习题 11, § 4

设$f$是开区间$I \subset \mathbf{R}$上的连续函数，在$I$的每个点有有限右导数。如果对于每个$x \in I$和*每个*$y \in I$使得$y > x$点$M_y = (y, f(y))$位于$f$图在点$M_x = (x, f(x))$的右半切线上方，则证明$f$在$I$上凸（使用均值值定理表明

给出函数的例，它不是凸的，处处都有有限右导数，并且对于每个$x \in I$，存在数$h_x > 0$取决于$x$，使得$M_y$位于点$M_x$处的右半切线之上$y$使得$x \leq y \leq x + h_x$。如果进一步假设 $f$ 在 $I$ 上可微（使用 I、p. 12，推论），最后的条件仍然足以使 $f$ 凸。