§ 3. 。高阶阶的衍生物

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§ 3。高阶阶的衍生物

1. 阶 $n$ 的衍生物

令 $f$ 为实数变量的向量函数，定义、连续且在区间 $I$ 上可微。如果导数 $f'$ 存在于点 $x_0 \in I$ 的邻域（相对于 $I$ ），并且在点 $x_0$ 可微，则其导数称为 $f$ 在点 $x_0$ 的*二阶导数*，并且用 $f''(x_0)$ 或 $D^2f(x_0)$ 表示。如果这个二阶导数存在于 $I$ 的每一个点处（这意味着 $f'$ 存在并且在 $I$ 上连续），那么 $x \mapsto f''(x)$ 就是向量函数，用 $f''$ 或 $D^2f$ 表示。我们定义，以同样的方式，递归地得到 $f$ 的 $n^{th}$ *导数*（或*阶* $n$ 的导数），并用 $f^{(n)}$ 或 $D^n f$ 表示；由定义，它在点 $x_0 \in I$ 的值是函数 $f^{(n-1)}$ 在点 $x_0$ 的导数：这个定义预设*所有*导数 $f^{(k)}$ 的存在阶 $k \leq n - 1$ 在 $x_0$ 相对于 $I$ 的*邻域*上，以及 $f^{(n-1)}$ 在点 $x_0$ 的可微性。

We will say that $f$ is n times differentiable at the point $x_0$ (resp. in an interval) if it admits an $n^{th}$ derivative at this point (resp. in this interval). 有人说，如果对于每个整数 $n > 0$ ，它承认阶 $n$ 在 $I$ 上的导数，那么 $f$ 在 $I$ 上“无限可微”。

在 $m$ 归纳时，人们看到了这一点

D^m(D^n f) = D^{m+n} f.

更准确地说，当(1)中的两个项之一被定义时，另一个也被定义，并且等于它。

命题 1 084Y

The set of vector functions defined on an interval* $I \subset \mathbf{R}$ , taking values in a given topological vector space $E$ , and having an $n^{th}$ derivative on $I$ , is a vector space over $\mathbf{R}$ , and $f \mapsto D^n f$ is a linear mapping of this space into the vector space of linear mappings from $I$ into $E$ .

证明公式

D^n(f + g) = D^n f + D^n g \tag{2}

D^n(fa) = D^n f . a \tag{3}

当 $f$ 和 $g$ 在 $I$ 上有 $n^{th}$ 导数（ $a$ 为常数）时，在 $n$ 上乘以归纳。

命题 2（“莱布尼兹”公式”） 084Z

设* $E, F, G$ *是* $\mathbf{R}$ 、*和* $(x, y) \mapsto [x.y]$ *的三个拓扑向量空间* $E \times F$ *的连续双线性映射*到* $G$ 。如果 $f$ (分别 $g$ ) 在区间 $I \subset \mathbf{R}$ 上定义，*将其值放入* $E$ (分别 $F$ ) 并且有一个 $n^{th}$ 右 $I$ 求导，*那么* $[f.g]$ 有一个 $n^{th}$ 右 $I$ 的导数，*由公式*给出

D^n[f.g] = [f^{(n)}.g] + \binom{n}{1}[f^{(n-1)}.g'] + \cdots + \binom{n}{p}[f^{(n-p)}.g^{(p)}] + \cdots + [f.g^{(n)}]. \tag{4}

公式 (4) 由归纳在 $n$ 上证明（使用关系 $\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p} + \binom{n-1}{p-1}$ 作为二项式系数）。

以同样的方式可以验证以下公式（其中假设与命题2相同）：

[f^{(n)} . g] + (-1)^{n-1} [f . g^{(n)}] = D([f^{(n-1)} . g] - [f^{(n-2)} . g'] + \cdots + (-1)^{n-1} [f . g^{(n-1)}]).

前面的命题已经被表述为函数在一个区间上可微 $n$ 倍；我们留给读者来制定函数的类似命题，其在点处可微 $n$ 倍。

2. 泰勒公式

令 $f$ 为向量函数，定义在区间 $I \subset \mathbf{R}$ 上，值位于 $\mathbf{R}$ 的范数空间 $E$ 内；说 $f$ 在点 $a \in I$ 处有导数表示

\lim_{x \to a,\ x \in I,\ x \neq a} \frac{f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)}{x-a} = 0;

或者，否则， $f$ “大约等于” $a$ 的邻域上的*线性*函数 $f(a) + f'(a)(x-a)$ （*cf.*章节V，其中这个概念是以一般方式发展的）。我们将看到， $f$ 在点 $a$ 的 $n^{th}$ 阶导数的存在同样意味着 $f$ “约等于”次数 $n$ 的*多项式 $x$ *，系数位于 $a$ 邻域上的 $E$ （*Gen.Top.*、X、p. 315）。准确地说：

定理 1 0850

如果函数 $f$ 在点 $a$ 有 $n^{th}$ 导数，那么

引用了 1

引用了 I § 2. 。平均值值定理

\lim_{x \to a,\ x \in I,\ x \neq a} \frac{f(x) - f(a) - f'(a)\frac{(x-a)}{1!} - \cdots - f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}}{(x-a)^n} = 0.

我们于 $n$ 乘归纳出发。定理适用于 $n = 1$ 。对于任意 $n$ ，我们可以通过归纳假设，将其应用于 $f$ 的导数 $f'$ ：对于任何 $\varepsilon > 0$ ，都存在一个 $h > 0$ ，这样，如果有人将

g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)\frac{(x-a)}{1!} - f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!} - \cdots - f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}

对于 $|y-a| \leq h$ 和 $y \in I$ ，

\|g'(y)\| = \left\| f'(y) - f'(a) - f''(a)\frac{(y-a)}{1!} - \cdots - f^{(n)}(a)\frac{(y-a)^{n-1}}{(n-1)!} \right\|

\leq \varepsilon\ |y-a|^{n-1}.

我们将平均值值定理 (I, p. 15, th.2) 应用到端点 $a,\ x$ （ $|x-a| \leq h$ ）到向量函数 $g$ 以及实数递增的区间上如果 $x > a$ 则函数等于 $\varepsilon |y - a|^n / n$ ，如果 $x < a$ 则等于 $-\varepsilon |y - a|^n / n$ ；由此可知 $\|g(x)\| \leq \varepsilon |x - a|^n / n$ ，从而证明定理。

因此我们可以写

f(x) = f(a) + f'(a) \frac{(x - a)}{1!} + f''(a) \frac{(x - a)^2}{2!} + \cdots \\ + f^{(n)}(a) \frac{(x - a)^n}{n!} + u(x) \frac{(x - a)^n}{n!}

其中当

x

接近

a

时，

u(x)

接近0，同时保持在I；这个公式在点

a

称为阶*

n

的*泰勒公式，而(8)的右边称为阶*

n

的*泰勒展开函数

f

在点

a

。最后一个项

r_n(x) = u(x)(x - a)^n / n!

称为阶

n

的泰勒公式中的*余数*。

当 $f$ 在I上有阶* $n + 1$ 的*导数时，可以在所有I上，而不仅仅是在 $a$ 的未指定的邻域上，估计该 $n + 1^{th}$ 导数的项中的 $\|r_n(x)\|$ ：

命题 3 0851

如果 $\|f^{(n+1)}(x)\| \leq M$ 在I上，那么我们有*

\|r_n(x)\| \leq M \frac{|x - a|^{n+1}}{(n + 1)!}

在I。

引用了 1

引用了 I § 2. 。平均值值定理

事实上，公式对于 $n = 0$ 成立，乘以I，p. 15，th。 2. 让我们用归纳在 $n$ 上证明：通过归纳假设应用于 $f'$ ，有

\|r'_n(y)\| \leq M \frac{|y - a|^n}{n!}

其中公式 (9) 遵循平均值值定理 (I, p. 23, th. 2)。

推论 0852

如果 $f$ 是有限实数函数，且具有阶* $n + 1$ 在 I 上的导数，*且如果* $m \leq f^{(n+1)}(x) \leq M$ 在 I 上，*则对于所有* $x \geq a$ 在 I 其中一个有

m \frac{(x - a)^{n+1}}{(n + 1)!} \leq r_n(x) \leq M \frac{(x - a)^{n+1}}{(n + 1)!}

并且第二个项不能等于第一个（分别*第三个*）*除非*

f^{(n+1)}

*是常数并等于*

m

（分别

M

）*在区间*

[a, x]

。

引用了 1

引用了 I § 2. 。平均值值定理

证明以同样的方式进行，但应用 th。 1 个I、p. 14。

注 1 0853

我们已经在第证明注意到了。 1 如果 $f$ 在I上有阶 $n$ 的导数，并且如果

f(x) = a_0 + a_1(x - a) + a_2(x - a)^2 + \cdots + a_n(x - a)^n + r_n(x)

是点

a

处阶

n

的泰勒展开，则点

a

处

f'

阶

n - 1

的泰勒展开为

f'(x) = a_1 + 2a_2(x - a) + \cdots + na_n(x - a)^{n-1} + r'_n(x).

我们说它是通过*逐项微分*从 $f$ 的展开(11)获得的。

注 2 0854

同样的假设，(11)中的系数 $a_i$ 由关系递归确定

a_0 = f(a)

a_1 = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

a_2 = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a) - a_1(x - a)}{(x - a)^2}

\ldots

a_n = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a) - a_1(x - a) - \cdots - a_{n-1}(x - a)^{n-1}}{(x - a)^n}.

在 $a = 0$ 一个结论的情况下，特别是，如果 $f(x^p)$ （ $p$ 整数> 0）在0的邻域上有阶 $pn$ 的导数，则阶 $pn$ 的泰勒展开函数简直就是

f(x^p) = a_0 + a_1 x^p + a_2 x^{2p} + \cdots + a_n x^{np} + r_n(x^p)

其中 $r_n(x^p)$ 是展开中的余数 (cf. V, p. 222)。

引用了 1

引用了 V § 2. 。渐近展开

注 3 0855

阶 $n$ 的导数的定义和前面的结果立即推广到复变量的函数；我们不会在这里进一步讨论这个话题；这将在本级数后面的书中详细讨论。

习题

参见习题为 § 3。