习题 5, § 4

令$E, F$是两个希尔伯特空间，$u$是从$E$到$F$的连续线性映射。让$\ell(u)$表示所有$x \in E$中的集合，使得$\|u(x)\| = \|u\| \cdot \|x\|$。 a) 证明$\ell(u)$是$E$的闭向量子空间，即$u^*u - \|u\|^2 1_E$的核，并且与$u$的核正交。 b) 证明$u$到$\ell(u)$的限制是从$\ell(u)$到$\ell(u^*)$的双射，其中逆双射是$\|u\|^{-2} u^*$到$\ell(u^*)$的限制；而且$u$下的正交补$(\ell(u))^{\circ}$的像包含在$(\ell(u^*))^{\circ}$中。如果$u_1$是$u$到$(\ell(u))^{\circ}$的限制，视为从$(\ell(u))^{\circ}$到$(\ell(u^*))^{\circ}$的映射，则伴随$u_1^*$是$u^*$到$(\ell(u^*))^{\circ}$的限制；如果$\ell(u) \neq E$，令$\langle u \rangle$，称为$u$的*子范数*，表示范数$\|u_1\|$；如果$\ell(u) = E$，我们输入$\langle u \rangle = 0$。然后$\langle u^* \rangle = \langle u \rangle$。