习题 3, § 5

a) 设 E 为 Hausdorff 局部凸空间，E' 为对偶；假设对于拓扑 σ(E', E)，E' 中存在可数处处稠密集合。证明 E 的拓扑（或 σ(E, E')）比可度量的局部凸拓扑更细。 b) 令 (x_n) 为 E 的点的序列，这样从 (x_n) 中提取的每个序列对于初始拓扑都有极限点（分别为拓扑 σ(E, E')）。证明存在从 (x_n) 中提取的序列，其在初始拓扑处收敛于 E（分别为拓扑 σ(E, E')）。 （令 (a'_n) 为 σ(E', E) 的 E' 中的处处稠密序列；从 (x_n) 中提取序列 (y_n)，使得 ⟨y_n, a'_p⟩) 对于每个指标 p 趋于极限，并证明序列 (y_n) 仅具有一个极限点代表初始拓扑（分别代表 σ(E, E')）。） c) 为了使 E 的子集 A 对于初始拓扑（分别为 σ(E, E')）而言相对紧凑，从 A 的点的每个序列 (x_n) 中，我们可以提取收敛到 E 的点的序列 (x_{nk}) 是必要且充分的初始拓扑 （对应于 σ(E, E')）（使用练习 2, a)）。