Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

历史注记

（章I至V）

（注：罗马字母指的是注末尾的参考书目。）拓扑向量空间的一般理论创立于1920年至1930年左右。但基础工作早已通过泛函数学分析的众多问题的研究做好了准备；我们不能回顾了这个学科的历史，但至少没有简要地指出，对这些问题的研究如何慢慢地（特别是自20世纪初）使数学家意识到正在考虑的问题与以更普遍的方式表述它们的可能性之间的关系，以及应用将方法与解统一起来。

可以说，代数和数学分析之间的类比，以及将函数方程（\emph{即，其中未知数为函数）视为代数方程的“极限情况”的想法都起源于无穷小演算，在某种意义上，它的发明是为了“从有限到无限”的推广。但无穷小演算的直接代数祖先是有限差分的演算 (\emph{cf.} FVR, 章 I, II, III, p. 54-58 的历史注记) 而不是一般线性系统的解；直到之后中叶，后者与微分演算的问题之间的首次类比才出现在振动弦方程的研究中。关于这个问题的历史细节我们这里不做过多介绍；但两个基本思想的不断出现引人注目，这两个思想显然都是伯努利的功劳。第一个是将弦的振动视为当 $n$ 无限增加时 $n$ 点质量的系统振动的“极限情况”；我们知道，后来，对于 $n$ 有限，这个问题是搜索线性变换特征值时的第一个例（\emph{cf.} A，章VI-VII的历史注记）；在极限情况下，这些数对应是弦的“本征振荡”频率，在实验中观察到了长之前，并且其理论存在已在本世纪初建立（特别是由泰勒）。这种正式的类比虽然后来很少被提及（(I, \emph{b}), p. 390），但在 19 世纪似乎从未被忽视；但正如我们将看到的，它直到 1890 年至 1900 年左右才获得充分的重要性。

D. Bernoulli 的另一个想法（可能受到实验事实的启发）是“叠加原理”，根据该理论，弦的最一般振动应该通过“本征振动”的叠加而“可分解”；从数学上来说，这意味着振动弦方程的一般解应该有级数发展为 $\sum_n c_n \phi_n(x, t)$ ，其中 $\phi_n(x, t)$ 代表本征振动。我们知道，这个原理是一场关于在三角级数中发展“任意”函数的可能性的长期斗争的开始点，这场斗争直到19世纪上半叶才由傅里叶和狄利克雷的著作解决。但即使得到了之前这个结果，在“正交”函数\*中还有其他级数展开的例：球面函数、勒让德多项式，以及形式 $e^{i\lambda_n x}$ 的各种系统，其中 $\lambda_n$ 不再由相同的数倍数；这些已经在 18 世纪的振荡问题中引入，傅里叶和泊松也在他们的热理论研究过程中引入了这些。 1830 年左右，Sturm (I) 和 Liouville (II) 将在这些不同的特定情况下观察到的所有现象系统化，形成一个变量的函数振荡的一般理论；他们考虑了微分方程

(1)\quad \frac{d}{dx} \left( p(x) \frac{dy}{dx} \right) + \lambda \rho(x) y = 0 \quad (p(x) > 0,\ \rho(x) > 0)

边界为条件

(2)\quad \begin{aligned} k_1 y'(a) - h_1 y(a) &= 0 \\ k_2 y'(b) + h_2 y(b) &= 0 \end{aligned}

(h_1 k_1 \neq 0,\ h_2 k_2 \neq 0,\ a < b)

并证明了以下基本结果： 1) 仅当 $\lambda$ 取序列 $(\lambda_n)$ 或数 $> 0$ 的值之一，且趋于 $+ \infty$ 时，问题才具有非零解； 2）对于每个 $\lambda_n$ ，解是相同的函数 $v_n$ 的倍数，可以假设通过条件 $\int_a^b \rho v_n^2 dx = 1$ “标准化”，对于 $m \neq n$ 我们有

\int_a^b \rho v_m v_n dx = 0 ;

[a, b]

上每两次可微的函数

f

满足边界条件(2)，可以在一致收敛的级数上展开为

f(x) = \sum_n c_n v_n(x)

，其中

c_n = \int_a^b \rho f v_n dx ;

4) 等式

\int_a^b \rho f^2 dx = \sum_n c_n^2

成立（这个等式已经被Parseval在1799年证明了，虽然以纯粹形式的方式证明了，对于三角函数的系统；并且由此紧随其后的是“贝塞尔的不等式”；后者不等式由贝塞尔 (Bessel) 于 1828 年宣布（再次用于三角函数级数）。

半个世纪后，这些性质由 Gram (III) 的工作完成，他继 Tchebichef 的研究之后，阐明了

\* 然而，这个项并不出现之前希尔伯特的工作。

函数正交的级数和“最佳二次近似”问题的发展（误差理论中高斯的“至少平方的方法”的直接结果）；后者由以下部分组成：给定函数 $(\psi_i)_{1 \leq i \leq n}$ 和函数 $f$ 的有限序列，找到积分 $\int_a^b \rho(f - \sum_i a_i \psi_i)^2 dx$ 达到最小值的线性组合 $\sum_i a_i \psi_i$ 。在原理中，这仅暗示了一个平凡的线性代数问题，但 Gram 以一种原始的方式解决了它，通过 $\psi_i$ 的“正交归一化”的应用方法，如第 1 章所述。 V、p. 23（通常以 Erhard Schmidt 的名字为人所知）。接下来，在无限正交系统的情况下，出现的问题是找出函数 $f$ 的“最佳二次近似” $\mu_n$ ，通过序列的第一个 $n$ 函数的线性组合，何时趋于 0，如下 $n$ 无限增加*；于是，Gram 得到了完全正交系统的概念的定义，并认识到这个性质等价于不存在与所有 $\phi_n$ 正交的非零函数。他甚至试图阐明“平均二次收敛”的概念，但在引入测度论的基本思想之前后，他在这个方向上很难得到任何普遍的结果。

19世纪下半叶，分析家的主要精力主要集中在Sturm-Liouville理论的扩张到几个变量的函数。该理论是由对数学物理中出现的椭圆偏微分方程以及与这些方程自然相关的边界值问题的研究而提出的。主要兴趣主要集中在“振动膜”方程上

L_\lambda(u) \equiv \Delta u + \lambda u = 0

其中解消失在足够规则的域 G 的边界上；曾成功用于一个变量的函数的方法不再适合这个问题，并且逐渐克服了出现的相当大的分析困难。我们回顾一下实现解的主要步骤：引入G的“格林函数”，其存在性已被施瓦茨证明；证明，再次归功于 Schwarz，最小的特征值的存在；最后，在 1894 年，H. Poincaré 在著名的回忆录 (V a) 中成功地证明了证明所有特征值的存在和本质属性。对于给定的“第二个成员” $f$ ，他考虑了方程 $L_\lambda(u) = f$ 的解；解消失在边界上；然后，通过施瓦茨的方法的熟练推广，他证明了 $u_\lambda$ 是复变量 $\lambda$ 的亚纯函数，只有实单极点 $\lambda_n$ ，而这些正是正在寻找的特征值。

\* 必须指出的是，在这项研究中，Gram 并没有限制自己只考虑连续的函数，而是强调了条件 $\int_a^b \rho f^2 dx < + \infty$ 的重要性。

这些研究与线性积分方程理论的开端直接相关，这无疑对现代思想的出现做出了最大的贡献。我们将在这里极限给出这个理论的发展的简要概述（为了更全面的细节，我们参考历史注记，它将在这篇致力于谱理论的论文的章之后）。这种函数方程在 19 世纪上半叶首次出现（Abel、Liouville），自 Beer 和 C 以来已经获得了一定的重要性。对于足够规则的域 G，诺伊曼将“狄利克雷问题”的解简化为“第二类积分方程”的解

u(x) + \int_a^b K(x, y) u(y) \, dy = f(x)

对于未知的函数 $u$ ； C。诺伊曼于 1877 年通过“逐次逼近”的方法成功解出了这个方程。受到上述代数类比以及他为振动膜方程获得的结果的启发，H. Poincaré 在 1896 年 (V b) 在前面方程的积分前面引入了一个可变参数 $\lambda$ ，并断言，正如振动膜方程的情况一样，解再次是亚纯的函数共 $\lambda$ ；但他无法证明这个结果。七年后，I成立。 Fredholm (VI)（对于连续的 « 核 » K 和有限区间 $[a, b]$ ）。最后提到的作者也许比他的前辈有更多的认识，让自己受到（4）与线性系统的类比的指导

\sum_{q=1}^n (\delta_{pq} + \frac{1}{n} a_{pq}) x_q = b_p \quad (1 \leq p \leq n)

根据 Cramer 的公式中出现的行列式模型，获得 (4) 的解作为两个表达式的商。然而，这并不是一个新想法：自19世纪初以来，“不确定系数”的方法（其中包括获得未知的函数，假设有级数发展 $\sum_n c_n \phi_n$ ，其中 $\phi_n$ 已知函数，通过计算系数 $c_n$ ）导致了“线性系统具有无限多个未知数 »

\sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j = b_i \quad (i = 1, 2, ...).

傅里叶遇到这样的系统，仍然像18世纪的数学家一样解决它：他用指标 $i$ 或 $j$ 大于 $n$ 压制所有项，显式地求解了由Cramer的公式得到的有限系统，然后传递给极限，让 $n$ 在解趋向于 $+ \infty$ ！很久以后，当这种把戏不再被接受时，问题再次受到行列式理论的攻击；自 1886 年（继希尔的工作之后）以来，H. Poincaré，然后是 H. von Koch，提出了集合“无限行列式”理论，该理论允许通过遵循经典模型来解决某些类型的系统 (6)；尽管这些结果并不直接适用于 Fredholm 解决的问题，但毫无疑问，冯·科赫的理论特别是 Fredholm 的“决定因素”中的构造的模型。

正是在这个时候，希尔伯特登场，给理论带来了新的推动力（VII）。首先，他通过有效地执行到极限的过程，完成了Fredholm的工作，从(5)通向(4)的解；但他立即在实二次理论形式中引入相应的到极限，该理论自动产生于具有对称核的积分方程（*即*使得 $K(y, x) = K(x, y)$ ）。这些是迄今为止数学物理中最常见的方程。因此，他成功地获得了基本的公式，它直接推广了二次形式向其轴的约简

\int_a^b \int_a^b K(s, t) \ x(s) \ x(t) \ dsdt = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\lambda_n} \left( \int_a^b \phi_n(s) \ x(s) \ ds \right)^2,

其中 $\lambda_n$ 是核K的特征值（必然是实数）， $\phi_n$ 形成相应的本征函数的正交系统，并且公式（7）的第二个成员是收敛的级数，如果 $\int_a^b x^2(s) \ ds \leq 1$ 。他还展示了每个“可表示”为 $f(x) = \int_a^b K(x, y) \ g(y) \ dy$ 的函数如何有一个“发展” $\sum_{n=1}^\infty \phi_n(x) \int_a^b \phi_n(y) \ f(y) \ dy$ ，并且，按照与二次方形式的经典理论的类比，他指出了通过变分方法确定 $\lambda_n$ 的过程。这正是众所周知的二次曲面主轴极值性质 ((VII), p. 1-38) 的扩张。

希尔伯特的这些初步结果几乎立即被 E. 施密特采用，在一个更简单、更一般的形式下，避免了引入“Fredholm 行列式”以及从有限到无限的过渡。该演示已经非常接近于抽象，积分的线性和正性的基本属性显然是证明 (VII a) 中使用的唯一事实。但到那时希尔伯特已经发展出了更普遍的概念。所有早期的作品都强调了平方可积函数的重要性，而Parseval的公式在这些函数和序列 $(c_n)$ 之间建立了直接联系，使得 $\sum_n c_n^2 < \infty$ 。正是这个思想指导了希尔伯特 1906 年的回忆录（（VII），第XI-XIII），其中，他再次采用“不定系数”的旧方法，证明积分方程（4）的解相当于无限系统线性方程的解

x_p + \sum_{q=1}^\infty k_{pq} x_q = b_p \quad (p = 1, 2, ...)

对于未知数函数 $u$ 的 « 傅立叶系数 » $x_p = \int_a^b u(t) \omega_p(t) \, dt$ 对于给定的完全正交系统 $(\omega_n)$ （与 $b_p = \int_a^b f(t) \omega_p(t) \, dt$ ）和 $k_{pq} = \int_a^b \int_a^b K(s, t) \omega_p(s) \omega_q(t) \, dsdt$ 。此外，从点的角度来看，（8）中唯一感兴趣的解是那些 $\sum_n x_n^2 < +\infty$ ；希尔伯特也正是对这种解进行了系统的限制；但另一方面，他将条件扩展到了“无限矩阵” $k_{pq}$ （在（8）中是这样的 $\sum_{p,q} k_{pq}^2 < +\infty$ ）。从那时起，很明显，实数的所有序列 $x = (x_n)$ 的“希尔伯特空间”，使得 $\sum_n x_n^2 < +\infty$ 虽然没有明确引入，但却是整个理论的基础空间，并且表现为从有限维度欧氏到极限的“通道” 空间。在加法中，这对于后来的发展尤为重要，希尔伯特被引导在这个空间中引入两个不同的概念（空间）（相应的后来被称为弱拓扑和强拓扑*），同时也是一个原理选择 » 正是单位球的弱紧实度性质。他结合系统 (8) 的解开发的新线性代数完全依赖于这些拓扑思想：对线性映射、线性形式和双线性形式（与线性映射相关）进行分类并研究其“连续性”属性。特别是，希尔伯特发现弗雷德霍姆的方法的成功取决于概念的“完全连续性”，他通过将其表述为双线性形式*并通过深入研究来弥补这一点；有关更多详细信息，我们参考本论文的部分，其中重要的概念将得到发展，并且还可以参考希尔伯特令人钦佩且深刻的著作，他在其中开创了对称双线性形式（有界或无界）的谱理论。

希尔伯特的语言仍然是古典的，在《根本论》中，他从未忽视过他从众多例（几乎占了一半卷）中发展出来的理论的应用。下一代人已经采用了更加抽象的点观点。在 Fréchet 和 F. Riesz 关于一般拓扑的思想的影响下（参见 GT 的历史注记，第 I 章），E. Schmidt

\* 演算的变异自然会导致函数的同一个集合收敛到不同的概念（根据函数一致收敛的要求，或者函数及其导数的某个数一致收敛）；但希尔伯特定义的收敛模式在当时是全新的。 必须指出的是，直到1935年左右，“连续”函数通常意味着这是映射，它将每个收敛的序列转变为收敛的序列。 * 对于希尔伯特来说，如果每当序列 $(x_n), (y_n)$ 分别较弱地趋向于 x 和 y，则 B $(x_n, y_n)$ 趋向于 B(x, y)，则双线性形式 B(x, y) 是完全连续的。

(VII b) 和Fréchet本人，在1907-1908年间有意将欧氏几何语言引入到《希尔伯特空间》（实数或复数）中；正是在这些作品中，我们第一次提到了范数（及其现在的记号 $\|x\|$ ）、它所满足的三角形不等式，以及希尔伯特空间是“可分离的”和完备的这一事实；在加法中，E. Schmidt证明了正交投影在闭线性簇上的存在性，这使他能够为希尔伯特的线性系统理论提供更简单、更一般的形式。同样在 1907 年，Fréchet 和 F. Riesz 观察到平方可积函数的空间具有类似的“几何学”，几个月后，当 F. Riesz 和 E. Fischer 证明这个空间是完备的并且与“希尔伯特空间”同构时，这个类比得到了完美的解释，同时以醒目的方式展示了勒贝格新创造的工具值。从这一刻起，希尔伯特空间理论的本质点就可以认为已经实现了。在后来的发展中，必须提及 1930 年左右 M. H. Stone 和 J. von Neumann 对理论的公理化表述，以及 1934 年左右 Rellich、Löwig 和 F. Riesz (IX e) 工作的结果，删除了“可分离性”的限制。

与此同时，在20世纪的最初几年，其他思想流的出现并强化了导致规范空间理论的趋势。 “泛函”的总体思想（即在集合上定义的数值函数，其元素本身就是一个或多个实变量的数值函数）在 19 世纪最后几十年中一方面与变分的演算有关，另一方面与积分方程理论有关。但主要来自意大利语学校，围绕 Pincherle，尤其是 Volterra，产生了“操作员”的总体概念。这个学校的作品往往停留在相当形式化的层面，并且与特定的问题相关，因为缺乏足够深入的数学分析底层拓扑概念。 1903 年，Hadamard 开创了现代“拓扑”对偶性理论，在紧致区间上连续数值函数的空间 $\mathscr{C}(I)$ （赋予一致收敛的拓扑）上寻找最一般的连续线性“泛函”，他将这些特征描述为序列的极限积分 $x \mapsto \int_I k_n(t) \ x(t) \ dt.$

1907年，Fréchet和F. Riesz类似地证明了希尔伯特空间上的连续线性形式是希尔伯特引入的“有界”线性形式；然后在 1909 年，F. Riesz 将 Hadamard 的定理置于确定的形式中，将 $\mathscr{C}(I)$ 上的每个连续线性形式表示为 Stieltjes 整的，定理后来成为现代积分理论的起始点（参见《INT》第 1 章的历史注记）。 II-V）。

次年，F. Riesz (IX a) 在理论上再次取得了新的重要进展，通过引入和研究（以希尔伯特空间理论为模型）函数的空间 $L^p(I)$ 在区间I上的 $p$ -第幂可积（对于指数 $p$ 使得 $1 < p < + \infty$ )；三年后，这项研究又在序列空间 $\ell^p(\mathbf{N})$ (IX c) 上进行了类似的工作。正如我们稍后将看到的，这些研究对二元性思想的分类做出了巨大贡献，因为我们第一次在二元性中遇到了两个并非自然同构的空间*。

此后，F. Riesz 想到了一项包含所有这些结果的公理化研究（(IX a)、p. 452），似乎只是一位分析家急于不偏离经典数学的顾忌才阻止他在形式中撰写关于 Fredholm 理论 (IX d) 的 1918 年著名回忆录。在那里，他主要考虑了紧区间上连续函数的空间 $\mathscr{C}(I)$ ；但是之后定义了这个空间的范数，并指出赋予这个范数的 $\mathscr{C}(I)$ 是完整的，他在他的论证中没有使用除了完全规范的空间的公理之外的任何东西。在不详细考察本作品的情况下，我们提到在本作品*中首次以通用方式定义了完全连续的映射的概念（通过将邻域变换为相对的紧集的性质）；通过公理化数学分析的杰作，Fredholm的整个理论（就其定性方面而言）被简化为单个基本定理，即每个局部紧凑范数空间都是有限维的。

范数空间的一般定义由S. Banach、H. Hahn和E. Helly在1920-1922年给出（后者仅考虑实数的序列空间或复数）。在接下来的十年里，这些空间的理论主要围绕两个对应用具有根本重要性的问题发展：对偶性理论和与贝尔“范畴”的概念相关的定理。

我们已经看到，二元性（拓扑意义上的）思想起源于20世纪初；它是希尔伯特理论中的基础概念，并在 F. Riesz 的著作中占据了核心地位。后者，对于 1911 年观察到的例 ((IX b), p. 41-42)，关系 $|f(x)| \leq M \|x\|$ （在希尔伯特空间中作为“有界”线性泛函的定义）等价于该情况下 $f$ 的连续性空间 $\mathscr{C}(I)$ ，这已通过相当普遍的论证得到证明。关于 $\mathscr{C}(I)$ 上的连续线性泛函的刻画，他进一步观察到条件对于集合A在 $\mathscr{C}(I)$ 中是全的，是在I上不存在与A中所有函数“正交”的Stieltjes测度 $\mu \neq 0$ （因此推广Gram 的条件表示完全正交系统)；最后，在同一个

\* 尽管 $L^1$ 和 $L^\infty$ 之间的对偶性隐含在这个时代关于勒贝格积分的大多数著作中，但直到1918年，H. Steinhaus才证明 $L^1(I)$ （I有限区间）上的每个连续线性形式都是形式 $x \mapsto \int_I f(t) \ x(t) \ dt$ ，其中 $f \in L^\infty(I)$ 。

** 然而，F. Riesz 明确指出，他的定理到连续函数的应用只是更一般概念的“试金石”（(IX d)、p. 71）。

*** 在 $L^p$ 空间的研究中，F. Riesz 将完全连续的映射定义为变换每个弱收敛的序列变成强收敛的序列；在这种情况下，这（由于 $L^p$ 中的单位球的紧致性较弱，对于 $1 < p < + \infty$ ）相当于上面的定义；在加法中，F. Riesz指出，对于 $L^2$ 空间，他的定义相当于希尔伯特的定义（通过从线性映射的语言翻译为双线性形式的语言（（IX，a），p. 487））。

在工作中，他确定空间 $L^\infty$ 的对偶比Stieltjes措施的空间“更大”（（IXb），p. 62）。

另一方面，F. Riesz 在其关于空间 $L^p(I)$ 和 $\ell^p(\mathbf{N})$ 的工作中成功地修改了希尔伯特空间中线性系统的解方法，如E. Schmidt (VIII b) 所给出，以便适用于更一般的情况。 E. Schmidt 的想法在于通过在方程 (6) 表示的封闭线性簇中找到点来确定 (6) 的“极值”解，其距原点的距离最小。利用同样的想法，F. Riesz 证明了条件的充分必要，使得存在函数 $x \in L^p(a, b)$ 满足方程

\int_a^b \alpha_i(t)\, x(t)\, dt = b_i \quad (i = 1, 2, ...)

（其中 $\alpha_i$ 属于到 $L^q$ （与 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ），并且在加法 $\int_a^b |x(t)|^p dt \leq M^p$ 中，对于实数的每个有限序列 $(\lambda_i)_{1 \leq i \leq n}$ ，我们有

|\sum_{i=1}^n \lambda_i b_i| \leq M \left( \int_a^b |\sum_{i=1}^n \lambda_i \alpha_i(t)|^q dt \right)^{1/q}.

1911年（IXb），他以类似的方式处理了“广义矩的问题”，它由解和系统组成

\int_a^b \alpha_i(t)\, d\xi(t) = b_i \quad (i = 1, 2, ...)

其中 $\alpha_i$ 是连续的，未知数是 Stieltjes 测度 $\xi$ ；在这种情况下，很明显，问题可以通过说重述，它在于从空间中给定点的序列上的值确定 $\mathscr{C}(I)$ 上的连续线性泛函。正是在这个形式中，Helly在1912年处理了问题——通过范围更广的、相当不同的方法获得了F. Riesz的条件——并且他在1921年再次采用了更普遍的条件。介绍范数的概念（在序列空间），正如我们在上面看到的，他观察到

\* 经典的 « 问题矩 » 对应到间隔 ] $a, b$ 是 ] $0, + \infty$ 或 ] $- \infty, + \infty$ 的情况，并且其中 $\alpha_i(t) = t^i$ ；此外，人们还假设测度 $\xi$ 是正的（F. Riesz在他1911年的回忆录中指出，当寻求这种性质的解时，必须如何修改他的一般条件）。在经典矩问题的各种方法换解中，我们特别提到F. Riesz，他非常优雅地结合了泛函演算的一般思想和单复变量函数的理论，在 $b_i$ 上得到了显式的条件。（关于时刻的问题，3，数学方舟，t. XVII (1922-1923)，n° 16，第 52 页）

这个概念概括了 $n$ 维空间中凸体的“规格”，正如明可夫斯基在他关于“数几何”（IV）的著名著作中所使用的那样。在他的研究过程中，闵可夫斯基还定义了（在 $\mathbf{R}^n$ 中）超平面的支撑概念和“支撑函数”（IV $b$ ），并证明了在边界的每点处存在支撑超平面。凸体 ((IV $a$ ), p. 33-35)。 Helly将序列E的概念扩展到空间，赋予任意范数；他在序列 $u = (u_n)$ 的 E 和空间 E' 之间建立了对偶性，使得对于所有 $x = (x_n) \in E$ ，级数 $(u_n x_n)$ 是收敛的；令 $\langle u, x \rangle$ 表示这个级数的和，他用公式 $\sup_{x \neq 0} |\langle u, x \rangle| / \|x\|$ 定义了E'中的范数，这给出了有限维空间**中函数的支持。然后Helly证明了E中的系统(6)的解，其中每个序列 $u_i = (a_{ij})_{j \geq 1}$ 被假设为属于到E'，约化到以下两个问题的连续解析： 1. 在赋范的空间 E'上找到连续的线性形式L，使得每个指标 $i$ 都有 $L(u_i) = b_i$ ；正如他指出的，这导致条件或型 (10)； 2. 找出对于某些 $x \in E$ ，这样的线性形式是否可以写成 $u \mapsto \langle u, x \rangle$ 。他观察到，即使L存在，后者问题也不一定有解，并且他给出了一些足够的条件，这意味着在某些特定情况下解 $x \in E$ 的存在（X）。

1927 年，这些想法在 H. 的基本回忆录中得到了明确的形式。 Hahn (XI)，其结果被 S.（独立）重新发现。两年后的巴拿赫（XII $b$ ）。 Hahn 将 Minkowski-Helly 的方法应用于任意受范的空间，从而在对偶空间上定义（完整）受范的空间的结构；这立即使哈恩能够考虑规范化空间的连续对偶，并以一般方式构成反身空间的问题，正如Helly已经预见到的那样。但最重要的是，没有递增和范数的连续线性泛函的扩张的主问题肯定是由 Hahn 一般性地通过维数上的超限归纳的论证来解决的——从而给出了选择公理在泛函中的重要应用的第一个例之一数学分析***。对于这些结果，Banach 在连续线性映射及其转置之间添加了对关系的详细研究，通过弱闭上的深度定理，扩展到先前仅在 $L^p$ 空间 (IX $a$ ) 情况下已知的一般规范空间结果。对偶的子集（ $cf.$ IV，p. 25，cor.2）；这些结果可以用更引人注目的方式表达，即使用范数空间的商空间的概念，几年后由豪斯多夫和巴纳赫本人引入。最后，巴纳赫再次发现了单位球的弱紧性之间的关系（在几个特定的情况下观察到）

\* 与 F. Riesz ((IX $b$ ), p. 49-50) 一样，Helly 在他的证明中使用了选择的原理，这正是 Stieltjes 措施空间中单位球的弱紧性； F. Riesz 还在 $L^p$ 空间 ( $1 < p < + \infty$ ) 中使用了类似的性质。 要以这种方式获得范数，我们必须假设所有 $x \in E$ 的关系 $\langle u, x \rangle = 0$ 意味着 $u = 0$ ，正如Helly明确指出的那样。 * Banach 已经在 1923 年给出了类似的论证，用于定义平面上的不变测度（定义为*每个*有界子集）（XII $a$ ）。

情况，如上所述）和自反性，至少对于空间满足是可数性的第一个公理。自此，规范空间的对偶性理论的大致轮廓可以被认为已经确定。

在同一时期，一些看似矛盾的定理（其第一个例起源于1910年左右）得到了澄清。那一年，海灵格和托普利茨基本上证明了希尔伯特空间上有界双线性形式 $B_n(x, y)$ 的序列，其值 $B_n(a, b)$ 对于每个对 $(a, b)$ 都是有界的（数取决于 $a$ 和 $b$ 上的先验 $a$ ）实际上在每个球上都有统一的边界。他们的证明基于反证法论证，通过归纳构造一个特定的对 $(a, b)$ 违反了假设；从那时起，这个方法就被称为“滑翔凹凸”，并且在许多类似的问题中仍然有用（ $cf.$ IV、p. 54、练习 15）。 1905年，勒贝格用类似的方法证明了连续函数的存在，其傅里叶级数在某个点处发散；同年，他与 Hellinger 和 Toeplitz 再次使用方法，证明 $L^1$ 中弱收敛的序列有界于范数*。这些例在接下来的几年里成倍增加，但没有引入任何新的想法，直到1927年，Banach和Steinhaus（与Saks的部分合作）将这些现象与薄集合的概念和完全公制空间的贝尔的定理联系起来，从而获得了一般的断言，涵盖了之前所有的特殊情况（XIII）。在同一时期，对完全范数空间中“类别”问题的研究使巴纳赫在连续线性映射上得到了其他几个结果；最引人注目、当然也是最深刻的是“封闭图”定理，它与巴拿赫-斯坦豪斯定理一样，已成为现代功能数学分析（XIIb）的重要工具。

Banach 关于《线性算子》（XII c）的论文的出版标志着赋范空间理论的成熟。所有上述结果和许多其他结果都可以在本书中找到，虽然以一种有点杂乱的方式，但有许多引人注目的例来自数学分析的各个领域，这似乎预示着该理论的辉煌未来。这项工作取得了相当大的成功，直接的效果之一是该语言几乎被普遍采用，而巴纳赫使用了记号。但是，尽管过去 40 年在巴纳赫空间（XVII）上进行了数伟大的研究，如果排除巴纳赫代数的理论及其在交换和非交换调和数学分析的应用，那么该理论在伟大的问题上几乎完全没有新的应用古典的数学分析在某种程度上破坏了基于它的希望。

最富有成果的发展更多地是在与规范的空间概念相关的扩大和更深层次的公理数学分析的意义上发生的。

\* 还要观察 Landau 在 1907 年证明的类似（更简单）定理，它作为 F. Riesz 在他的 $L^p$ 空间理论中的起始点：如果级数与一般项 $u_n x_n$ 对于每个序列收敛 $(x_n) \in \ell^p(\mathbf{N})$ ，然后序列 $(u_n)$ 属于到 $\ell^q(\mathbf{N})$ （与 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ）。

尽管自 20 世纪初以来遇到的泛函空间通常看起来都被赋予了“自然”范数，但也有某些例外。 1910年左右，E. H. Moore通过替换提出了一致收敛的推广或概念，以及“相对一致收敛”的概念，其中0的邻域由函数 $f$ 满足关系组成 $|f(t)| \leq \varepsilon g(t)$ 、 $g$ 为函数， $> 0$ 无处不在，并且可能随邻域变化。另一方面，之前 1930 年，人们发现概念无法通过范数来定义，例如简单收敛、可测函数的测度收敛或整个函数的紧致收敛； 1926 年，Fréchet 观察到这种向量空间可以被度量化且完备。但这些更一般的空间理论只有在关系中借助凸性思想才能得到富有成效的发展。后者（已经出现在 Helly 的著作中）是 Banach 和他的学生进行的研究主题，他们认识到用几何方式解释赋范空间理论的几个结果的可能性，从而为 Kolmogoroff 和 J. von Neumann 在 1935 年给出的局部凸空间的一般定义铺平了道路。空间，特别是与二元性相关的问题，大多是在 1950 年提出的，在本书中我们介绍了这项研究的基本结果。在这方面，一方面，我们必须点在简单性和通用性方面取得进展，这是通过关注1930年至1940年间发展的一般拓扑的基本概念而实现的；其次，有界集合的概念的重要性，由柯尔莫戈洛夫和冯诺依曼于1935年提出，麦基（XIV）和格洛腾迪克（XVIII）的工作揭示了其在对偶理论中的基本作用。最后，可以肯定的是，推动这些研究的主要动力来自于在巴纳赫理论不起作用的领域中应用数学分析的新可能性：在这方面，我们提到自1934年以来由Köthe、Toeplitz和他们的学生在级数中开发的序列空间理论。回忆录 (XV)，重点关注 Fantappié 的“解析泛函”理论，尤其是 L 的分布理论。 Schwartz (XVI)，其中局部凸空间的现代理论发现了域的应用，这当然远未穷尽。

参考书目

(I)C。 Sturm：a) Sur les équations différentielles lineéaires du secondary order, Journ。德数学。 (1)，t。 I (1836), p. 106-186 ; b) Sur une classe d’opérations à différences partierles，同上，p. 373-444。 (II) J. Liouville : a) Sur le développement des functions or partys de fonctions en séries dont les divers 项 sont assujettis à satisfaire à une même équation différentielle du secondary contenant un paramètre variable, Journ.德数学。 (1)，t。 I (1836)，p. 253-265，t。 II (1837)、p. 16-35 等 418-436 ； b) D’un 定理 dû à M. Sturm et relatif à une classe de fonctions transcendantes，同上，t。 I (1836)，p. 269-277。 (III) J. P. Gram。 Ueber die Entwickelung reeller Functionen in Reihen mittelst der Methode der kleinsten Quadrate，J. de Crelle，t。 XCIV (1883)，p. 41-73。 (IV) H. Minkowski : a) Geometrie der Zahlen, 1re ed., 莱比锡 (Teubner), 1896 ; b) Theorie der konvexen Körper, Gesammelte Abhandlungen, t。 II，p. 131-229，莱比锡-柏林（Teubner），1911。（Réimpression，纽约（切尔西），1967。） (V) H. Poincaré : a) Sur les équations de la Physique mathématique, Rend。巴勒莫，T. VIII (1894), p. 57-156 (= Œuvres, t. IX, p. 123-196, 巴黎 (Gauthier-Villars), 1954) ; b) 诺伊曼方法和狄利克雷问题，数学学报，t。 XX（1896），p. 59-142（=Œuvres，t.IX，p. 202-272，巴黎（Gauthier-Villars），1954）。 (VI)I。 Fredholm，《函数类方程》，《数学学报》，t。 XXVII (1903)，p. 365-390。 (VII) D. Hilbert, Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen, 纽约 (切尔西), 1953 (= Gött. Nachr., 1904, 1905, 1906, 1910)。 (VIII) E. Schmidt：a) Zur 线性和非线性积分理论。 I。 Teil：Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener，数学。安，t。 LXIII (1907), p. 433-476 ; b) Ueber die Auflösung Linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, Rend。巴勒莫，T. XXV (1908)，p. 53-77。 (IX) F. Riesz：a) Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen，数学。安，t。 LXIX (1910), p. 449-497 ; b) Sur certains systèmes singuliers d’équations intégrales, Ann。例如。范数。高级。 (3)，t。 XXVIII (1911), p. 33-62 ; c) Les systèmes d’équations lineaires à une infinité d’inconnues，巴黎（Gauthier-Villars），1913 年； d) Ueber Lineare Funktionalgleichungen，数学学报，t。 XLI (1918), p. 71-98 ; e) Zur Theorie des Hilbertschen Raumes，Acta litt。交流科学。（塞格德），t。 VII（1934-35），p. 34-38。 (X) E. Helly，Ueber Systeme Linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten，Monatshefte für Math。和物理学，t。 XXXI (1921)，p. 60-91。 (XI) H. Hahn，线性 Räumen 中的 Ueber Lineare Gleichungssysteme，J. de Crelle，t。 CLVII (1927)，p. 214-229。 (XII) S. Banach : a) Sur le problème de la mesure, Fund。数学。，t。 IV (1923), p. 7-33 ; b) Sur les fonctionnelles lineéaires, Studia Math., t. I (1929)、p. 211-216 等 223-239 ； c) Théorie des opérations lineéaires，华沙，1932 年。（Réimpression，纽约（切尔西），1963 年。） (XIII) S. Banach 等 H. Steinhaus，Sur le principe de condensités单一，基金。数学。，t。 IX (1927)，p. 50-61。 (XIV) G. W. Mackey : a) 关于无限维线性空间，Trans。阿米尔。数学。社会学家，t。 LVII (1945), p. 155-207 ; b) 在凸拓扑空间上，Trans。阿米尔。数学。社会学家，t。 LX（1946），p. 519-537。 (XV) G. Köthe，Neubegründung der Theorie der volkommenen Räume，数学。纳赫。，t。 IV（1951），p. 70-80。 (XVI)L。 Schwartz，《发行理论》，第 2 版，巴黎（赫尔曼），1966 年。 (XVII) J. Lindenstrauss 和L。 Tzafriri，古典巴纳赫空间，t。 I，柏林-海德堡-纽约（施普林格），1977 年。 (XVIII) A. Grothendieck：a) Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires，Mem。阿米尔。数学。社会学会，n° 16 (1955)； b) Espaces vectoriels topologiques，第 3e 版，圣保罗（Publ. Soc. Mat. São Paulo），1964 年。