假设数 $\lambda = p(y)$ 和 $\lambda' = p(y')$ 是有限的且 > 0。然后通过 prop 计算$\lambda^{-1}y \in A, {\lambda'}^{-1}y' \in A, \lambda + \lambda' = 1$。 4、(i) 和等式 $x = \lambda(\lambda^{-1}y) + \lambda'({\lambda'}^{-1}y')$ 意味着，通过假设

这立即来自 cor。 1 和 Krein-Milman 定理（II、p. 55、第 1）。

\* 例。 — 令 X 为局部紧致空间，即 σ 紧致。令 C 为 $\mathscr{M}_+(X)$ 中顶点 0 的闭凸锥，且拓扑为模糊。我们将证明 C 是其大写字母的并。令$(X_n)$为开路的递增序列，相对于X的紧集，其并为X。令 μ 为 C 的元素 $\neq 0$。存在$\alpha_n > 0$使得$\sum_n \alpha_n \mu(X_n) = 1$。

对于每个度量$v \in C$，放入$p(v) = \sum_n \alpha_n v(X_n) \in [0, +\infty]$。 函数 p on C satisfies 条件 (i) and (ii) of prop. 4. It is lower semi-continuous for the vague 拓扑 (INT, IV, 2nd ed., § 1, No. 1, prop. 4). 集合 A of the $\gamma \in C$ such that $p(\gamma) \leq 1$ is therefore closed and non-empty.另一方面，X的每个紧集都包含在$X_n$之一中，因此模糊有界的A也是模糊紧凑的（INT，III，第二版，§ 1, No. 9，道具15）。 集合 A is therefore a cap of C 包含于 μ. \*

第二个叙述源自第一个和 cor。 2 上面。使用道具。 II、p. 52、约化、命题中的11个对应于$E = \mathbf{R}^l$和$C \subset \mathbf{R}_+^l$的情况。对于所有$\alpha \in I$，用$f_\alpha$表示E中的投影$pr_\alpha$；那么$f_\alpha$是连续的线性形式。另一方面，令 $(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$ 为 C 中 0 的邻域的可枚举基本系统。通过E的拓扑的定义，对于每个$n \in \mathbf{N}$，存在I和数$\varepsilon_n > 0$的有限子集$J_n$，使得$V_n$包含集合 $x \in C$的$W_n$使得$f_\alpha(x) \leq \varepsilon_n$对于所有$\alpha \in J_n$；把$J = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} J_n$。令$y \neq 0$为C的点，p为函数$\sum_{\alpha \in J} \lambda_\alpha (f_\alpha|C)$，其中选择$\lambda_\alpha > 0$使得$p(y) = 1$；这是可能的，因为如果$f_\alpha(y) = 0$对于所有$\alpha \in J$，那么$y \in V_n$对于所有$n$，这意味着$y = 0$，这与假设相反。现在我们注，对于所有$\alpha \in I$，函数$f_\alpha|C$在点0连续，因此存在$n \in \mathbf{N}$，使得$f_\alpha$在$W_n$内有界，因此在C上有界函数 $f_\beta|C$ 的有限数的线性组合，其中 $\beta \in J$。由此可知，如果 A 在 $x \in C$ 的集合中，使得 $p(x) \leq 1$，则对于所有 $\alpha \in I$，$f_\alpha$ 在 A 中有界。由于 p 在 C 中是下半连续的，因此 A 在 C 中是闭且非空的，因此是紧的。因为很明显 p 验证了 prop 的条件 (i) 和 (ii)。 II、p. 58 中的 4 个，我们看到 A 是 C 和包含 y 中的上限。

通过道具。 II、p. 38中的4个，存在一个封闭的超平面$H$，它将0与$K$严格分开。现在，$\{0\}$和$K$的并的凸包络$A$是紧致的（II，p. 14，命题15），并且是$\lambda K$和$0 \leq \lambda \leq 1$的并。由于 0 和 $K$ 严格位于 $H$ 的相对侧，因此对于每个 $x \in K$ 都存在 $\lambda$，使得 $0 < \lambda < 1$ 和 $\lambda x \in H$。由于$C$是$\lambda \geq 1$的$\lambda A$的并，我们看到$H$满足$C$中包含的从0开始的每条半线，并且$H \cap A = H \cap C$是紧凑的。此外，$C$也是$\lambda \geq 0$的$\lambda(H \cap C)$的并；令$C_n$为$0 \leq \lambda \leq n$的$\lambda(H \cap C)$的并。显然$C_n$是$\{0\}$和$n(H \cap C)$的并的凸包络，因此它是紧的。另外，对于所有$x \in E$，在$E$和整数$n$中存在$x$的闭邻域$V$，使得$V \cap C \subset C_n$；事实上，如果$H$由方程$f(z) = \alpha$定义，其中$\alpha > 0$，则足以将$V$取由$nH$和包含0确定的闭半空间，其中$n$比$n\alpha > f(x)$大。这表明$C$是局部紧致的（取$x \in C$），并且它在$E$是封闭的。我们也可以将$K$视为完成$\hat{E}$的子集，因此$C$也在$\hat{E}$中闭合并因此完成。

给定 Hausdorff 拓扑向量空间 $E$ 中的圆锥体 $C$ 和封闭的超平面 $H$，使得 $H$ 不包含，$C$ 和 $C$ 的顶点 $s$ 为最小的顶点为 $s$ 包含 $H \cap C$ 的圆锥体，那么我们称交 $H \cap C$ 圆锥体 $C$ 的“唯一”。命题6表明，在Hausdorff局部凸空间$E$、最小的顶点0、包含的圆锥中，0不属于的紧凸圆锥集合$K$是紧底圆锥，并且每个凸圆锥都有紧底圆锥$S$，局部紧凑且完整。