习题 9, § 4

令 E 为希尔伯特空间，$(P_j)_{j \in \mathbf{N}}$ 为 E 的正射投影仪的序列，这样，对于所有 $j \in \mathbf{N}$，存在一个 $n_j \in \mathbf{N}$，对于所有 $k \in \mathbf{N}$，至少有一个正射投影仪 $P_k, P_{k+1}, ..., P_{k+n_j}$ 等于 $P_j$。将 $R_s = P_sP_{s-1} ... P_0$ 放入所有$s \in \mathbf{N}$。 a) 对于每个$x \in E$，令$x_s = R_s.x$。显示 $\sum_s \|x_{s-1} - x_s\|^2 \leq \|x\|^2$，并推断对于每个整数 $r \geq 1$，当 s 趋于 $+\infty$ 时，$x_{s+r} - x_s$ 趋于 0。 b) 令$(x_{s_k})$是从$(x_s)$中提取的序列，它弱地倾向于极限$y$；那么每个序列 $(x_{s_k+r_k})$ 也趋向于 $y$ 较弱。将 $y$ 属于推导到子空间 $M_j = P_j(E)$ 中的每一个。 （对于每个$j$，都存在$r_k$，使得$0 \leq r_k \leq n_j$和$s_k + r_k = j$；表明序列$(x_{s_k+r_k})$较弱地倾向于$y$。） c) 证明序列 $(x_s)$ 弱收敛于从 x 到 $M_j$ 的交 M 的正交投影。 （约化对于$M = \{0\}$的情况，并使用b）和E中每个闭球的弱紧性。）