例 1 07XB

形式 $(\lambda, \mu) \mapsto \overline{\lambda} \mu$ 定义 $K$ 上的前希尔伯特结构，据说是*规范*。当$K$被认为是前希尔伯特空间时，我们总是意味着除非，否则提到它有这个结构。

例 2 07XC

令$I$为$\mathbf{R}$中的一个区间（有界或无界），并令$E$为函数（FVR，II，p. 4）在$I$上定义的集合，其中值在$\mathbf{C}$，具有紧凑的支撑。显然，$E$比$\mathbf{C}$弱于向量空间；设 $f$ 为倍半线性形式 $(x, y) \mapsto \int_1^1 \overline{x(t)}\ y(t)\ dt$； 直接的$f$是$E$上的正厄米特形式，因此定义在空间上是前希尔伯特结构。

例 3 07XD

设$n \geqslant 0$为整数。我们定义前希尔伯特空间结构在空间$K^n$，通过厄米特形式

（对于 $x = (x_1, ..., x_n)$ 和 $y = (y_1, ..., y_n)$）。当$K$为$\mathbf{R}$时，我们看到这只是$\mathbf{R}^n$的两个向量的标量乘积（GT，VI, § 2, No. 2）。

例 4 07XE

令$\ell^2$（或$\ell^2(\mathbf{N})$）为$K$的序列$x = (x_n)_{n \in \mathbf{N}}$或元素的集合，使得$\sum_{n=0}^\infty |x_n|^2$是有限的。通过厄米特形式 $(x, y) \mapsto \sum_{n=0}^\infty \overline{x_n} y_n$，可以证明$\ell^2$是$K^\mathbf{N}$的向量子空间，定义是$\ell^2$上的前希尔伯特空间结构 （cf.V、p. 18）。

引用了 1

引用了 V § 2. 。希尔伯特矩阵中的正交族空间

例 5 07XF

令 $E$ 为真正的前希尔伯特空间，$f$ 相应的在$E$ 上对称双线性形式。令$E_{(c)}$为$E$的向量空间复化；我们将认同$E$和$E_{(c)}$的子集乘以映射$x \mapsto 1 \otimes x$，这样$E_{(c)}$的每个元素都可以唯一地写成$x_1 + ix_2$和$x_1, x_2$ $E$。 映射 $f$ 扩展 $E_{(c)}$ 上的厄米特形式 $f_{(c)}$ 独有；我们有，

特别是，我们有

因而 $f_{(\mathbf{C})}$ 为正。我们说 $E_{(\mathbf{C})}$ 和 $f_{(\mathbf{C})}$ 是 $E$ 的*前希尔伯特空间复化*。

每当仅考虑向量空间 $E$ 上的一个前希尔伯特空间结构时，值，对 $(x, y)$，点，$E$，厄米特形式，其中定义，所述结构表示为$\langle x|y \rangle_E$或简称为$\langle x|y \rangle$，如果不会引起混淆的话。这个数称为$x$和$y$的*标量乘积* $^1$（如果$y = x$则为$x$的*标量平方*）。如果 $\langle x|y \rangle = 0$，则两个向量 $x, y$ 被称为“正交”。 函数 $x \mapsto \|x\| = \langle x|x \rangle^{1/2}$ 是向量空间 $E$ (V, p. 3) 上的*半范数*；前希尔伯特空间始终被认为具有分配给它的半范数（因此也具有相应的拓扑和均匀结构）。

有了这些记号，在前希尔伯特空间$E$中，柯西-施瓦茨不等式可以写成

因而，标量乘积是$E \times E$上的*连续倍半线性形式*（II，p. 5，道具4）。

在阶中，$E$是Hausdorff，$x \mapsto \|x\|$是$E$上的*范数*是充分必要的；在其他字中，厄米特形式 $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ 为正且分离；这相当于说，*$0$是$E$中唯一的向量，它与自身正交*。

根据一般定义（S，IV, § 1, No. 5），同构从前希尔伯特空间$E$到前希尔伯特空间$F$是双射线性映射$u$从$E$到$F$ 这样

对于$E$中的每个$x$和$y$。由此我们推断，对于所有$x \in E$，$\|u(x)\| = \|x\|$，对于$E$和$F$的拓扑向量空间结构，$u$显然是同构；如果$E$和$F$是Hausdorff，则$u$是从$E$到$F$的*等距*。相反，如果$u$是从$E$到$F$的双射线性映射，使得$\|u(x)\| = \|x\|$对于所有$x \in E$，则极化公式（V，p. 2）表明$u$是前希尔伯特空间同构从$E$到$F$。

令$E$为*复*前希尔伯特空间，而$\langle x|y \rangle$为$E$中的标量乘积。在集合$E$，我们可以定义相对于$\mathbf{C}$第二个向量空间结构，采用与加法群相同的律以及外部合成$(\lambda, x) \mapsto \overline{\lambda} x$的律 （A，II, § 1, No. 13）对于这个向量空间结构，$(x, y) \mapsto \langle y|x \rangle$是*正厄米特

1 可能会发生有时，我们将$(x|y)$写成$\langle y|x \rangle$。观察V、p. 2的公式 (4)，取以下等价的形式：

形式。通过将新的向量空间结构和新的厄米特形式分配给 E 获得的前希尔伯特空间 $\overline{E}$ 被认为是共轭到 E。 同构 $u$ 从 E 到$\overline{E}$是从E到自身的半线性映射（相对于$\mathbf{C}$的自同构$\xi \mapsto \overline{\xi}$），使得$\langle u(y)|u(x) \rangle = \langle x|y \rangle$或$\langle u(x)|u(y) \rangle = \overline{\langle x|y \rangle}$（对于E中的$x, y$）；这样的映射被认为是前希尔伯特空间 E 的半自同构。

如果 E 是预希尔伯特空间，E 的 M 向量子空间，标量乘积 $\langle x|y \rangle$ 到 $M \times M$ 的限制是 M 上的正厄米特形式，则M 上的定义前希尔伯特空间结构；我们说这个结构是由E的结构诱导的，或者说M是E的前希尔伯特子空间。

引用了 2

引用了 IV § 1. 。二元性, II § 1. 。半规范

例 1 07XH

V、p. 4 的例 1、3、4 中定义的前希尔伯特空间是希尔伯特空间。另一方面，例 2 中定义的前希尔伯特空间既​​不是豪斯多夫，也不完整。希尔伯特空间的*复化*是希尔伯特空间。

例 2 07XI

\* 令X为豪斯多夫拓扑空间，并令$\mu$为X的正测度。令$L^2(X, \mu)$为等价类的空间由……组成，对于$\mu$，X上的所有平方$\mu$可积函数与$\mathbf{C}$中的值可积函数。这是一个复希尔伯特空间，其标量乘积由下式给出

例 3 07XJ

\* 令 $n \geqslant 1$ 为整数，并令 U 为 $\mathbf{R}^n$ 中的开集合。令 $\mu$ 为由 $\mathbf{R}^n$ 上的勒贝格测度导出的 U 测度，并放入 $\mathscr{H}^0 = L^2(U, \mu)$。让 $\mathscr{H}^1$ 表示所有函数 $f \in \mathscr{H}^0$ 中的空间以及以下性质；对于 $1 \leqslant i \leqslant n$，存在函数 $g_i \in \mathscr{H}^\circ$ 使得

对于类 $C^1$ 的每个函数 $h$，在 U 中具有紧凑支持。函数 $g_i$ 相对于 $\mu$ 唯一定义到等价，并由 $D_i f$ 或 $\partial f / \partial x_i$ 表示（i 偏导数）。在整数$s \geqslant 1$上的归纳，我们将定义$\mathscr{H}^s$作为所有函数$f \in \mathscr{H}^1$中的集合，这样$D_i f \in \mathscr{H}^{s-1}$对于$1 \leqslant i \leqslant n$。我们通过公式在$\mathscr{H}^s$上得到定义标量乘积

那么 $\mathscr{H}^s$ 是一个复希尔伯特空间，称为指标 s 的 Sobolev 空间。

例 4 07XK

\* 设X是类$C^r$（与$r \geqslant 1$）的纯有限维$n$的微分变体。

在向量纤维空间$\Lambda^n T(X)$中，令L为零截面的补集。对于每个实数$\lambda \neq 0$，从$\Lambda^n T(X)$到自身的映射$u \mapsto \lambda u$，L都是稳定的。

令$\alpha$为复数。 L 上的复数值为函数 $\omega$，使得 $u \in L$ 的 $\omega(\lambda u) = |\lambda|^{\alpha} \omega(u)$ 和任何非零实数 $\lambda$ 称为阶 $\alpha$ 的密度 X。如果存在X的开盖$(U_i)_{i \in I}$，并且对于$U_i$上坐标$\xi_i = (\xi_i^1, ..., \xi_i^n)$的每个$i \in I$系统和复数值，我们说阶1的密度$\omega$是局部可积的函数$f_i$关于$\xi_i(U_i)$满足以下条件：

a) 函数 $f_i$ 对于勒贝格测度 $\mu$ 在$\mathbf{R}^n$ 的开集合 $\xi_i(U_i)$ 上是局部可积的；

b) 设 $x \in U_i$；如果$(\partial_{1,i,x}, ..., \partial_{n,i,x})$是$T_x X$的基与$U_i$中坐标$(\xi_i', ..., \xi_i^n)$的系统相关联，我们有

那么，X上存在且仅有一个测度$\tilde{\omega}$，使得对于$i \in I$，$\tilde{\omega}$到$U_i$的限制的$\xi_i$下的像等于测度$f_i \cdot \mu$（cf.） VAR，R，10.4.3）。

令$\mathscr{V}$（或$\mathscr{N}$）为可测量密度$\omega$为阶1/2的向量空间，使得与阶1的密度$|\omega|^2$相关的测量是有界的（或空）。设$\omega_1$和$\omega_2$在$\mathscr{V}$中；那么$\omega = \overline{\omega_1} \omega_2$是阶1的密度，并且与$\omega$相关的测度$\tilde{\omega}$是有界的； 数$\int_X \tilde{\omega}$仅取决于$\omega_1$和$\omega_2$模$\mathscr{N}$的类、$\dot{\omega}_1$和$\dot{\omega}_2$，并用$\langle \omega_1 | \omega_2 \rangle$或$\langle \dot{\omega}_1 | \dot{\omega}_2 \rangle$表示。然后映射$(\dot{\omega}_1, \dot{\omega}_2) \mapsto \langle \dot{\omega}_1 | \dot{\omega}_2 \rangle$将复希尔伯特空间结构分配给向量空间$\Omega_{1/2}(X) = \mathscr{V}/\mathscr{N}$。

例 5 07XL

\* 设 D 为 $\mathbf{C}$ 中中心 0、半径为 1 的开圆盘。 Hardy 空间 $H^2(D)$ 由所有全纯函数 $f : D \to \mathbf{C}$ 组成，其中

如果 $f_1$ 和 $f_2$ 属于到 $H^2(D)$，极限 存在； 映射 $(f_1, f_2) \mapsto \langle f_1 | f_2 \rangle$ 将复希尔伯特空间结构分配给向量空间 $H^2(D)$。

对于函数$f : D \to \mathbf{C}$到属于到$H^2(D)$，存在复数的序列$(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$使得$\sum_{n=0}^\infty |a_n|^2 < + \infty$是必要且充分的

对于所有$z \in D$。然后我们有 $\|f\|^2 = \sum_{n=0}^\infty |a_n|^2$，它将 $H^2(D)$ 的同构转换为希尔伯特空间 $\ell^2$（V，p. 4）。

每个 Hausdorff prehilbertian 空间都同构于直到同构的希尔伯特空间的处处稠密子空间。准确地说：

例 7 07XO

令 G 为群（其中单位元 1）和 $\pi$ 同态，从 G 到复数希尔伯特空间 E 的自同构的群；我们说 $\pi$ 是 E 中 G 的*酉表示*。令 $a \in E$ ；我们把

对于所有$x \in G$。那么$\phi : G \to \mathbf{C}$是*正定*，另外字满足关系：

(PD) 对于$\mathbf{C}$中的每个$\lambda_1, ..., \lambda_n$和$G$中的$x_1, ..., x_n$，我们有

事实上，(11)的第一个成员正是$\| \sum_{i=1}^n \lambda_i \pi(x_i) . a \| ^2$。

相反，令$\phi$为$G$上的正定函数。令$C^{(G)}$为所有函数中的向量空间，其中有限支撑位于$G$上。我们于 $G$ 定义厄米特形式 $\Phi$

关系(PD)表示$\Phi$为正。由道具的推论。 4、存在希尔伯特空间$E$和线性映射$\rho : C^{(G)} \to E$，以及稠密的像，使得

对于每个$x \in G$，令$\gamma_x$为$C^{(G)}$中$x$的左平移，由$\gamma_x u(y) = u(x^{-1} y)$为$u \in C^{(G)}$和$y \in G$定义。我们有$\Phi(\gamma_x u, \gamma_x v) = \Phi(u, v)$。现在应用 prop 推论的断言 b)。 4到$\rho$和$\rho \circ \gamma_x$：希尔伯特空间$E$存在唯一的自同构$\pi(x)$，使得$\rho \circ \gamma_x = \pi(x) \circ \rho$。我们立即看到，$\pi$是同态，从$G$到自同构到$E$的群。

令 $\delta$ 为 $C^{(G)}$ 的元素，由 $\delta(1) = 1, \delta(x) = 0$ 对于 $G$ 中的 $x \neq 1$ 定义。我们对所有 $u \in C^{(G)}$ 都有 $u = \sum_{x \in G} u(x) . \gamma_x \delta$，因此通过放入 $a = \rho(\delta)$ 可以得到 $\rho(u) = \sum_{x \in G} u(x) \ \pi(x) . a$。

公式 (12) 和 (13) 意味着$\phi(x) = \langle a|\pi(x).a \rangle$ 对于所有 $x \in G$。我们注，所有$x \in G$的向量$\pi(x).a$中的集合总计为$E$。