§ 2. 。平均值值定理

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 2。平均值值定理

§ 1 中证明的假设和结论在特征标中是局部的：它们只涉及在固定点的任意小邻域上考虑的函数的性质。相反，我们在截面中处理的问题涉及函数在所有区间上的属性。

1. 罗尔的定理

命题 1（“罗尔的定理”） 083Z

令 $f$ 为实数函数，它在闭区间 $I = [a, b]$ （其中 $a < b$ ）上是有限且连续的，在] $a, b$ [的每个点处具有导数（有限或非），并且使得 $f(a) = f(b)$ 。那么存在] $a, b$ [的点 $c$ 使得 $f'(c) = 0$ 。

引用了 1

引用了 I § 3. 。高阶阶的衍生物

The proposition is evident if $f$ is constant: if not, $f$ takes, for example, values $> f(a)$ , and so attains its least upper bound at a point $c$ interior to I (Gen. 上、IV、p. 359、第。 1）。由于 $f$ 在点处有相对最大值，我们有 $f'(c) = 0$ （I，p. 20，道具7）。

推论 0840

令 $f$ 为实数函数，它在 $[a, b]$ （其中 $a < b$ ）上是有限且连续的，并且在每个点有一个导数（有限或非）。那么存在] $a, b$ [的点 $c$ 使得 $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ 。

我们只需要应用道具。 1 至函数 $f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ 。

该推论表示在 $f$ 的图 $C$ 上存在点 $M_c = (c, f(c))$ ，使得 $a < c < b$ 且 $C$ 在此点处的切线平行于连接点 $M_a = (a, f(a))$ 和 $M_b = (b, f(b))$ 的线。

2. 实值函数的平均值值定理

下面的重要结果是推论的推论。 1：如果] $a, b$ [上有 $m \leq f'(x) \leq M$ ，那么也有 $m \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq M$ 。在其他字中， $f'$ 的导数在端点 $a, b$ 的整个区间上的*界限意味着 $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ 的*相同界限*（函数的“增量”与区间上变量的“增量”之比）。我们将在下文中使这个基本结果更加精确并概括它。

命题 2 0841

设* $f$ 是一个实数函数，它在闭有界区间 $I = [a, b]$ （其中 $a < b$ *）上是有限且连续的，并且具有右导数*（有限或非）*可数子集*中* $[a, b)$ 中的相对补数的点 $A$ 这个区间。如果 $f'_d(x) \geq 0$ *在* $[a, b[$ 的每点*不是属于到* $A$ ，*则有* $f(b) \geq f(a)$ ； 如果进一步， $f'_d(x) > 0$ *对于* $[a, b[$ 中的至少一个点，*则* $f(b) > f(a)$ 。

令 $\varepsilon > 0$ 任意，并用列出可数集合 $A$ 得到的 $(a_n)_{n \geq 1}$ 序列表示。令 $J$ 为点 $y \in I$ 的集合，使得有

f(x) - f(a) \geq -\varepsilon(x - a) - \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n}

(1)

对于所有 $x$ 和 $a \leq x \leq y$ ，右侧第二个项中的和将取代所有指标 $n$ ，其中 $a_n < x$ 。我们将证明，如果 $f'_d(x) \geq 0$ 在 $[a, b[$ 的每个点与 $a_n$ 不同，则 $J = I$ 。

显然 $J$ 不为空，因为 $a \in J$ ；此外，这个集合的定义表明，如果 $y \in J$ 一个对于 $a \leq x \leq y$ 有 $x \in J$ ，那么 $J$ 是一个*间隔*，其左端点为 $a$ （*Gen.Top.*，IV，p. 336，道具1）；令 $c$ 为其右侧端点。一个有 $c \in J$ ；如果 $c = a$ ，这很清楚；如果不是，对于每个 $x < c$ ，我们有不等式 (1)，并且 *更不必说

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 TG IV § 2. 实直线的基本拓扑特性

被以下引用注 1, 注 3

f(x) - f(a) \geq -\varepsilon(c - a) - \varepsilon \sum_{a_n < c} \frac{1}{2^n}

由此可见，在这个不等式中让 $x$ 趋于 $c$ （因为 $f$ 是连续的）， $c$ 满足（1）。

既然如此，我们将看到我们必须有 $c = b$ 。事实上，如果一个人有 $c < b$ ，那么肯定会有 $c \notin A$ ；现在 $f'_d(c)$ 存在，并且由于 $f'_d(c) \geq 0$ 到假设，存在一个 $y$ 使得 $c < y \leq b$ 并且对于 $c \leq x \leq y$ 有一个

f(x) - f(c) \geq -\varepsilon(x - c)

其中，考虑到 (1)，其中 $x$ 被 $c$ 替代，

f(x) - f(a) \geq -\varepsilon(x - a) - \varepsilon \sum_{a_n < c} \frac{1}{2^n} \geq -\varepsilon(x - a) - \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n}

这表示 $y \in J$ ，与 $c$ 的定义矛盾。因此，对于某些指标 $k$ ，我们有 $c = a_k$ ；由于 $f$ 在点 $a_k$ 连续，因此存在 $y$ 使得 $c < y \leq b$ 并且对于 $c < x \leq y$ 有

f(x) - f(c) \geq -\frac{\varepsilon}{2^k}

其中，考虑到 (1)，其中

x

被

c

替代，

f(x) - f(a) \geq -\varepsilon(c-a) - \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n} \geq -\varepsilon(x-a) - \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n}

这又导致了矛盾；因此我们有

c = b

，并且在推论

f(b) - f(a) \geq -\varepsilon(b-a) - \varepsilon \sum_{a_n < b} \frac{1}{2^n} \geq -\varepsilon(b-a) - \varepsilon. \tag{2}

由于

\varepsilon > 0

是任意的，我们从(2)推导出

f(b) \geq f(a)

，它演示了命题的第一个部分。

我们注现在将此结果应用于区间 $[x, y]$ ，其中 $a \leq x < y \leq b$ 证明 $f$ 在I上是*递增*；如果有 $f(b) = f(a)$ ，可以推断出 $f$ 在I上是“常数”，然后在 $[a, b[$ 的每点处都有 $f'_d(x) = 0$ ；第二个部分由此而来。

推出 0842

设 $f$ 是 $[a, b]$ （其中 $a < b$ ）上的有限连续实数函数，并且对该区间的可数子集 $A$ 的 $[a, b[$ 中的补集具有右导数点。为了使 $f$ 在I上成为递增， $f'_d(x) \geq 0$ 在 $[a, b[$ 的每个点处是必要且充分的，而不是属于到 $A$ ；为了使 $f$ 成为严格递增的，前面的条件成立是必要且充分的，并且点 $x$ 的集合成立，其中 $f'_d(x) > 0$ 在 $[a, b]$ 中稠密。

注 1 0843

当替换区间 $[a, b[$ 通过 ] $a, b$ 和字 “右导数”通过“左导数”时，命题 2 仍然成立。

引用了 1

引用了命题 2

注 2 0844

闭区间I上 $f$ 上的*连续性*的假设（而不仅仅是 $[a, b[$ 的每个点的*右连续性* $^4$ ）对于道具的有效性至关重要。 2（*cf.* I、p. 36、练习 8）。

引用了 1

引用了 I § 1. 。一阶导数

注 3 0845

道具的结论。如果仅仅假设“例外”点的集合 $A$ 在I中不密集，但不可数（*cf.*I，p. 37，练习3），则不能保证2。

命题 2 包含以下基本原理定理（这似乎更一般）：

定理 1（指值定理）。 *设 $f$ 和 $g$ 是两个有限连续实值函数，定义在闭有界区间 $I = [a, b]$ 上，并且具有

如果限制到区间 $I \cap [x_0, +\infty[$ 相对于该区间在点 $x_0$ 连续，则在区间 $I \subset \mathbf{R}$ 上定义的 $^4$ 函数被称为在点 $x_0 \in I$ 处“右连续”；同样的，这个函数的右极限存在于这个点，并且等于函数的值在这个点。

right derivative (finite or not) at all points of the relative complement in $[a,\ b[$ of a countable subset of this interval. 进一步假设 $f'_d(x)$ 和 $g'_r(x)$ 不同时无限，除了 I 的可数子集的点处，并且存在有限数 $m$ 、 $M$ ，使得

mg'_r(x) \leq f'_d(x) \leq Mg'_r(x)

除了 I (替换 $Mg'_r(x)$ (分别为 $mg'_r(x)$ ) 的可数子集的点处，如果 $M = 0$ (分别为 $m = 0$ ) 和 $g'_r(x) = \pm \infty$ 。在这些条件下，有一个

m(g(b) - g(a)) < f(b) - f(a) < M(g(b) - f(a))

除非对于所有 $x \in I$ 都有 $f(x) = Mg(x) + k$ 或 $f(x) = mg(x) + k$ （ $k$ 常数）。

应用 prop 就足够了。 2 到函数 $Mg - f$ 和 $f - mg$ ，根据我们的假设，除了 I 的可数子集的点之外，它们具有正的右导数。

引用了 1

引用了命题 2

注 0846

Th。如果允许 $f'_d$ 和 $g'$ 在I 的不可数子集上同时无限（cf. I，p. 37，执行 3），则 1 失败。

推论 0847

设 $f$ 是 $[a,\ b]$ （其中 $a < b$ ）上的有限连续函数，并且在该区间的可数子集的 $[a,\ b[$ 中具有相对补B的右导数（有限或非）点。如果 $m$ 和 $M$ 比最大的低，且 B 上的 $f'_d$ 至少有上界，则有

m(b - a) < f(b) - f(a) < M(b - a)

如果 $f$ 不是仿射线性函数；如果 $f$ 是仿射线性的，则有

m = M = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

当 $m$ 和 $M$ 有限时，不等式(5)是(4)的推论；当这些数中的一个或另一个是无限时的情况是微不足道的。

注 0848

The inequalities (5) prove that a continuous function cannot have right derivative equal to $+\infty$ at all points of an interval (cf. I, p. 38, exerc. 6).

引用了 1

引用了 § 2. 。平均值值定理

3. 值定理向量函数的平均值

定理 2 0849

令 $f$ 定义为向量函数，并在 $\mathbf{R}$ （其中 $a < b$ ）的闭有界区间 $I = [a,\ b]$ 上定义且连续，并在 $\mathbf{R}$ 上的范数空间 E 中取值；设 $g$ 是I上连续的递增实数函数。假设 $f$ 和 $g$ 在该区间的可数子集A的 $[a,\ b[$ 中的相对补集的所有点处具有右导数（允许 $g'_r(x)$ 在点 $x \notin A$ 的某些处无限），并假设在每个点我们有

\| f'_d(x) \| \leq g'_r(x).

被以下引用 1

被以下引用命题 3

在这些假设下，人们有

\| f(b) - f(a) \| \leq g(b) - g(a).

证明的处理方式与 prop 类似。 2. 设 $\varepsilon > 0$ 为任意， $(a_n)$ 序列是通过枚举某个阶中的A得到的。令 J 为点 $y \in I$ 的集合，使得对于所有 $x$ 使得 $a \leq x \leq y$ 有

\| f(x) - f(a) \| \leq g(x) - g(a) + \varepsilon (x - a) + \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n};

我们将证明 $J = I$ 。人们立即看到，就像在道具中一样。 2、J是左端点为 $a$ 的区间；如果 c 是其右侧端点，则 $c \in J$ ；事实上，对于所有 $x < c$ 都有 (8)，并且 更不必说

\| f(x) - f(a) \| \leq g(c) - g(a) + \varepsilon (c - a) + \varepsilon \sum_{a_n < c} \frac{1}{2^n}

由此，令不等式中 $x$ 趋于 $c$ ，则由 $f$ 的连续性得出 $c$ 满足(8)。

让我们证明我们必须有 $c = b$ 。因此，假设 $c < b$ 和 $c \notin A$ ：则 $f'_d(c)$ 和 $g'_r(c)$ 存在且满足 (6)；首先假设 $g'_r(c)$ （必然是 $\geq 0$ ）是有限的；那么我们总是可以写 $f'_d(c) = u g'_r(c)$ ，与 $\| u \| \leq 1$ ；由于函数 $f(x) - u g(x)$ 在点 $c$ 有零右导数，因此必须存在 $y$ 使得 $c < y \leq b$ 并且对于 $c \leq x \leq y$ 有一个

\| f(x) - f(c) - u(g(x) - g(c)) \| \leq \varepsilon (x - c)

从中

\| f(x) - f(c) \| \leq g(x) - g(c) + \varepsilon (x - c)

并且，考虑到 (8)，其中 $x$ 被 $c$ 替代，

\begin{align*} \| f(x) - f(a) \| &\leq g(x) - g(a) + \varepsilon (x - a) + \varepsilon \sum_{a_n < c} \frac{1}{2^n} \\ &\leq g(x) - g(a) + \varepsilon (x - a) + \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n}. \end{align*}

因此有 $y \in J$ ，这是一个矛盾。接下来假设 $c \notin A$ 和 $g'_r(c) = +\infty$ ；那么有一个 $y$ 使得 $c < y \leq b$ 并且对于 $c \leq x \leq y$ 一方面有

\| f(x) - f(c) \| \leq (\| f'_d(c) \| + 1) (x - c)

另一方面

g(x) - g(c) \geq (\| f'_d(c) \| + 1) (x - c)

从中

\| f(x) - f(c) \| \leq g(x) - g(c)

和一个如上所述的结论。最后，如果有 $c = a_k$ ，则存在 $y$ ，使得 $c < y \leq b$ ，并且对于 $c < x \leq y$ ，有

\| f(x) - f(c) \| \leq \frac{\varepsilon}{2^k}

由此，考虑(8)，用 $x$ 替换为 $c$ ，

\begin{align*} \| f(x) - f(a) \| &\leq g(c) - g(a) + \varepsilon (c - a) + \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n} \\ &\leq g(x) - g(a) + \varepsilon (x - a) + \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n} \end{align*}

这又产生了矛盾。证明与道具相同。 2.

Q.E.D.

注 1 084A

再次，在第叙述。 2 可以通过 ] $a, b]$ 得到替换区间 $[a, b[$ ，并通过“左导数”得到“右导数”。

注 2 084B

稍后我们将展示如何对 (7) 中的认同等式进行处理，以及如何推广它。 2 到 E 是任意局部凸空间的情况，借助证明的另一个方法可以推导出 th。 2 从 th. 1.

推出 084C

对于区间 $I \subset \mathbf{R}$ 上的连续向量函数，其中值在 $\mathbf{R}$ 上的赋范空间 E 中，要在 I 上保持不变，只要它在补集的点处具有零右导数就足够了（相对于I）I的可数子集。

注 084D

证明的。 1和2本质上依赖于域 $\mathbf{R}$ 的特殊拓扑性质；可以给出值域 K 的例，其中 K 对其自身存在非常量线性映射，并且在每个点具有零导数（cf. I、p. 37，练习 2）。

命题 3 084E

设 $f$ 为向量函数，其中值位于 $\mathbf{R}$ 上的范数空间E中，在区间 $I \subset \mathbf{R}$ 上定义且连续，并且在可数的补集B（相对于I）上右可导子集共 I；那么对于所有点 $x_0 \in B, x \in I, y \in I$ ，有一个（假设 $x < y$ ，对于例）

引用了 1

引用了定理 2

\| f(y) - f(x) - f'_d(x_0)(y - x) \| \leq (y - x) \sup_{z \in B, x < z < y} \| f'_d(z) - f'_d(x_0) \|.

(9)

事实上，应用 th 就足够了。 2、替换 $f$ by函数

f(z) - f'_d(x_0)z,

$g$ 由线性函数生成，其导数为 $\sup_{z \in B, x < z < y} \| f'_d(z) - f'_d(x_0) \|$ 。

复变量的定理 2 扩展到向量函数：

命题 4 084F

设 $f$ 是定义在域 $\mathbf{C}$ 的凸开子集 $A$ 上的复变量的连续可微函数，其中值位于规范的空间 $E$ 上域 $\mathbf{C}$ 。如果一个人对所有 $z \in A$ 都有 $\|f'(z)\| \leq m$ ，那么对于点 $a, b$ $A$ 中的每一个对，一个人都拥有 $\|f(b) - f(a)\| \leq m |b - a|$ 。

我们把 $g(t) = \frac{1}{b - a} f(a + t(b - a))$ 换成 $0 \leq t \leq 1$ ；自 $g'(t) = f'(a + t(b - a))$ 、应用日起。 2 到函数 $g$ 立即产生命题。

推出 084G

对于复杂变量的向量函数 $f$ ，在开集合 $A \subset \mathbf{C}$ 上定义且连续，并且值在 $\mathbf{C}$ 上的规范化空间中，要保持不变，只需有零 $A$ 的每点的导数。

事实上，让 $a$ 是 $A$ 的任意点；点的集合 $B$ $A$ 的 $z$ ，其中 $f(z) = f(a)$ 封闭，因为 $f$ 是连续的；它也是*开放的*，如应用属性所示。 4（与 $m = 0$ ）到凸开邻域，包含在 $A$ 中，其中任意点为 $B$ ；所以与 $A$ 相同。

命题 5 084H

令 $f$ 为复数变量的向量函数，在凸开集合 $A \subset \mathbf{C}$ 上定义、连续且可微，将值取入域 $\mathbf{C}$ 上的标准化空间；那么，无论 $A$ 中的点 $x_0, x$ 和 $y$ ，都有*

\|f(y) - f(x) - f'_d(x_0)(y - x)\| \leq |y - x| \sup_{z \in A} \|f'(z) - f'(x_0)\|.

(10)

应用th就足够了。 2至函数

g(t) = f(x + t(y - x)) - f'(x_0)(y - x)t

在区间

[0, 1]

上。

4. 导数的连续性

命题 6 084I

设 $I$ 为 $\mathbf{R}$ 中的开区间， $x_0$ 为 $I$ 的端点之一， $f$ 向量函数在 $I$ 上定义且连续，值在完全规范的空间中 $E$ 超过 $\mathbf{R}$ ；假设 $f$ 在点处有 $I$ 的可数子集的 $I$ 补集 $B$ 的右导数。那么对于 $f'_d(x)$ 有极限，因为 $x$ 趋向于 $x_0$ ，同时保持在 $B$ 和 $\neq x_0$ ， $\frac{f(y) - f(x)}{y - x}$ 有极限 $c$ 是充分必要的，因为 $(x, y)$ 趋向于 $(x_0, x_0)$ 受 $x \in I, y \in I, x \neq x_0, y \neq x_0$ 和 $x \neq y$ 约束。在这些条件 $f$ 扩展下，通过连续到点 $x_0$ ，右导数 $f'_d(x)$ 趋于 $c$ ，因为 $x$ 趋于 $x_0$ （同时保留在B中）和函数 $f$ 扩展（在 $I \cup \{x_0\}$ 上定义）在 $x_0$ 处的导数等于 $c$ 。

假设例 $x_0$ 是I 的右侧端点。让我们首先证明，如果 $f'_d(x)$ 趋向于 $c$ ，就像 $x$ 趋于 $x_0$ 一样，同时保留在B和 $\neq x_0$ 中，那么 $\frac{f(y) - f(x)}{y - x}$ 趋向于 $c$ ；这紧随 th 而来。 2 应用于函数 $f(z) - cz$ ，得出

\| f(y) - f(x) - c(y - x) \| \leq (y - x) \sup_{z \in B,\ x < z < y} \| f'_d(z) - c \|

$x < y < x_0$ 。相反，如果 $\frac{f(y) - f(x)}{y - x}$ 趋于 $c$ ，则对于每个 $\varepsilon > 0$ 都存在一个 $h > 0$ ，使得条件 $|x - x_0| < h,\ |y - x_0| < h\ (x \neq x_0,\ y \neq x_0)$ 意味着

\| f(y) - f(x) - c(y - x) \| \leq \varepsilon |y - x|.

但对于所有 $x \in B$ 和 $\neq x_0$ ，使得 $|x - x_0| < h$ ，存在 $k > 0$ （取决于 $x$ ），使得关系 $x < y < x + k$ 需要

\| f(y) - f(x) - f'_d(x)(y - x) \| \leq \varepsilon |y - x|

由此，考虑 (11)：

\| f'_d(x) - c \| \leq 2\varepsilon

对于 $|x - x_0| < h,\ x \in B$ 和 $x \neq x_0$ 。这就证明了 $f'_d(x)$ 趋于 $c$ 。此外，从关系 (11) 可以立即得知

\| f(y) - f(x) \| \leq (\|c\| + \varepsilon) |y - x|,

这证明（根据柯西准则） $f$ 在点 $x_0$ 处具有极限 $d$ ，因为 $x$ 趋向于点，同时保持在I和 $\neq x_0$ ；现在，让 $x$ 逼近(11)中的 $x_0$ ，对于 $y \in I,\ y \neq x_0$ 和 $|y - x_0| \leq h$ ，我们有

\left\| \frac{f(y) - d}{y - x_0} - c \right\| \leq \varepsilon

这就证明了 $c$ 是函数 $f$ 在点 $x_0$ 处的导数通过连续性延伸到 $I \cup \{x_0\}$ 。

注 084J

类似的论点，基于 th。 1，表明如果 $f$ 是实数函数，使得 $f'_d(x)$ 在点 $x_0$ 趋向于 $+\infty$ ，则比率

(f(y) - f(x))/(y - x)

也趋于 $+\infty$ ，反之亦然；此外，如果 $f$ 在点 $x_0$ 处有一个有限的极限（不是当前假设的推论），则函数 $f$ 通过连续性扩展到 $x_0$ ，在以下位置有等于 $+\infty$ 的导数这个点。

习题

参见习题为 § 2。