对于所有 $x \in E$ 和所有 $y \in F$。从$\mathscr{L}(E, F)$到$\mathscr{L}(F; E)$的映射$u \mapsto u^*$是双射、等距和半线性的（相对于K的自同构$\xi \mapsto \overline{\xi}$）。

令$\mathscr{S}(E, F)$为$E \times F$上所有连续倍半线性形式的空间，赋予范数

我们定义空间$\mathscr{S}(F, E)$类似。我们定义了（V，p. 16，cor.2）从$\mathscr{L}(E; F)$到$\mathscr{S}(F, E)$的Banach空间同构，用$u \mapsto \Phi_u$表示，其特征为

以类似的方式，我们从 $\mathscr{L}(F, E)$ 定义同构到 $\mathscr{S}(E, F)$。最后我们从 $\mathscr{S}(F, E)$ 定义映射 $\Phi \mapsto \Phi^*$ 到$\mathscr{S}(E, F)$

这个映射是双射、半线性和等距的。但公式 (1) 翻译为$\Phi_{u^*} = (\Phi_u)^*$，因此是命题。

(11)

通过道具。 1、$\|u^*\| = \|u\|$，因此$\|u^*u\| \leq \|u^*\|\cdot\|u\| \leq \|u\|^2$。另一方面，

因此$\|u^*u\| = \|u\|^2$。 替换$u$乘以$u^*$，我们得到$\|uu^*\| = \|u^*\|^2$，因此从$\|u\| = \|u^*\|$开始有(11)。

令$E_1, ..., E_n$和$F_1, ..., F_n$为希尔伯特空间，对于1和$n$之间的每个整数$i$，令$u_i$为从$E_i$到$F_i$的连续线性映射。然后

(12)

令 $v$ 为连续线性映射 $u_1 \hat{\otimes}_2 ... \hat{\otimes}_2 u_n$

以及$w$从$F$到$E$连续的线性映射$u_1^* \hat{\otimes}_2 ... \hat{\otimes}_2 u_n^*$。对于$x \in E$和$y \in F$证明等式$\langle y|v(x)\rangle = \langle w(y)|x\rangle$就足够了。通过线性和连续性，我们约化到$x$和$y$有以下形式的情况

$x_i \in E_i$ 和 $y_i \in F_i$ 代表 $1 \leq i \leq n$。从张量积中标量乘积的定义 (V, p. 27, 公式 (6))，我们得到

这证明了我们的断言。

令$E$和$F$是两个希尔伯特空间、$u \in \mathscr{L}(E ; F)$和$n$正整数。如果我们将$u_1 = ... = u_n = u$放入公式（12），我们得到的结果是，从$\hat{T}^n(F)$到$\hat{T}^n(E)$的连续线性映射$\hat{T}^n(u^*)$是从$\hat{T}^n(E)$到线性映射$\hat{T}^n(u)$的伴随物$\hat{T}^n(F)$。 公式

可以按照与公式 (12) 相同的方式建立，考虑到 $\hat{S}^n(E)$ (V, p. 30, 公式 (15)) 和 $\hat{\Lambda}^n(E)$ (V) 中标量乘积的定义， p. 33、公式 (26))。

(i) $u$ 是拓扑向量空间同构，其逆等于 $u^*$； (ii) $u$ 是满射且 $u^*u = 1_E$； (iii) $u$ 是单射且 $uu^* = 1_F$； (iv) $u$是范数空间的同构； (v) $u$ 是希尔伯特空间同构。

条件 (1) 意味着我们有 $u^*u = 1_E$ 和 $uu^* = 1_F$。因此，(i)、(ii) 和 (iii) 的等价由 E、II, § 3, No. 8 命题得出。 8. 我们已经看过(iv)和(v)的等价（V，p. 5）。最后，关系$u^*u = 1_E$相当于

$^1$ 参见 P. A. M. Dirac，《量子力学》，牛津大学出版社，纽约，1935 年。

$\langle x|u^*u(y)\rangle = \langle x|y\rangle$，即$E$中的所有$x, y$到$\langle u(x)|u(y)\rangle = \langle x|y\rangle$，显然意味着$u$是单射的；这就证明了(ii)和(v)的等价。

希尔伯特空间$E$的自同构也称为*酉算子*，即算子$u \in \mathscr{L}(E)$满足$uu^* = u^*u = 1_E$。

(ii) 假设$E = F$。令 $M$ 为 $E$ 的闭向量子空间，且$M^\circ$ 与其正交。 关系 $u(M) \subset M$ 和 $u^*(M^\circ) \subset M^\circ$ 等效。

令$Q = \overline{u(E)}$为$u$的最终子空间。 $F$中$Q$的正交$Q^\circ$由所有向量$y$组成，使得$\langle u(x)|y\rangle = 0$对于所有$x \in E$；这相当于：对于所有$x \in E$，$\langle x|u^*(y)\rangle = 0$，或$u^*(y) = 0$。因此我们有$Q^\circ = \mathrm{Ker}\, u^*$，$Q$是$u^*$的初始子空间。由于$u$是$u^*$的伴随，$u^*$的最后一个子空间也是$u$的初始子空间。这就证明了(i)。

关系$u(M) \subset M$意味着$u(M)$与$M^\circ$正交，关系$u^*(M^\circ) \subset M^\circ$意味着$u^*(M^\circ)$与$M$正交。但对于所有 $x \in M$ 和 $y \in M^\circ$，我们都有 $\langle u(x)|y\rangle = \langle u^*(y)|x\rangle$；因此 (ii) 如下。

我们注那个道具。 4可以根据注3、V、p. 41从转置（II、p. 51、cor.2）的一般性质推导出来。

(i) 映射 $u^* \in \mathscr{L}(F; E)$ 部分等轴测，初始子空间 $Q$ 和最终子空间 $P$。由 $u$ 引起的从 $P$ 到 $Q$ 的同构是由 $u^*$ 引起的从 $Q$ 到 $P$ 的同构的倒数。

(ii) 我们有 $u^*u = p$ 和 $uu^* = q$。

由于道具。 4(i)，断言(i)是(ii)的推论。

我们现在证明(ii)。从$u^*$的$P$包含像开始，映射$u^*u$映射$E$变为$P$。设 $x \in E$ 和 $y \in P$，则

如果 $x$ 属于到 $P$，则部分等距映射的 $\langle u(x)|u(y) \rangle = \langle x|y \rangle$ 乘定义；如果$u$的$x$属于到核$N$，则$u(x) = 0$，因而$\langle u(x)|u(y) \rangle = 0$和$\langle x|y \rangle = 0$，因为$N$和$P$是正交的。从$E = P \oplus N$开始，在所有情况下我们都有$\langle u^*u(x) - x|y \rangle = 0$，因而$u^*u$是从$E$到$P$的正射投影$p$。上面的$uu^* = q$后面是交换、$u$和$u^*$。

(i) $u$ 部分等距； (ii) $u^*$ 部分等轴测； (iii) $u^*u$ 是正射投影仪； (iv) $uu^*$ 是正射投影仪； (v) *$uu^*u = u ;*$ (六) *$u^*uu^* = u^* .*$

通过道具。 5、(i)相当于(ii)。

(i) $\Rightarrow$ (v) ：假设 $u$ 是部分等距的。那么$u^*u$就是$u$通过prop的初始正射投影。 5. 因此，对于$u$中的每个$x \in E$，$u^*u(x) - x$属于到核，即$uu^*u(x) = u(x)$。

(v) $\Rightarrow$ (iii) : 假设$uu^*u = u$并设$p = u^*u$；然后是$p = p^*$和$p^2 = p$。令$M$（或$N$）为$p$的像（或核）。对于$x \in M$和$y \in N$，我们有$\langle x|y \rangle = \langle p(x)|y \rangle = \langle x|p^*(y) \rangle = \langle x|p(y) \rangle = 0$。由于 $M$ 和 $N$ 正交，因此 $p$ 是从 $E$ 到 $M$ 的正射投影。

(iii) $\Rightarrow$ (i) : 假设 $p = u^*u$ 是具有像 $M$ 和核 $N$ 的正射投影仪。

对于所有$x \in E$，我们有

因此，$u(x) = 0$代表$x \in N$，$\|u(x)\| = \|x\|$代表$x \in M$，因此$u$与核$N$和初始子空间$M$部分等距。

我们已经证明了(i)、(iii)和(v)的等价。 替换 $u$ 由$u^*$，可推导出(ii)、(iv)、(vi)的等价。这证明了。 6.

我们在 $E$ 定义厄米特形式 $\Phi$

要使$u$正常，$\Phi = 0$是必要且充分的。通过极化公式（V，p. 2），这相当于所有$x \in E$的$\Phi(x, x) = 0$。 命题现在跟随

命题7表明$u$和$u^*$有相同的核$N$。通过道具。 4、(ii) V、p. 41、$E$的子空间$M$在$u$和$u^*$下是稳定的，因为对于$N = M^\circ$也是如此，因为$M \cap N = \{0\}$、自同态由$M$引起$u$ 和 $u^*$ 是单射的。令 $v = u^m(u^*)^n$；前面的论证表明，$v$到$M$（或$N$）的限制是单射的（或空），因而$N$是$v$的核。因而，$M = N^\circ$是$v$的初始子空间。通过道具。 4、(i)V、p. 41，$v$最后的子空间等于$v^*$最初的子空间。但是$v^* = u^n(u^*)^m$，所以$v^*$的初始子空间等于前面的$M$。

c) u 相对于 $\lambda$ 的主子空间（在其他字中，通过 LIE，E 的所有向量 $x$ 的VII, § 1, No. 1、集合，其中存在整数 $n \geqslant 0$，使得 $(u - \lambda.1_E)^n(x) = 0$）； d) ** $u^*$ *主要子空间 相对于 $\overline{\lambda}$。

很明显，$w = u - \lambda.1_E$是E的正常自同态，因此E的自同态$w, w^* = u^* - \overline{\lambda}.1_E, w^n$和$(w^*)^n$通过prop具有相同的核。 8.

放入$\Phi = \Phi_u$和$c = \sup_{\|x\| \leqslant 1} |\Phi(x, x)|$，显然是$c \leqslant \|u\|$。令$x, y$在E中使得$\|x\| \leqslant 1, \|y\| \leqslant 1$。然后

因而 但 $|\Phi(t, t)| \leqslant c\|t\|^2$ 对于所有 $t \in E$，因而 让$a = \Phi(x, y)$；存在复数 $\lambda$ 且绝对值 1 使得

λa = |a|。 替换 y 除以前面不等式中的λy，我们得到$|\Phi(x, y)| \leq c$。根据 (15)，可得到 $\|u\| \leq c$ 和命题。 Q.E.D.

显然每个厄米特自同态都是正常的。反之：

对于，关系 « $u = h_1 + ih_2,\ h_1^* = h_1,\ h_2^* = h_2$ » 相当于

在加法，我们有$h_1 h_2 - h_2 h_1 = \frac{i}{2}(uu^* - u^*u)$。这证明了。 10.

假设$p^2 = p$。设 M 为 p 的像，N 为核。 E 是 M 和 N 的拓扑直和。在阶中，p 是正交投影，M 与 N 正交是充分必要的，也就是说，对于 E 中的所有 x、y，我们有 $\langle p(x)|y - p(y) \rangle = 0$。后者关系相当于 $p = p^*p$，并且意味着： $p^* = (p^*p)^* = p^*p = p$；相反，如果$p^* = p$，我们就有$p = p^2 = p^*p$。

因为，我们有$(vuv^*)^* = v^{**}u^*v^* = vuv^*$。另一方面，如果$u \geq 0$，我们有

对于所有$y \in F$，因此$vuv^* \geq 0$。

命题 12 特别表明，$vv^*$ 对于所有$v \in \mathscr{L}(E; F)$ 都是正数。特别是，由于正射投影$p$满足$p = p^2 = pp^*$，因此它是正的。

(i) 集合$\mathscr{F}$在$\mathscr{H}(E)$中有上界$u_0$；我们有

(ii) $\mathscr{F}$的截面滤波器在空间$\mathscr{L}(E)$中收敛到$u_0$，赋予拓扑简单收敛性。

设$\Sigma$为$\mathscr{F}$的截面的滤波器；对于每个 $u \in \mathscr{H}(E)$，令 $\Phi_u$ 为 $E$ 上的连续厄米特形式定义为

让 对于 $u \in \mathscr{H}(E)$ 和 $x \in E$。通过极化公式 (V, p. 2)，我们有

对于每个$x \in E$，从$\mathbf{R}$到映射$u \mapsto \Psi_u(x)$是递增并且有界，因此相对于$\Sigma$有极限。由前面的公式、极限

存在于对$(x, y)$/元素/$E$。很明显，$\Phi$在$E$上是厄米特形式。如果$v_1 \in \mathscr{F}$和$v_2$是$\mathscr{F}$的界限，则厄米特形式$f_1 = \Phi - \Phi_{v_1}$和$f_2 = \Phi_{v_2} - \Phi$为正；存在实数 $M \geq 0$ 使得 因而 因此半范数$x \mapsto f_i(x, x)^{1/2}$在$E$上连续。自从 我们结论知道$x \mapsto \Phi(x, x)$是$E$上的连续函数，并且通过公式（19）和（20），$\Phi$在$E \times E$上连续。因而，存在$\mathscr{H}(E)$的(V，p. 16，cor.2)元素$u_0$使得$\Phi = \Phi_{u_0}$。显然满足公式(18)，因而$u_0$是$\mathscr{H}(E)$中$\mathscr{F}$的上界。这就证明了(i)。

我们已经，到构造

让$v_1 \in \mathscr{F}$；给定一个$u \in \mathscr{F}$使得$u \geq v_1$，让$v = u_0 - u$。如果我们将柯西-施瓦茨不等式应用于$E$上的正厄米特形式$\Phi_v$，我们得到 从 $\|v\| \leq \|u_0 - v_1\|$ 到 V、p. 44，道具。 9. 然后通过(21)我们得到所有$x \in E$的$\lim_{u,\Sigma} \|(u_0 - u)(x)\| = 0$；这就证明了断言 (ii)。

特别是，道具。 13可以应用于递增和$\mathscr{H}(E)$的元素有界序列$(u_n)_{n \in \mathbf{N}}$的情况。那么存在$\mathscr{H}(E)$的元素$v$，其特征为

我们为所有 $x \in E$ 提供了 $v(x) = \lim_{n \to \infty} u_n(x)$。另外，$v$是$\mathscr{H}(E)$中的$u_n$的集合上界。