习题 5, § 5

a) 令 E、F 和 G 为三个豪斯多夫局部凸空间，以及$u$从$E \times F$到G的双线性映射。在阶中，E中存在平衡的邻域U为0，使得所有映射的集合 $u(x, .)$，其中x穿过U，在$\mathscr{L}(F; G)$中等连续，当我们通过最粗糙的拓扑对E进行替换拓扑时，$u$连续是必要且充分的，其中集合$\lambda U$（$\lambda \neq 0$）形式a 0 的邻域的基本系统。证明如果 G 是范数的，则从 $E \times F$ 到 G 的每个连续双线性映射都满足该条件。 b) 对于 E、F 和 G 乘积空间 $\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$，对于 $u$ 取连续双线性映射 $((x_n), (y_n)) \mapsto (x_n y_n)$。证明 E 中不存在任何 0 的邻域 U，使得映射 $u(x, .)$ 的集合（其中 x 穿过 U）在 $\mathscr{L}(F; G)$ 中等连续。