a) B ở dưới AC; b) C nằm phía trên đường thẳng đi qua A và B; c) A nằm phía trên đường thẳng đi qua B và C; d) $p(AB) \leq p(AC)$; e) $p(AC) \leq p(BC)$.

Bổ đề vẫn còn đúng khi thay "phía trên" (resp. "phía dưới") bằng "phía trên hẳn" (resp. "phía dưới hẳn") và dấu $\leq$ bằng < (hình 1).

!Đồ thị biểu diễn các điểm A, B, C, và các đoạn được ghi nhãn với các giá trị x a, b, c

Hình 1

(resp.

Vì mệnh đề (đối với các hàm lồi) quy về bất đẳng thức (1) với $p = 2$ nên ta lập luận bằng quy nạp đối với $p > 2$. Số $\mu = \sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i$ là $> 0$; ngay lập tức thấy rằng nếu $a$ và $b$ là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trong các $x_i$ thì $a \leq \frac{\sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i x_i}{\sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i} \leq b$; nói cách khác, điểm $x = \frac{1}{\mu} \sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i x_i$ thuộc $I$, và giả thiết quy nạp kéo theo $\mu f(x) \leq \sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i f(x_i)$; hơn nữa, từ (1) ta có rằng

Ta cũng lập luận theo cùng một cách đối với các hàm lồi nghiêm ngặt, bắt đầu từ bất đẳng thức (2).

Ta nói rằng một hàm thực hữu hạn $f$ là lõm (resp. lõm nghiêm ngặt) trên $I$ nếu $-f$ là lồi (resp. lồi nghiêm ngặt) trên $I$. Điều đó tương đương với việc nói rằng với mọi cặp $(x, x')$ điểm phân biệt của $I$ và mọi $\lambda$ sao cho $0 < \lambda < 1$ ta có

(resp. $f(\lambda x + (1 - \lambda)x') > \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(x')$).

Điều này suy ra ngay lập tức bằng cách áp dụng bất đẳng thức (1) (tương ứng (2)) cho mỗi $f_i$, nhân bất đẳng thức đối với $f_i$ với $c_i$, rồi sau đó cộng theo từng số hạng.

Thật vậy, tập hợp các điểm $(x, y) \in \mathbf{R}^2$ nằm phía trên đồ thị của $g$ là giao của các tập hợp lồi tạo thành bởi các điểm nằm phía trên đồ thị của mỗi hàm $f_\alpha$; do đó nó là lồi.

Để thấy điều đó, chỉ cần chuyển sang giới hạn theo $\mathfrak{F}$ trong bất đẳng thức (1).

Mệnh đề này là một hệ quả ngay lập tức của các định nghĩa 1 và 2 và của bổ đề ở I, p. 23.

Thật vậy, với $x \in I$ và $x > a$ hàm $x \mapsto \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ là tăng (mệnh đề 5) và bị chặn dưới, vì nếu $y < a$ và $y \in I$ thì ta có

(5)

theo mệnh đề 5; do đó hàm này có một giới hạn phải hữu hạn tại điểm $a$; nói cách khác, $f'_d(a)$ tồn tại và hữu hạn; hơn nữa, cho $x$ tiến tới $a$ ($x > a$) trong (5), suy ra rằng

(6)

với mọi $y < a$ thuộc I. Theo cùng một cách, ta chứng minh được rằng $f'_g(a)$ tồn tại và rằng

(7)

với $x \in I$ và $x > a$. Khi cho $x$ tiến tới $a$ ($x > a$) trong bất đẳng thức cuối cùng này, ta được $f'_g(a) \leq f'_d(a)$. Sự tồn tại của các đạo hàm trái và phải tại điểm $a$ rõ ràng bảo đảm tính liên tục của $f$ tại điểm này.

!Một đồ thị biểu diễn một hàm lồi với các tiếp tuyến tại các điểm a và b, lần lượt được ký hiệu là M_a và M_b.

Hình 3

(8)

(tương ứng,

(9)

Bất đẳng thức kép (8) suy ra từ (6) và (7) bằng một thay đổi ký hiệu đơn giản. Mặt khác, nếu $f$ lồi ngặt và $c$ sao cho $a < c < b$ thì ta có, từ (8) và mệnh đề 5,

từ đó suy ra (9).

Phần thứ nhất suy ra ngay lập tức từ (8) (ứng với (9)) và bất đẳng thức

Mặt khác, gọi E là tập hợp các điểm trong $x$ của I tại đó $f$ không khả vi (nghĩa là $f'_g(x) < f'_d(x)$). Với mỗi $x \in E$ gọi $J_x$ là khoảng mở $]f'_g(x), f'_d(x)[$; suy ra từ (8) rằng nếu $x$ và $y$ là hai điểm của E sao cho $x < y$, thì $u < v$ với mọi $u \in J_x$ và mọi $v \in J_y$; nói cách khác, khi $x$ chạy qua E thì các khoảng mở khác rỗng $J_x$ rời nhau từng đôi một; vì thế tập hợp các khoảng như vậy là đếm được, và do đó E cũng đếm được. Sau cùng, do $f'_d$ (tương ứng $f'_g$) tăng, nó có một giới hạn phải và một giới hạn trái tại mọi điểm trong $x$ của I; mệnh đề 6 của I, p. 18 khi đó cho thấy rằng giới hạn phải của $f'_d$ (tương ứng $f'_g$) tại điểm $x$ bằng $f'_d(x)$, và giới hạn trái của nó là $f'_g(x)$, từ đó suy ra phần cuối của hệ quả.

Cho $f$ là một hàm lồi trên I, $a$ là một điểm trong của I, và D là một đường thẳng chuyển qua điểm $M_a$, có phương trình $y - f(a) = \alpha(x - a)$. Từ các bất đẳng thức (8) suy ra rằng nếu $f'_g(a) \leq \alpha \leq f'_d(a)$ thì mọi điểm của đồ thị G đều nằm phía trên D, và, nếu $f$ là hàm lồi nghiêm ngặt, thì $M_a$ là điểm chung duy nhất của D và G; khi đó người ta nói rằng D là một đường tựa của G tại điểm $M_a$. Ngược lại, nếu G nằm phía trên D, ta có $f(x) - f(a) \geq \alpha(x - a)$ với mọi $x \in I$, từ đó suy ra $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq \alpha$ với $x > a$, và $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \leq \alpha$ với $x < a$; khi cho $x$ tiến tới $a$ trong các bất đẳng thức này, suy ra $f'_g(a) \leq \alpha \leq f'_d(a)$.

Đặc biệt, nếu $f$ khả vi tại điểm $a$ thì chỉ có một và chỉ một đường tựa của G tại điểm $M_a$, đó là tiếp tuyến của G tại $M_a$.

Điều kiện đó là cần; thật vậy, vì $\mu x$ lồi trên $\mathbf{R}$, nên hàm $f(x) + \mu x$ lồi trên $I$; do đó ta có thể quy về trường hợp $\mu = 0$. Khi đó, với

ta có

Điều kiện đó là đủ. Đặt $\mu = -\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ và $g(x) = f(x) + \mu x$; ta có $g(a) = g(b)$ và do đó $g(x) \leq g(a)$ với mọi $x \in [a, b]$, và có thể kiểm tra ngay lập tức rằng bất đẳng thức này tương đương với bất đẳng thức (1) khi thay $z$ bởi $a$ và $x'$ bởi $b$.

Điều kiện là cần thiết, theo mệnh đề 6 và hệ quả 2 của nó (I, p. 27); ta hãy chỉ ra rằng nó là đủ. Vậy giả sử rằng $f'$ tăng trên $B$, và $f$ không lồi; khi đó tồn tại (I, p. 27, mệnh đề 5) ba điểm $a, b, c$ của $I$, sao cho $a < c < b$, và $\frac{f(c) - f(a)}{c - a} > \frac{f(b) - f(c)}{b - c}$; nhưng theo định lý giá trị trung bình (I, p. 14, định lý 1) ta có

Do đó ta có $\sup_{\lambda \in B,\ a < \lambda < c} f'(\lambda) > \inf_{\lambda \in B,\ c < \lambda < b} f'(\lambda)$, trái với giả thiết rằng $f'$ tăng trên $B$.

Nếu bây giờ ta giả sử rằng $f'$ tăng ngặt trên $B$, thì $f$ là lồi và không thể bằng một hàm tuyến tính afin trên bất kỳ khoảng mở nào được chứa trong $I$, vì khi đó $f'$ sẽ là hằng trên khoảng này, trái với giả thiết.

Điều này suy ra ngay lập tức từ mệnh đề trước, và từ hệ quả ở I, p. 14.

Điều kiện này là cần: thật vậy, nếu $f$ là lồi trên $I$ thì tại mọi điểm $M_a$ của đồ thị $G$ của $f$ đều tồn tại một đường tựa $\Delta$ của $G$: khi đó $\Delta$ nằm dưới $G$, nên a fortiori nằm dưới $G$ một cách địa phương (I, p. 29); nếu một đường thẳng $D$ nằm trên $G$ một cách địa phương tại điểm $M_a$ thì nó nằm trên $\Delta$ một cách địa phương, nên phải trùng với $\Delta$, và do đó nằm trên $G$ một cách địa phương tại điểm $M_a$.

Điều kiện đó là đủ. Thật vậy, giả sử nó được thỏa mãn, và giả sử rằng $f$ không lồi trên $I$; khi đó tồn tại hai điểm $a, b$ của $I$ ($a < b$) sao cho có những điểm $M_x$ của $G$ nằm chặt phía trên đoạn thẳng $M_aM_b$ (hình 4). Nói cách khác, hàm $g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ nhận các giá trị $> 0$ trên $[a, b]$; vì $g$ hữu hạn và nửa liên tục trên trên khoảng compắc này nên cận trên nhỏ nhất $k$ của nó trên $[a, b]$ là hữu hạn và $> 0$, và tập hợp $g^{-1}(k)$ là đóng và không rỗng (\emph{Gen. Top.}, IV, p. 361, định lý 3 và mệnh đề 1). Gọi $c$ là cận dưới lớn nhất của $g^{-1}(k)$; ta có $a < c < b$. và tại điểm $M_c$ đường thẳng D có phương trình $y = f(c) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - c)$ nằm địa phương phía trên G; nhưng tại điểm này nó không thể địa phương nằm trên G, vì, với $a < x < c$, ta có $g(x) < k$, điều này có nghĩa là $M_x$ nằm chặt phía dưới D. Như vậy ta đã đi đến một mâu thuẫn, điều này thiết lập mệnh đề.

Ta chỉ cần chứng minh rằng điều kiện ấy là đủ. Thật vậy, nếu tại một điểm $M_a$ của đồ thị G của $f$ một đường thẳng D ở địa phương nằm phía trên G, thì nó ở địa phương đi qua G tại điểm này; vì, trong trường hợp đối lại, chẳng hạn, một điểm $M_{a+h}$ sẽ nằm chặt dưới D, trong khi một điểm $M_{a-h}$ sẽ nằm dưới D: trung điểm của đoạn $M_{a-h}M_{a+h}$ khi đó sẽ nằm chặt trên D (hình 5), và, do giả thiết, $M_a$ a fortiori sẽ nằm chặt dưới D, điều này vô lý.

!Một đồ thị biểu diễn một hàm lồi với các điểm M_{a-h}, M_a, M_{a+h} và một đường tiếp tuyến ký hiệu D.

Hình 5

Hiển nhiên là $f$ thỏa mãn tiêu chuẩn của mệnh đề 9.