习题 5, § 5

a) 令X为紧空间，H为X上连续数值函数的空间$\mathscr{C}(X)$的任意子集。令$f_0$为$\mathscr{C}(X)$的点，它位于$\mathscr{C}(X)$上简单收敛的拓扑$\mathscr{T}_s$的H闭包中。证明 H 存在可数子集 $H_0$，使得 $f_0$ 位于 $\mathscr{T}_s$ 的 $H_0$ 闭包中。 （证明对于整数$m > 0, n > 0$的每个对，存在H的有限子集$H(m, n)$，其中性质：对于X中m点$t_k$的每个集合 $(1 \leq k \leq m)$，存在$f \in H(m, n)$使得$|f_0(t_k) - f(t_k)| \leq 1/n$对应$1 \leq k \leq m.$） b) 令 E 为局部凸可度量空间，$E'$ 其对偶以及 E 的 H 子集。证明，如果 $x_0$ 在弱化拓扑 $\sigma(E, E')$ 的 H 闭包中，则存在 H 的可数子集 $H_0$，使得对于这个拓扑，$x_0$处于$H_0$的关闭状态。 （使用a），注意到，对于$\sigma(E', E').$，$E'$是紧集可数族的并