§ 8. 。复局部凸空间 · 拓扑向量空间

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§ 8。复局部凸空间

1. 拓扑向量空间超过 $\mathbf{C}$

设 $E$ 是复数的 $\mathbf{C}$ 域上的拓扑向量空间； $E$ 的拓扑也与 $\mathbf{R}$ 上的向量空间的结构兼容，通过将标量的域限制为 $\mathbf{R}$ 获得。我们用 $E_0$ 表示 $\mathbf{R}$ 上的拓扑向量空间，它*位于*E（I，p. 2）。注，在 $E_0$ 中，映射 $x \mapsto ix$ （不是位似）是 $E_0$ 的拓扑向量空间结构的*自同构* $u$ ，使得 $u^2(x) = -x$ 。

相反，设F是 $\mathbf{R}$ 上的拓扑向量空间，并假设F存在自同构 $u$ ，使得 $u^2 = -1_F$ （ $1_F$ 是F的恒等式自同构）。我们知道（A，IX, § 3, No. 2），那么对于所有 $\lambda = \alpha + i\beta \in \mathbf{C}$ 和所有 $x \in F$ ，可以相对于 $\mathbf{C}$ 在F上定义向量空间结构写出 $\lambda x = \alpha x + \beta u(x)$ 。进一步，由于F中 $\mathbf{R}^2 \times F$ 的映射 $(\alpha, \beta, x) \mapsto \alpha x + \beta u(x)$ 是连续的，因此F的拓扑相对于上面定义的 $\mathbf{C}$ 与向量空间结构兼容；如果 E 表示以此方式定义的 $\mathbf{C}$ 上的拓扑向量空间，则 F 是位于 E 之下的 $\mathbf{R}$ 上的拓扑向量空间。

注 07KJ

— 给定一个在 $\mathbf{R}$ 上的拓扑向量空间 F，并不总是存在自同构 $u$ 的 F，其平方是 $-1_F$ ；对于例，定义向量空间结构相对于向量空间上的 $\mathbf{C}$ 不可能超过有限*奇数*维数的 $\mathbf{R}$ 。

设E是 $\mathbf{C}$ 上的拓扑向量空间， $E_0$ 是 $\mathbf{R}$ 上的拓扑向量空间，它是E的基础。E中的每个线性簇M也是 $E_0$ 中的线性簇，但逆命题是假的。为了避免混淆，我们说向量空间结构相对于 $\mathbf{C}$ （或相对于 $\mathbf{R}$ ）的线性簇是*复数*（或*实数*）线性簇。复线性簇有限维 $n$ （分别为有限余维 $n$ ）是实线性簇维数 $2n$ （分别为余维 $2n$ ）。在阶中，E的实向量子空间M也应该是复数向量子空间， $iM \subset M$ 是充分必要的。

回想一下，如果 E 和 F 是 $\mathbf{C}$ 上的两个拓扑向量空间，则如果 E 和 F 的向量空间结构的线性映射是线性映射，则 F 中 E 的映射称为 $\mathbf{C}$ 线性（或 $\mathbf{R}$ 线性）至 $\mathbf{C}$ （分别为 $\mathbf{R}$ ）；每个 $\mathbf{C}$ 线性映射显然都是 $\mathbf{R}$ 线性，但逆命题是错误的。我们说 E 上的 $\mathbf{C}$ 线性形式是*复数* 线性形式，而 E 上的 $\mathbf{R}$ 线性形式（*即* $E_0$ 上的线性形式）是*实数* 线性形式。如果 $f$ 是E上的复数线性形式，则显然实部部分 $g = \Re f$ 和 $f$ 的虚部部分 $h = \Im f$ 是实部线性形式；进一步地，关系 $f(ix) = if(x)$ 暗示身份 $h(x) = -g(ix)$ ；在其他字我们有

f(x) = (\Re f)(x) - i(\Re f)(ix).

相反，如果 $g$ 是E上的实数线性形式，则 $f(x) = g(x) - ig(ix)$ 是E上的唯一复形线性形式，使得 $\Re f = g$ ；并且 $f$ 是连续的当且仅当 $g$ 是连续的。

现在让 H 为 E 中的*复数超平面*，方程为 $f(x) = \alpha + i\beta$ ，其中 $f$ 是 E 上的复数线性形式；放入 $g = \Re f$ ，我们可以看到H是两个*实数超平面* $H_1, H_2$ 的交，分别为 $g(x) = \alpha$ 和 $g(ix) = -\beta$ ；如果 H 是*闭*，则 $H_1$ 和 $H_2$ 也是闭的（I，p. 13，第 1）。相反，令 $H_0$ 为齐次实数超平面，方程为 $g(x) = 0$ （其中 $g$ 是 E 上的实数线性形式）；则 H， $H_0$ 和 $iH_0$ 的交是齐次*复数*超平面，并且如果 $f$ 是复数线性形式，使得 $\Re f = g$ ，则 $f(x) = 0$ 是 H 的方程；如果 $H_0$ 闭合，则 H 也闭合。

设G是 $\mathbf{R}$ 上的拓扑向量空间，并令 $G_{(c)}$ 是 $\mathbf{C}$ 上的向量空间，通过将标量域扩展到 $\mathbf{C}$ （A，II, § 5.1）从G获得。认同 G 作为 $G_{(c)}$ 的子集乘以映射 $x \mapsto 1 \otimes x$ 。 $\mathbf{R}$ -线性映射 $(x, y) \mapsto x + i.y$ 则为 $G \times G$ 在 $G_{(c)}$ 上的双射，由此我们将 $G \times G$ 的乘积拓扑转移到 $G_{(c)}$ 。那么 $G_{(c)}$ 加上这个拓扑就是 $\mathbf{C}$ 上的拓扑向量空间。我们说 $G_{(c)}$ 是*G的*复杂拓扑向量空间。

引用了 2

引用了 I § 2. 。拓扑中的线性簇向量空间, II § 5. 。凸面分离集合

2. 复局部凸空间

说复数向量空间 E 的子集 A 是*平衡的*，意味着对于所有 $x \in A$ ，我们对 $0 \leq \rho \leq 1$ 有 $\rho x \in A$ ，对所有实数 $\vartheta$ 有 $e^{i\vartheta}x \in A$ 。

如果 E 的集合 A 在位于 E 之下的实数空间 $E_0$ 中是凸的，我们就说 E 的集合 A 是*凸*。在阶中，E 的凸集合 $A \neq \varnothing$ 是平衡的，对于所有实数 $\vartheta$ $e^{i\vartheta}A \subset A$ 就足够了；因为这首先意味着 $-A = A$ ；由于 A 是凸的，我们看到 0 属于到 A，因此 $\rho A \subset A$ $0 \leq \rho \leq 1$ 。

令 E 为复拓扑向量空间。 E 的最小的平衡凸（或闭平衡凸）集合包含集合 A 称为 A 的*平衡凸包络*（或*平衡闭凸包络*）； A 的平衡闭凸包络是 A 的平衡凸包络的闭包。最后是集合 $e^{i\vartheta}A$ 的并凸包络；因此，当 $(x_i)$ 是A的点的任何有限族，并且 $(\lambda_i)$ 是复数的族，使得 $\sum_i |\lambda_i| \leq 1$ 时，我们可以将定义视为线性和 $\sum_i \lambda_i x_i$ 的集合。如果 A 是预紧的，那么它的平衡包络也是如此（I，p. 6，道具 3）。

We say that a complex topological vector space E is locally convex if the real underlying topological vector space $E_0$ is locally convex, that is to say if every neighbourhood of 0 in E contains a convex neighbourhood of 0; a topology $\mathscr{T}$ on E is locally convex if it is compatible with the vector space structure of E (relative to $\mathbf{C}$ ) and if E, with topology $\mathscr{T}$ , is locally convex. 在这种情况下，0 包含的每个闭凸邻域 V 都有一个平衡的邻域 W（I，p. 7，道具 4），我们看到 V 也是包含 U，W 的平衡闭凸包络；在其他字中，0形式的*平衡、封闭、凸*邻域是E中0的邻域的基本系统，在比率 $\neq 0$ 的每个位似下不变。

相反，令 E 为复数向量空间，并令 $\mathfrak{S}$ 为 E 上由*吸收性*、*平衡凸* 集合形成的滤波器基。然后我们知道（II，p. 23，命题1） $\mathfrak{S}$ 的集合变换与 $> 0$ 的同位比，集合 $\mathfrak{B}$ 是0的邻域的基本系统 E上的实向量空间 $E_0$ 上的局部凸拓扑 $\mathscr{T}$ 。此外，由于 $\mathfrak{B}$ 的集合是平衡的，因此它们在每个位似 $x \mapsto e^{i\vartheta}x$ 下都是不变的，这表明 $\mathscr{T}$ 与向量空间兼容E 的结构（超过 $\mathbf{C}$ ）（I，p. 7，道具 4）。

复数向量空间 E 上的每个局部凸拓扑都可以由半范数集合定义，因为开平衡凸邻域的规范为 0 是 E 上的半范数。

实局部凸空间的想法和结果在II、p. 25到36、扩展到复局部凸空间中有详细介绍，除了用平衡凸集合替换对称凸集合之外没有任何修改。

如果复数局部凸空间是可度量且完备的 Fréchet 空间。

3. Hahn-Banach 定理及其应用

定理 1（哈恩-巴纳赫） 07KK

— 令 V 为 E 的向量子空间，复数向量空间，并令 f 为 V 上的（复数）线性形式，p 为 E 上的半范数，使得 $|f(y)| \leq p(y)$ 对于所有 $y \in V$ 。那么在扩展 f 的 E 上存在线性形式 $f_1$ ，并且对于所有 $x \in E$ 都有 $|f_1(x)| \leq p(x)$ 。

因为 $g = \Re f$ 是在V和满足 $|\cdot(y)| \leq p(y)$ 中定义的实线性形式，位于V的每个点；因此，在扩展 g 的 E 中存在实数线性形式 $g_1$ ，并且对于所有 $x \in E$ $|g_1(x)| \leq p(x)$ （II，p. 23，cor. 1）。令 $f_1(x) = g_1(x) - ig_1(ix)$ 为E上的复数线性形式，其中 $g_1$ 为实数部分（II，p. 61）。对于所有真实的 $\vartheta$

|\Re(e^{i\vartheta}f_1(x))| = |\Re(f_1(e^{i\vartheta}x))| = |g_1(e^{i\vartheta}x)| \leq p(e^{i\vartheta}x) = p(x)

因为 $p$ 是复数空间 E 的半范数；这意味着关系 $|f_1(x)| \leq p(x)$ ，并且定理被证明。

推论 1 07KL

— 设 $x_0$ 为复拓扑向量空间 E 的点，p 为 E 中的连续半范数；那么在 E 中存在定义的连续（复数）线性形式 f，使得所有 $x \in E$ 都有 $f(x_0) = p(x_0)$ 和 $|f(x)| \leq p(x)$ 。

推论 2 07KM

— 设 V 为复数局部凸空间 E 的向量子空间，f 为在 V 中定义且连续的（复数）线性形式；则存在定义在 E 中且扩展 f 的连续线性形式 $f_1$ 。如果 E 被赋范，则存在形式 $f_1$ 也满足 $\|f_1\| = \|f\|$ 。

推论 3 07KN

— 设 M 为局部凸 Hausdorff 复数空间 E 的有限维向量子空间。则存在 E 的闭向量子空间 N，它是 E 中 M 的拓扑补集。

使用定理 1、p. 24 的证明与II、p. 23 相同。 2 和相关。 3、p. 24，道具。 2 和 p. 25，cor。 2.

命题 1 07KO

— 设 A 是复拓扑向量空间 E 中的开非空凸集合，M 是不满足 A 的非空（复）线性簇。则存在一个闭复形超平面 H，包含 M 且不满足 A。

我们可以假设 $0 \in M$ 。则存在闭实数超平面 $H_0$ 包含M且不满足A（II，p. 36；第1）。作为 $M = iM$ ，封闭复合体超平面 $H = H_0 \cap (iH_0)$ 具有所需的属性。

推论 07KP

— 在局部凸复数空间 E 中，每个闭复数线性簇 M 都是闭复数超平面的交，其中包含它。

事实上，对于所有 $x \notin M$ ，存在 $x$ 的凸开邻域 $V$ 不满足 $M$ ，因此存在闭复形超平面 $H$ 包含 $M$ 且不满足 $V$ ； 更不必说 $H$ 不包含 $x$ 。

命题 2 07KQ

设 $A$ 为复杂拓扑向量空间 $E$ 的非空平衡开凸集合， $B$ 为不满足 $A$ 的非空凸集合。那么 $E$ 和数 $\alpha > 0$ 上存在连续复形线性形式 $f$ ，使得 $A$ 中有 $|f(x)| < \alpha$ ， $B$ 中有 $|f(y)| \geq \alpha$ 。

引用了 1

引用了 II § 5. 。凸面分离集合

因为，在 $E$ 和实数 $\alpha$ 上存在连续的*实数*线性形式 $g$ ，使得 $A$ 中的 $g(x) < \alpha$ 和 $B$ 中的 $g(y) \geq \alpha$ （II，p. 37，道具1）。作为 $0 \in A$ ，我们有 $\alpha > 0$ 。我们证明连续复形线性形式 $f(x) = g(x) - ig(ix)$ 和数 $\alpha$ 具有所需的性质。因为，从 $\Re f = g$ 开始，我们在 $B$ 中有 $|f(y)| \geq \alpha$ 。另一方面，对于所有 $x \in A$ 和所有实数 $\vartheta$ ，点 $e^{i\vartheta}x$ 属于到 $A$ ，因为 $A$ 是平衡的，我们有 $f(x) = e^{-i\vartheta}f(e^{i\vartheta}x)$ ；那么存在数 $\vartheta$ 使得 $|f(x)| = \Re(e^{i\vartheta}f(x)) = g(e^{i\vartheta}x) < \alpha$ 和命题紧随其后。

命题 3 07KR

令 $A$ 为复杂局部凸空间 $E$ 中的平衡、封闭、凸集合，并令 $K$ 为 $E$ 中不满足 $A$ 的非空紧凑凸集合。那么在 $E$ 和数 $\alpha > 0$ 上存在连续复形线性形式 $f$ ，使得 $A$ 中有 $|f(x)| < \alpha$ ， $K$ 中有 $|f(y)| > \alpha$ 。

引用了 1

引用了 II § 5. 。凸面分离集合

命题源自II、p. 38，道具。 4 作为支柱。 2 源自 II，p. 37，道具。 1.

4. 复杂向量空间上的弱拓扑

定义和II, § 6 的结果，第 1 和第 2 条在没有变换的情况下适用于*复杂* 向量空间。如果 $F$ 和 $G$ 是两个复数向量空间，按双线性形式 $B$ 对偶，那么底层空间 $F_0$ 和 $G_0$ 按 $\Re B$ 对偶，并且从II得出， p. 61,公式 (1) 弱拓扑 $\sigma(F, G)$ 和 $\sigma(F_0, G_0)$ 是相同的。

定义 1 07KS

设 $F$ 和 $G$ 是对偶的两个复数向量空间。对于 $F$ 的任何子集 $M$ ， $G$ 中 $M$ 的极坐标（用 $M^\circ$ 表示）是 $y \in G$ 的集合，这样对于所有 $x \in M$ 来说， $\Re(\langle x, y \rangle) \geq -1$ 。

引用了 1

引用了 II § 6. 。弱拓扑

如果 $M^\circ$ 是 $G$ 中 $M \subset F$ 的极坐标，那么 $(\lambda M)^\circ = \lambda^{-1}M^\circ$ 对于所有 $\lambda \in \mathbf{C}^*$ 。

如果 $M$ 是 $E$ 的（复数）向量子空间，则 $M^\circ$ 是闭向量子空间（对于 $\sigma(G, F)$ ），因为关系 $\Re(\lambda \langle x, y \rangle) \geq -1$ 对于*每个*标量 $\lambda \in \mathbf{C}$ 蕴含 $\langle x, y \rangle = 0$ ；我们再次说 $M^\circ$ 是 $G$ *正交*到 $M$ 的子空间。

如果 $M$ 是 $F$ 中的平衡集合，则 $M^\circ$ 是 $G$ 中的平衡集合；在这种情况下， $M^\circ$ 是 $y \in G$ 的集合，使得 $|\langle x, y \rangle| \leq 1$ 对于所有 $x \in M$ ；对于这个关系相当于所有 $x \in M$ 和所有 $\zeta \in \mathbf{C}$ 的 $\Re(\langle \zeta x, y \rangle) \leq 1$ ，这样 $|\zeta| = 1$ 。

对于复数向量空间，II、p. 41 到 51 的结果在没有限制的情况下也有效。

习题

参见习题为 § 8。