Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 4。实变量的凸函数

设HH为R\mathbf{R}的子集。 ff定义在HH上的有限实数函数，令GG为点Mx=(x,f(x))M_x = (x, f(x))的R×R=R2\mathbf{R} \times \mathbf{R} = \mathbf{R}^2、集合中函数ff的*图*或代表集合，其中xx贯穿HH。可以方便地说，R2\mathbf{R}^2的点(a,b)(a, b)使得a∈Ha \in H位于*上方*（分别为*严格上方*、*下方*、*严格下方*）GG，如果有b≥f(a)b \geq f(a)（分别为b>f(a)b > f(a)、b≤f(a)b \leq f(a)、 b<f(a)b < f(a)）。如果A=(a,a′)A = (a, a')和B=(b,b′)B = (b, b')是R2\mathbf{R}^2的两个点，我们用ABAB表示端点为AA和BB的封闭线段；如果a<ba < b，则ABAB是在[a,b][a, b]上定义的线性函数a′+b′−a′b−a(x−a)a' + \frac{b' - a'}{b - a} (x - a)的图；我们用p(AB)p(AB)表示该段的斜率b′−a′b−a\frac{b' - a'}{b - a}，并将使用以下引理，其验证为直接的：

引理 085O

令A=(a,a′)A = (a, a')、B=(b,b′)B = (b, b')、C=(c,c′)C = (c, c')为R2\mathbf{R}^2中的三个点，使得a<b<ca < b < c。以下叙述是等效的：

a) B 低于 AC； b) C位于通过A和B的线经过之上； c) 位于通过 B 和 C 的线经过之上； d) p(AB)≤p(AC)p(AB) \leq p(AC)； e) p(AC)≤p(BC)p(AC) \leq p(BC)。

当替换“之上”（或“之下”）乘以“严格之上”（或“严格之下”）且符号 ≤\leq 乘以 < 时，引理仍然成立（图 1）。

!显示用 x 值 a、b、c 标记的点 A、B、C 和段的图表

图1

1. 定义凸面函数

定义 1 085P

我们说，在区间 I⊂RI \subset \mathbf{R} 上定义的有限数值函数 ff，在 II 上是凸的，如果，无论 II 的点 x,x′x, x'，(x<x′x < x')，每点 MzM_z ff的图GG，使得x≤z≤x′x \leq z \leq x'位于线段MxMx′M_xM_{x'}下方（或者，如果该线段的每个点位于GG上方，结果相同）（图2）。

!显示点 M_x、M_z、M_{x'} 和曲线 G 的图表

图2

考虑到线段的参数表示（Gen.Top.、VI、p. 35），ff在I上凸的条件意味着有不等式

f(λx+(1−λ)x′)≤λf(x)+(1−λ)f(x′) f(\lambda x + (1 - \lambda)x') \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(x')

对于点中的每个对、I中的(x,x′)(x, x')以及每个λ∈[0,1]\lambda \in [0, 1]。

定义 1 等价于：*位于ff的图G之上的R2\mathbf{R}^2中的点的集合是凸的*。事实上，这个条件显然足以让ff在I上凸；这也是必要的，因为如果ff在I上凸，并且(x,y),(x′,y′)(x, y), (x', y')是位于G上方的两个点，则其中一个有y≥f(x), y′≥f(x′)y \geq f(x),\ y' \geq f(x')，从中，对于0≤λ≤10 \leq \lambda \leq 1，

λy+(1−λ)y′≥λf(x)+(1−λ)f(x′)≥f(λx+(1−λ)x′) \lambda y + (1 - \lambda)y' \geq \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(x') \geq f(\lambda x + (1 - \lambda)x')

由(1)可知，端点为(x,y)(x, y)和(x′,y′)(x', y')的线段的每个点都位于G之上。

注 085Q

以同样的方式，点的集合位于*严格上方*G 是凸的。相反，如果这个集合是凸的，则有

λy+(1−λ)y′>f(λx+(1−λ)x′) \lambda y + (1 - \lambda)y' > f(\lambda x + (1 - \lambda)x')

对于 0≤λ≤10 \leq \lambda \leq 1 和 y>f(x), y′>f(x′)y > f(x),\ y' > f(x')；在这个公式中，让y趋向f(x)f(x)并且y′y'接近f(x′)f(x')，可以得出ff是凸的。

例 1 085R

每个（实数）仿射线性函数 ax+bax + b 在 R\mathbf{R} 上都是凸的。

例 2 085S

函数 x2x^2 在 R\mathbf{R} 上是凸的，因为有

λx2+(1−λ)(x′)2−(λx+(1−λ)x′)2=λ(1−λ)(x−x′)2≥0 \lambda x^2 + (1 - \lambda)(x')^2 - \left( \lambda x + (1 - \lambda)x' \right)^2 = \lambda(1 - \lambda)(x - x')^2 \geq 0

0≤λ≤10 \leq \lambda \leq 1。

例 3 085T

函数 ∣x∣|x| 在 R\mathbf{R} 上是凸的，因为

∣λx+(1−λ)x′∣≤λ∣x∣+(1−λ)∣x′∣ |\lambda x + (1 - \lambda)x'| \leq \lambda |x| + (1 - \lambda)|x'|

0≤λ≤10 \leq \lambda \leq 1。

很明显，如果ff在I上凸，那么它的限制到任何区间J⊂IJ \subset I在J上都是凸的。

令ff是I上的凸函数，并且x,x′x, x'是I的两个点，使得x<x′x < x'；如果z∈Iz \in I是[x,x′][x, x']的*外部*，则MzM_z位于连接MxM_x和Mx′M_{x'}的线D*之上；这是引理中的直接的推论。

由此推断，如果zz是点，使得x<z<x′x < z < x'并且使得MzM_z位于线段MxMx′M_x M_{x'}*上，那么，对于*所有其他点*z′z'使得x<z′<x′x < z' < x'点 Mz′M_{z'} 也位于*线段 MxMx′M_x M_{x'} 上，因为从上面可以得出，Mz′M_{z'} 同时位于该线段的上方和下方；在其他字中，ff等于[x,x′][x, x']上的*仿射线性*函数。

定义 2 085U

我们说，在区间I⊂RI \subset \mathbf{R}上定义的有限实数函数ff在I上严格凸，如果对于I（x<x′x < x'）的任何点x,x′x, x'，图的每个点MzM_z ff 的 G，使得 x<z<x′x < z < x' 严格位于线段 MxMx′M_x M_{x'} 之下（或者，如果除了端点之外，线段的每个点都严格位于 G 之上）。

在其他字，我们必须有不等式

f(λx+(1−λ)x′)<λf(x)+(1−λ)f(x′) f(\lambda x + (1 - \lambda)x') < \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(x')

对于II的不同点(x,x′)(x, x')的每个对以及每个λ\lambda使得0<λ<10 < \lambda < 1。

注位于 def 之前。图 2 显示，对于凸函数 ff 在 II 上严格凸，II 中不包含任何区间（不减少到单个点）是必要且充分的，使得 ff 的限制与该区间是*仿射线性*。

上面的例中，第一个和第三个不是严格凸的；另一方面，x2x^2在R\mathbf{R}上严格凸；类似的计算表明 1/x1/x 在 [0,+∞[[0, +\infty[ 上严格凸。

命题 1 085V

令 ff 为区间 I⊂RI \subset \mathbf{R} 上的凸（或严格凸）有​​限实数函数。对于p≥2p \geq 2的每个家庭(xi)1≤i≤p(x_i)_{1 \leq i \leq p}与II不同的点，以及pp实数的每个家庭(λi)1≤i≤p(\lambda_i)_{1 \leq i \leq p}，使得0<λi<10 < \lambda_i < 1和∑i=1pλi=1\sum_{i=1}^p \lambda_i = 1，我们有

f(∑i=1pλixi)≤∑i=1pλif(xi) f\left( \sum_{i=1}^p \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^p \lambda_i f(x_i)

（分别。

f(∑i=1pλixi)<∑i=1pλif(xi)). f\left( \sum_{i=1}^p \lambda_i x_i \right) < \sum_{i=1}^p \lambda_i f(x_i)).

由于p=2p = 2的命题（对于凸函数）约化到不等式（1），我们用归纳来论证p>2p > 2。 数μ=∑i=1p−1λi\mu = \sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i为>0> 0；如果aa和bb是xix_i的最小的和最大的，那么a≤∑i=1p−1λixi∑i=1p−1λi≤ba \leq \frac{\sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i x_i}{\sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i} \leq b就是直接的；在其他字，点x=1μ∑i=1p−1λixix = \frac{1}{\mu} \sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i x_i属于到II，归纳假设意味着μf(x)≤∑i=1p−1λif(xi)\mu f(x) \leq \sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i f(x_i)；此外，从（1）我们有

f(∑i=1pλixi)=f(μx+(1−μ)xp)≤μf(x)+(1−μ)f(xp)≤∑i=1pλif(xi). f\left( \sum_{i=1}^p \lambda_i x_i \right) = f(\mu x + (1 - \mu)x_p) \leq \mu f(x) + (1 - \mu)f(x_p) \leq \sum_{i=1}^p \lambda_i f(x_i).

人们以同样的方式论证严格凸函数，从不等式 (2) 开始。

我们说，如果 −f-f 在 II 上是凸（或严格凸），则有限实数函数 ff 在 II 上是*凹*（或*严格凹*）。同样的说法，对于II的不同点的每个对(x,x′)(x, x')和每个λ\lambda，使得0<λ<10 < \lambda < 1有一个

f(λx+(1−λ)x′)≥λf(x)+(1−λ)f(x′) f(\lambda x + (1 - \lambda)x') \geq \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(x')

（分别f(λx+(1−λ)x′)>λf(x)+(1−λ)f(x′)f(\lambda x + (1 - \lambda)x') > \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(x')）。

2. 凸族函数

命题 2 085W

Let fif_i (1≤i≤p1 \leq i \leq p) be pp convex functions on an interval I⊂RI \subset \mathbf{R}, and cic_i (1≤i≤p1 \leq i \leq p) be pp arbitrary positive numbers; then the function f=∑i=1pcifif = \sum_{i=1}^p c_i f_i is convex on II. 此外，如果对于至少一个指标 jj 函数 fjf_j 在 II 和 cj>0c_j > 0 上严格凸，则 ff 在 II 上严格凸。

接下来紧接着将应用不等式 (1)（或 (2)）与每个 fif_i 相乘，将 fif_i 的不等式乘以 cic_i，然后逐项相加。

命题 3 085X

设(fα)(f_\alpha)是区间I⊂RI \subset \mathbf{R}上的凸函数族；如果该族的上包络gg在II的每个点处是有限的，则gg在II上是凸的。

事实上，位于gg图上方的点(x,y)∈R2(x, y) \in \mathbf{R}^2的集合是位于函数fαf_\alpha图上方的点形成的凸集合的交；所以它是凸的。

命题 4 085Y

设HH是凸函数在区间I⊂RI \subset \mathbf{R}上的集合；如果F\mathfrak{F}是HH上的一个滤波器，它在II上逐点收敛到有限实数函数f0f_0，那么这个函数在II上是凸的。

要看到这一点，只需在不等式 (1) 中沿着 F\mathfrak{F} 传递到极限即可。

3. 凸的连续性和可微性函数

命题 5 085Z

对于实数有限函数ff，在区间II上凸（或严格凸），对于所有a∈Ia \in I，梯度是必要且充分的

p(MaMx)=f(x)−f(a)x−a p(M_a M_x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

I∩C{a}I \cap \mathbf{C}\{a\} 上的xx 为递增（分别为严格递增的）函数。

这个命题是定义1和2的直接的推论以及I、p. 23的引理。

命题 6 0860

令 ff 为区间 I⊂RI \subset \mathbf{R} 上的有限实数函数凸。那么在 II 函数 ff 的每个内部点 aa 都是连续的，具有有限的右导数和左导数，以及 fg′(a)≤fd′(a)f'_g(a) \leq f'_d(a)。

事实上，对于 x∈Ix \in I 和 x>ax > a 函数 x↦f(x)−f(a)x−ax \mapsto \frac{f(x) - f(a)}{x - a} 是递增 （命题 5）并且有界于下，因为如果 y<ay < a 和 y∈Iy \in I 我们有

f(y)−f(a)y−a≤f(x)−f(a)x−a \frac{f(y) - f(a)}{y - a} \leq \frac{f(x) - f(a)}{x - a}
(5)

通过道具。 5；因此，这个函数在点aa拥有有限的权利极限；在其他字中，fd′(a)f'_d(a)存在并且是有限的；进一步，令(5)中xx逼近aa(x>ax > a)，可得

f(y)−f(a)y−a≤fd′(a) \frac{f(y) - f(a)}{y - a} \leq f'_d(a)
(6)

适用于所有 y<ay < a 属于至 I。以同样的方式证明 fg′(a)f'_g(a) 存在且

fd′(a)≤f(x)−f(a)x−a f'_d(a) \leq \frac{f(x) - f(a)}{x - a}
(7)

对于 x∈Ix \in I 和 x>ax > a。在最后一个不等式中让xx逼近aa（x>ax > a），我们得到fg′(a)≤fd′(a)f'_g(a) \leq f'_d(a)。 点aa处左右导数的存在显然保证了ff在点处的连续性。

推论 1 0861

令 ff 为 I 上的凸（或严格凸）函数；如果aa和bb是I的两个内部点，使得a<ba < b其中一个有*（图3）

!该图显示了凸函数，其切线位于点 a 和 b，分别标记为 M_a 和 M_b。

图3

fd′(a)≤f(b)−f(a)b−a≤fg′(b) f'_d(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'_g(b)
(8)

（分别。

fd′(a)<f(b)−f(a)b−a<fg′(b) f'_d(a) < \frac{f(b) - f(a)}{b - a} < f'_g(b)
(9)

双不等式 (8) 由 (6) 和 (7) 通过简单的变换记号得到。另一方面，如果 ff 是严格凸的并且 cc 使得 a<c<ba < c < b 有，从 (8) 和 prop. 5、

fd′(a)≤f(c)−f(a)c−a<f(b)−f(a)b−a<f(b)−f(c)b−c≤fg′(b) f'_d(a) \leq \frac{f(c) - f(a)}{c - a} < \frac{f(b) - f(a)}{b - a} < \frac{f(b) - f(c)}{b - c} \leq f'_g(b)

从中（9）。

推论 2 0862

如果ff在I上凸（或严格凸），则fd′f'_d和fg′f'_g在I的内部是递增（或严格递增的）； ff不可微分的I中的点的集合是可数的，fd′f'_d和fg′f'_g在点处连续，其中ff可微分。

引用了 1

引用了 I § 2. 。平均值值定理

第一个部分紧接着 (8)（分别是 (9)）和不等式

fg′(a)≤fd′(a). f'_g(a) \leq f'_d(a).

另一方面，令 E 为 I 内部点 xx 的集合，其中 ff 不可微（即 fg′(x)<fd′(x)f'_g(x) < f'_d(x)）。对于每个 x∈Ex \in E 令 JxJ_x 为开区间 ]fg′(x),fd′(x)[]f'_g(x), f'_d(x)[；由(8)得出，如果xx和yy是E的两个点，使得x<yx < y，则u<vu < v对于所有u∈Jxu \in J_x和所有v∈Jyv \in J_y；在其他字中，由于xx穿过E，开非空间隔JxJ_x是成对的不相交的；因此，这样的间隔中的集合是可数的，因此E也是可数的。最后，fd′f'_d（分别为fg′f'_g）为递增，它在I的每个内部点xx处都有一个右极限和一个左极限；支柱。 I、p. 18 的 6 现在显示fd′f'_d（或fg′f'_g）的右侧极限在点 xx 等于fd′(x)f'_d(x)，而其左侧极限为fg′(x)f'_g(x)，由此我们得到了推论的最后一个部分。

设ff是I上的凸函数，aa是I的内部点，并且D是经过穿过点MaM_a的直线，方程为y−f(a)=α(x−a)y - f(a) = \alpha(x - a)。从不等式 (8) 可以得出，如果 fg′(a)≤α≤fd′(a)f'_g(a) \leq \alpha \leq f'_d(a)，则图 G 的每个点都位于 D 之上，并且，如果 ff 严格凸，则 MaM_a 是 D 和 G 的唯一点公共的；有人说 D 是 G 的一条*支撑线*，位于点 MaM_a。相反，如果 G 位于 D 之上，则每个 x∈Ix \in I 都有 f(x)−f(a)≥α(x−a)f(x) - f(a) \geq \alpha(x - a)，其中 x>ax > a 为 f(x)−f(a)x−a≥α\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq \alpha，f(x)−f(a)x−a≤α\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \leq \alpha 为 x<ax < a；在这些不等式中，让 xx 趋向于 aa，可以得出 fg′(a)≤α≤fd′(a)f'_g(a) \leq \alpha \leq f'_d(a)。

特别是，如果 ff 在点 aa 处可微，则在点 MaM_a 处*只有一条*支持 G 线，即 G 在 MaM_a 处的*切线*。

注 0863

如果ff是开区间I上的严格凸函数，则fd′f'_d是I上的严格递增的，因此根据prop，存在三种可能的情况。 I、p. 13 中的 2 个： 1. ff在I上是严格递减； 2. ff在I上是严格递增的； 3. 存在一个a∈Ia \in I，使得ff对于x≤ax \leq a来说是严格递减，对于x≥ax \geq a来说是严格递增的。

当ff在I上凸，但不是严格凸时，ff可以在I所包含的区间上恒定；设J=]a,b[J = ]a, b[为最大的开区间，其中ff为常数（即fd′(x)=0f'_d(x) = 0所在区间的内部）；那么ff在点x∈Ix \in I形成的区间上是严格递减，使得x≤ax \leq a（如果存在），严格递增的在点x∈Ix \in I形成的区间上使得x≥bx \geq b（如果存在）。

在所有情况下，ff在II（在R‾\overline{\mathbf{R}}）的左端点拥有*右极限*，在右端点拥有*左极限*；这些极限可能是有限的或无限的（*cf.* I、p. 46、练习 5、6 和 7）。通过滥用语言，有时说，连续的函数（R‾\overline{\mathbf{R}}中的值）等于II内部的ff，并通过连续性延伸到II的端点，是*I‾\overline{I}上的*凸。

引用了 2

引用了 I § 2. 。平均值值定理, § 4. 。实变量的凸函数

4. 判据用于凸性

命题 7 0864

令 ff 为定义在区间 I⊂RI \subset \mathbf{R} 上的有限实数函数。为了使ff在II上凸，对于数a,ba, b的II的每个对，使得a<ba < b，并且对于每个实数μ\mu，函数是必要和充分的f(x)+μxf(x) + \mu x 在 [a,b][a, b] 点 a,ba, b 之一达到其最高值。

条件是*必要的*；事实上，由于μx\mu x在R\mathbf{R}上凸，所以函数f(x)+μxf(x) + \mu x在II上凸；因此，我们可以将自己局限于案例μ=0\mu = 0。那么，对于

x=λa+(1−λ)b(0≤λ≤1), x = \lambda a + (1 - \lambda) b \quad (0 \leq \lambda \leq 1),
一个有
f(x)≤λf(a)+(1−λ)f(b)≤Max⁡(f(a),f(b)). f(x) \leq \lambda f(a) + (1 - \lambda) f(b) \leq \operatorname{Max}(f(a), f(b)).

条件*足够*。让我们取 μ=−f(b)−f(a)b−a\mu = -\frac{f(b) - f(a)}{b - a} 并令 g(x)=f(x)+μxg(x) = f(x) + \mu x；一个人有 g(a)=g(b)g(a) = g(b)，因此对于所有 x∈[a,b]x \in [a, b] 都有 g(x)≤g(a)g(x) \leq g(a)，并且可以立即检查该不等式是否等于不等式 (1)，其中一个替换 zz 由 aa 和 x′x' 组成bb。

命题 8 0865

对于开区间I⊂RI \subset \mathbf{R}上的有限实数函数ff来说，它是凸（或严格凸）的，它在II上连续是必要且充分的，在补集BB相对于可数的II的每个点都有一个导数该区间的子集，并且在 BB 上的导数为递增（分别为严格递增的）。

引用了 2

引用了 I § 2. 。平均值值定理, § 4. 。实变量的凸函数

条件是必要的，来自 prop。 6及其推论2（I，p. 27）；让我们证明这已经足够了。因此，假设f′f'是BB上的递增，并且ff不是凸的；那么存在（I，p. 27，道具5）II的三个点a,b,ca, b, c，使得a<c<ba < c < b和f(c)−f(a)c−a>f(b)−f(c)b−c\frac{f(c) - f(a)}{c - a} > \frac{f(b) - f(c)}{b - c}；但从平均值定理 (I, p. 14, th. 1) 来看，有

f(c)−f(a)c−a≤sup⁡x∈B, a<x<cf′(x)andf(b)−f(c)b−c≥inf⁡x∈B, c<x<bf′(x). \frac{f(c) - f(a)}{c - a} \leq \sup_{x \in B,\ a < x < c} f'(x) \quad \text{and} \quad \frac{f(b) - f(c)}{b - c} \geq \inf_{x \in B,\ c < x < b} f'(x).

因此，一个人有sup⁡λ∈B, a<λ<cf′(λ)>inf⁡λ∈B, c<λ<bf′(λ)\sup_{\lambda \in B,\ a < \lambda < c} f'(\lambda) > \inf_{\lambda \in B,\ c < \lambda < b} f'(\lambda)，与假设相反，f′f'是BB上的递增。

如果现在我们假设f′f'在BB上是严格递增的，那么ff是凸的，并且不能等于II中包含的任何开区间上的仿射线性函数，因为f′f'在这个区间上将是常数，与假设相反。

推论 0866

令ff为有限实数函数，连续且在区间I⊂RI \subset \mathbf{R}上可微分；对于ff在II上凸，f′′(x)⩾0f''(x) \geqslant 0对于所有x∈Ix \in I是必要且充分的；为了使ff在II上严格凸，满足前面的条件是必要且充分的，并且进一步满足点x∈Ix \in I的集合，其中f′′(x)>0f''(x) > 0在II中稠密。

引用了 1

引用了 I § 2. 。平均值值定理

这紧接着前面的命题，以及I、p. 14的推论。

例 0867

在区间 ]0,+∞0, +\infty [ 函数 xrx^r (rr 任意实数) 上，二阶导数等于 r(r−1)x−2r(r-1)x^{-2}；因此，如果r>1r > 1或r<0r < 0，它是严格凸的，如果0<r<10 < r < 1，它是严格凹的。 \

In order to be able to formulate another criterion for convexity we make the following definition: given the graph GG of a finite real function defined on an interval I⊂RI \subset \mathbf{R} and an interior point aa of II, we shall say that a line DD passing through Ma=(a,f(a))M_a = (a, f(a)) is locally above (resp. locally below) GG if there exists a neighbourhood V⊂IV \subset I of aa such that every point of DD contained in V×RV \times \mathbf{R} is above (resp. below) GG; we shall say that DD is locally on GG at the point MaM_a if there is a neighbourhood V⊂IV \subset I of aa such that the intersection of DD and V×RV \times \mathbf{R} is identical to that of GG and V×RV \times \mathbf{R} (in other words, if DD is simultaneously locally above and locally below GG).

命题 9 0868

设ff为实有限函数，它是开区间I⊂RI \subset \mathbf{R}上的上半连续。 为了使ff在II上凸出，对于ff的图GG的每个点MxM_x来说，GG上的每条线局部在点上都应该局部在GG上（在点处）是必要且充分的MxM_x).

引用了 1

引用了 § 4. 。实变量的凸函数

条件是*必要的*：事实上，如果ff在II上凸，那么在ff的图GG的每个点MaM_a，存在一条*支撑线*Δ\Delta到GG：现在Δ\Delta在下面GG，因而*更不必说*局部低于GG（I，p. 29）；如果线DD在点MaM_a处局部位于GG上方，则它局部在Δ\Delta上方，因此重合必须与Δ\Delta一起，因此局部在GG处点MaM_a。

条件*足够*。事实上，假设它是满足的，并且假设ff在II上不是凸的；那么 II (a<ba < b) 中有两个点 a,ba, b，因而 GG 的点 MxM_x 严格位于线段 MaMbM_aM_b 之上（图 4）。在其他字中，函数g(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)在[a,b][a, b]上占用值>0> 0；由于 gg 是有限且上半连续的，因而 [a,b][a, b] 上的最小上界 kk 是有限且 >0> 0，且集合 g−1(k)g^{-1}(k) 是闭且非空的 (\emph{Gen. Top.}, IV, p. 361，第 3 条和第 1 条）。设cc为g−1(k)g^{-1}(k)的下确界；我们有a<c<ba < c < b。并且在点 McM_c 处，具有方程 y=f(c)+f(b)−f(a)b−a(x−c)y = f(c) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - c) 的线 D 局部位于 G 上方；但不能在这个点处位于G上，因为对于a<x<ca < x < c，有g(x)<kg(x) < k，这意味着MxM_x严格低于D。这导致了一个矛盾，从而建立了命题。

推论 1 0869

对于实数有限函数* ff 定义在开区间 I⊂RI \subset \mathbf{R} 上半连续在 II 凸在 II 对于所有 x∈Ix \in I 应该存在一个 ε>0\varepsilon > 0 使得关系 ∣h∣≤ε|h| \leq \varepsilon *需要

f(x)≤12(f(x+h)+f(x−h)). f(x) \leq \frac{1}{2} \left( f(x + h) + f(x - h) \right).

我们只需证明条件 足够。事实上，如果在ff的图G的点MaM_a处，线D局部位于G之上，那么它在点处局部位于G上；因为，在相反的情况下，对于例，点Ma+hM_{a+h}将严格低于D，而点Ma−hM_{a-h}将低于D：因此，线段Ma−hMa+hM_{a-h}M_{a+h}的中点将严格高于D（图5），并且由于假设，MaM_a将*更不必说* 严格低于 D，这是荒谬的。

!该图显示凸函数与点 M_{a-h}、M_a、M_{a+h} 和标记为 D 的切线。

图5

推论 2 086A

令 ff 为在开区间 I⊂RI \subset \mathbf{R} 上定义的有限实数函数。如果对于每个点 x∈Ix \in I 存在一个开区间 Jx⊂IJ_x \subset I 包含 xx 并且使得 ff 到 JxJ_x 的限制在 JxJ_x 上凸，那么 ff 在II.

显然ff满足prop的标准。 9.

习题

参见习题为 § 4。

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