习题 4, § 4

令 $E$ 为有限维 $d$ 的复希尔伯特空间。 a）对于$\mathscr{L}(E)$（V，p. 45）中的每个$u \geq 0$，证明$\mathscr{L}(E)$中存在唯一的$v \geq 0$，使得$u = v^2$（对$u$）；我们写$v = u^{1/2}$。

b) 对于每个$u \in \mathscr{L}(E)$，放入$\operatorname{abs}(u) = (u^*u)^{1/2}$。证明 $u$ 和 $\operatorname{abs}(u)$ 具有相同的范数，并且对于每个整数 $n \leq d$，我们都有 $\operatorname{abs}(\Lambda^n(u)) = \Lambda^n(\operatorname{abs}(u))$。 c) 设$s_1(u) \geq s_2(u) \geq \ldots \geq s_d(u) \geq 0$为$\operatorname{abs}(u)$的特征值中的序列，并用重数的阶进行计算。显示 $\|u\| = s_1(u)$ 以及每个整数 $n \leq d$、$\|\Lambda^n(u)\| = s_1(u) s_2(u) \ldots s_n(u)$。在阶中，$\|\Lambda^n(u)\| = \|u\|^n$对于所有$n$使得$1 \leq n \leq d$，$u^*u$是位似是充分必要的，在其他字中，$u$是酉算子的标量倍数。