Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 2。渐近展开

1. 比较范围

令 E 为集合，由具有基 $\mathfrak{F}$ 的过滤器过滤，K 为非离散值域（最常见的是 $K = \mathbf{R}$ 或 $K = \mathbf{C}$）。 $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, K)$中函数的集合不等于0模$R_\infty$（即，$\mathfrak{F}$中的每个集合中至少有一个点，其中函数不消失），关系“ $f \ll g$或$f = g$”是序关系。

在其他字中，如果$\mathscr{E}$中$f$和$g$是函数，则关系、$f \ll g$、$g \ll f$、$f = g$中的一个（且只有一个）始终成立。因此，在 $\mathscr{E}$ 关系 $f \asymp g$（和 更不必说 $|f| \sim a\,|g|$，其中 $a$ 是数 $> 0$）*意味着* $f = g$。

比较量表的每个子集显然也是比较量表。

2. 主部分和渐近展开

令$\mathscr{E}$为非离散值域 K中由函数与值形成的比较尺度。令V为K上的标准化空间，令$\mathbf{f}$为$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$中的函数；如果V中有函数$g \in \mathscr{E}$和元素$\mathbf{a} \neq 0$使得$\mathbf{f} \sim \mathbf{a}g$，则可以说$\mathbf{a}g$是$\mathbf{f}$相对于规模$\mathscr{E}$的*主部分*。从定义。 V、p. 10、$\mathbf{f}$ 中的 1 个相对于 $\mathscr{E}$ 只能有一个主体部分，因为如果$g_1,\ g_2$ 是$\mathscr{E}$ 中的两个函数，并且$\mathbf{a}_1,\ \mathbf{a}_2$ 是两个$\neq 0$ V的元素，则关系$\mathbf{a}_1 g_1 \sim \mathbf{a}_2 g_2$蕴含$|g_1| \asymp |g_2|$，因而$g_1 = g_2$，从而$(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1)g_1 \ll g_1$，并且由于$g_1$与零在任何集合上不相同$\mathscr{E}$ 这意味着$\mathbf{a}_2 = \mathbf{a}_1$。

如果$\mathbf{f}$相对于比较尺度$\mathscr{E}$具有主体部分，则相对于每个比较尺度$\mathscr{E}' \supset \mathscr{E}$，它具有*相同的主体部分。

为了表达$\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$是$f$的渐近展开到精确$g_\alpha$这一事实，最常使用限制来写作

如果证明中存在多个函数），那么V、p. 219和220的记号之后。

在相对于相同尺度 $\mathscr{E}$ 的两个渐近展开（两个函数，无论是否不同）中，有人说精度大于指标的那个是“更精确”。

If $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$ is an asymptotic expansion of $f$ to precision $g_\alpha$, then, for every $\beta < \alpha$, $\sum_{\lambda \leq \beta} a_\lambda g_\lambda$ is an asymptotic expansion of $f$ to precision $g_\beta$ (V, p. 215, prop. 5): one says that it is obtained by reducing the precision of the given expansion $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$ of $f$ to $g_\beta$.

如果 $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$ 和 $\sum_{\lambda \leq \alpha} b_\lambda g_\lambda$ 渐近展开到两个函数 $f_1, f_2$ 的*相同*精度 $g_\alpha$，则 $\sum_{\lambda \leq \alpha} (a_\lambda + b_\lambda) g_\lambda$ 是 $f_1 + f_2$ 到精度 $g_\alpha$ 的渐近展开 （V，p. 215，第 5 条）；对于每个标量 $c$，$\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda c g_\lambda$ 是 $f_1 c$ 到精度 $g_\alpha$ 的渐近展开。由此可见，如果函数承认渐近展开达到精度 $g_\alpha$，那么这个展开是*唯一*的：足以看出函数 0 不承认渐近展开具有精度 $g_\alpha$ 且系数为 $\neq 0$。因为，如果 $0 = \sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda + r_\alpha$ 和 $\gamma$ 是指标 $\lambda \leq \alpha$ 中最小的一个，使得$a_\lambda \neq 0$，那么就会有 $a_\gamma g_\gamma = - \sum_{\gamma < \lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda - r_\alpha \ll g_\gamma$，这是荒谬的。

如果说函数 $f$ 承认渐近展开的精度为 $g_\alpha$，其所有系数均为 零，则相当于说与 $f \ll g_\alpha$。如果 $f$ 承认渐近展开 $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$ 达到精度 $g_\alpha$，其系数不全为零，并且如果 $\gamma$ 是指标 $\lambda$ 的最小的，使得 $a_\lambda \neq 0$，则$a_\gamma g_\gamma$ 是$f$ 相对于$\mathscr{E}$ 尺度的*本部分*，因为一个人有$f - a_\gamma g_\gamma = \sum_{\gamma < \lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda + r_\alpha \ll g_\gamma$；类似地，如果 $\mu \leq \alpha$ 是指标，使得 $a_\mu \neq 0$，则 $a_\mu g_\mu$ 是 $f - \sum_{\lambda < \mu} a_\lambda g_\lambda$ 的主部分。

应用中最重要的渐近展开是那些相对于$x^{-n}$（分别是$z^{-n}$）的标度，其中$n$是正或负整数，因为$x$趋于$+\infty$或$-\infty$（分别当复数 $z$ 趋于 $\infty$），或者当实数 $x$ 从右或左趋于 $c$ 时（分别当复数时），或相对于 $(x - c)^n$（或 $(z - c)^n$）的比例$z$趋于$c$）。我们在I、p. 21中看到，实数变量$x$的每个向量函数在点$c \in \mathbf{R}$可微分$k$倍都承认阶的泰勒展开 $k$ 在此点，即相对于 $(x - c)^n$ 的标度，渐近展开到精度 $(x - c)^k$。

3. 渐近展开的和和乘积

如果$f_1, f_2$允许渐近展开分别达到精度$g_\alpha$和$g_\beta$，相对于比较尺度$\mathscr{E}$，通过将两个展开*限制*到该精度，可以将展开推导到精度$g_{\min(\alpha, \beta)}$；我们已经在 V、p. 222 中看到了如何获得 $f_1 + f_2$ 到精度 $g_{\min(\alpha, \beta)}$ 的渐近展开。

令$V_1, V_2$和$V$为域$K$上的三范数空间，并令$(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mapsto [\mathbf{x}. \mathbf{y}]$为从$V_1 \times V_2$到$V$的*连续双线性映射*；我们进一步假设，对于这个截面的其余部分，$\mathscr{E}$的比例是这样的，$\mathscr{E}$中任何两个函数的*乘积*再次在$\mathscr{E}$中（对于所有给出的例比较比例（在V中， p. 220））。

现在让$f_1, f_2$分别是$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_1)$和$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_2)$中的两个函数，相对于标度$\mathscr{E}$，分别具有渐近展开、$f_1 = \sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda + r_\alpha$和$f_2 = \sum_{\mu \leq \beta} b_\mu g_\mu + r_\beta$的精度$g_\alpha$和$g_\beta$。进一步假设$a_\lambda$和$b_\mu$都不全是零，并令$a_\gamma g_\gamma$和$b_\delta g_\delta$作为$f_1$和$f_2$的主部分。到假设，可以写出$g_\gamma g_\beta = g_\rho$和$g_\delta g_\alpha = g_\sigma$；让我们证明，和$\sum [\mathbf{a}_\lambda . \mathbf{b}_\mu] g_\lambda g_\mu$接管了所有对$(\lambda, \mu)$，使得$g_{\min(\rho, \sigma)} \ll g_\lambda g_\mu$是*$[f_1.f_2]$*精确*$g_{\min(\rho, \sigma)}$的*渐近展开。现在$[f_1.f_2]$和这个和之间的差异是项的有限数的和，每个形式$[\mathbf{a}_\lambda . \mathbf{b}_\mu] g_\lambda g_\mu$和$g_\lambda g_\mu \ll g_{\min(\rho, \sigma)}$，或者形式$[\mathbf{a}_\lambda . \mathbf{r}_\beta] g_\lambda$其中$\lambda \geq \gamma$，或形式$[\mathbf{r}_\alpha . \mathbf{b}_\mu] g_\mu$，其中$\mu \geq \delta$；但由于 $[\mathbf{x}. \mathbf{y}]$ 是连续的，因此可以从 (V, p. 213, 命题 3 和 V, p. 215, 命题 6) 得到$[\mathbf{a}_\lambda . \mathbf{r}_\beta] g_\lambda \preccurlyeq \mathbf{r}_\beta g_\lambda \ll g_\beta g_\gamma = g_\rho$ $\lambda \geq \gamma$，类似地$[\mathbf{r}_\alpha . \mathbf{b}_\mu] g_\mu \preccurlyeq \mathbf{r}_\alpha g_\mu \ll g_\alpha g_\delta = g_\sigma$ $\mu \geq \delta$， 从而命题（V，p. 215，道具 5）。

如果所有$\mathbf{a}_\lambda$都是零，其中一个有$[f_1.f_2] \ll g_\alpha g_\delta$：在其他字中，一个有$[f_1.f_2]$的渐近展开，其中零项，精确到$g_\alpha g_\delta$；类似地，如果所有 $\mathbf{a}_\lambda$ 和 $\mathbf{b}_\mu$ 都是零，则其中一个具有 $[f_1.f_2]$ 的渐近展开，其中零项的精度为 $g_\alpha g_\beta$。

我们主要将前面的结果应用到V是K上的*范数代数*并且双线性函数$[\mathbf{x}. \mathbf{y}]$是这个代数中的乘积xy；最重要的情况是V等于$\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$。

In particular, if $f_i$ ($1 \leq i \leq n$) are n functions in $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, K)$ each of which admits an asymptotic expansion with respect to $\mathscr{E}$ one can obtain an asymptotic expansion with respect to $\mathscr{E}$ for every polynomial $\sum_{(v_i)} \mathbf{a}_{v_1 v_2} v_n f_1^{v_1} \ldots f_n^{v_n}$ in the $f_i$ with coefficients in a normed space V; furthermore, the preceding rules allow one to determine the precision of the expansion obtained, if one knows those of the expansions of the functions $f_i$.

4. 渐近展开的合成

令$f$在$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$（或$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{C})$）中为函数，相对于尺度$\mathscr{E}$，承认渐进展开达到精度$g_\alpha$，并且*沿着具有基$\widetilde{\mathfrak{F}}$的滤波器具有极限* 0。 On the other hand let $\mathbf{h}$ be a function with values in a normed space V over $\mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$), defined on a neighbourhood of the point 0 in $\mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$), and n times differentiable on this neighbourhood; then

在这个邻域（I，p. 21），从而，在$\widetilde{\mathfrak{F}}$合适的集合上

我们已经看到，在 n 3 中，如何将 $c_0 + c_1 f + \cdots + c_n f^n$ 的形式渐近展开达到由展开的 $f$ 精度确定的精度 $g_\rho$；另外，假设$f$的渐近展开的系数不全是零，并且$a_\gamma g_\gamma$是$f$的主部分，令$g_\sigma = g_\gamma^n$；如果 $\sigma < \rho$ 将 $\mathbf{h} \circ f$ 的展开限制为$g_\sigma$ 精度，并将 $\sum_{k=0}^n c_k f^k$ 的展开限制为该精度；相反，如果$\rho \leq \sigma$，则$\sum_{k=0}^n c_k f^k$的展开也是$\mathbf{h} \circ f$的展开，精确到$g_\rho$。

如果$f$的渐近展开的所有项都是零，并且如果$g_\alpha \ll 1$，那么对于每个整数$k > 0$，$f \ll g_\alpha$等等$f^k \ll g_\alpha^k \ll g_\alpha$；如果$c_m$是指标$> 0$的第一个系数，且不是零（假设指标$k > 0$的$c_k$不全为0），则$c_0$是$h \circ f$精确到的渐近展开 $g_\alpha^m$。

在截面的其余部分，我们将限制自己的情况，即$\mathscr{E}$中的函数具有实数值，并且在$\mathfrak{F}$中的集合严格为正，并且我们将仅考虑$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$中的函数的渐近展开。 Suppose first that for every function $g \in \mathscr{E}$ and every real number $\nu$, $g^\nu$ again belongs to $\mathscr{E}$: this condition is fulfilled, for example, by the scale of the $x^\alpha$ or by that of the $x^\alpha |\log x|^\beta$ ($\alpha$ and $\beta$ being arbitrary real numbers) on a neighbourhood of $+\infty$ or a neighbourhood of 0 in $\mathbf{R}$. 这个性质意味着$\mathscr{E}$中两个函数的商再次属于到$\mathscr{E}$。 因此，从相对于函数 $f \in \mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ 的 $\mathscr{E}$ 的渐近展开，到精度$g_\alpha$，对于每个实数$\nu$，可以针对$|f|^\nu$推导出展开。 让我们限制$f$的展开的系数不全是零的情况，并让$a_\gamma g_\gamma$作为$f$的主要部分；可以写 $|f|^\nu = |a_\gamma|^\nu g_\gamma^\nu (1 + h)^\nu$，其中

右 $f$ 进行同样的假设，可以写出

5. 具有可变系数的渐近展开

我们可以通过以下方式概括本金部分和渐近展开的概念。令 $\mathscr{E}$ 为由实数（或复数）函数形成的比较尺度，使得对于它们中的每一个，$\mathfrak{F}$ 中存在集合，其中函数 不会在任何点 处消失。进一步，设$C$为$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$满足中函数的集合，以下三个条件：

(CO₁) 每函数 $a \in C$ 就有 $a \preccurlyeq 1$。 (CO2) 关系 $a \ll 1$ 对于函数 $a \in C$ 意味着 $a = 0$。 (CO₃) $C$ 是向量空间超过 $\mathbf{R}$（分别为 $\mathbf{C}$）。

现在让$f$为$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$中的任意函数；如果存在函数$g \in \mathscr{E}$和非零的函数$a \in C$，使得$f - ag \ll g$相对于比较标度$\mathscr{E}$和系数域，我们会说$ag$是$f$的主部分 $C$。如果存在这样一个主体部分，那么它是唯一的：假设有两个主体部分、$a_1 g_1$和$a_2 g_2$；一个不能有$g_1 \ll g_2$，因为从(CO₁)可以推断出$a_1 g_1 \ll g_2$和$f - a_1 g_1 \ll g_1 \ll g_2$，所以$f \ll g_2$；但也有 $a_2 g_2 \ll g_2$，因而 $a_2 \ll 1$ 与假设 $a_2 \neq 0$ 和 (CO2) 相矛盾。所以必须有$g_1 = g_2$；从关系 $f - a_1 g_1 \ll g_1, f - a_2 g_1 \ll g_1$ 可以通过 (CO2) 和 (CO₃) 推导出 $(a_2 - a_1)g_1 \ll g_1$ 从而 $a_2 - a_1 \ll 1$，从而推导出 $a_2 = a_1$。