习题 24, § 1

在维数 $\geqslant 3$ 的实数范数空间 E 中，我们说向量 $y$ 是向量 $x$ 的准正规矩阵，如果对于每个标量 $\lambda$，我们有 $\|x + \lambda y\| \geqslant \|x\|$。 a) 证明，如果关系 « $y$ 准正规于 $x$ » 在 $x, y$ 中对称，则 E 上的范数是前希尔伯特（表明 V、p. 65 的条件，执行 22 满足）。 b) 证明同样的结论成立，如果对于 E 中的每个闭齐次超平面 H，都存在向量 $\neq 0$，它对 H 的所有向量拟正规。（同样的方法，将 E 的 2，III, § 2, No. 4 应用于连续投影算子范数 1 从向量子空间包含 P 到齐次平面 P 上，这些投影按扩张的关系线性排序。） c) 证明如果对于 E 中的每个向量 $x \neq 0$，存在一个闭超平面 H，使得 $x$ 对 H 的所有向量拟正规。（约化对于 E 为维数 3 的情况，并应用 V， p. 65，执行 22 到 E) 的对偶。 d) 表明，如果当 $z$ 准正规于 $x$ 和 $y$ 时，则 $z$ 准正规于 $x + y$（应用 V、p. 65，执行 22）。